第四章 电路基本定理.doc

第四章 电路基本定理本章提要：介绍电路理论中具有普遍性的定理，其中有叠加定理，齐性定理、替代定理、戴维宁定理，诺顿定理，特勒根定理和互易定理等，并介绍它们在线性电路分析计算中的应用。4.1 叠加定理I4 R4 uS4 (a) (b) R1 iS1 I1 I2 R3 Il2 I3 Il1 R2 uS2 I1(1) I2(1)I4(1) R4 R2 R3 I3(1) R1 iS1 I1(2) I2(2) R2 us2 R3 I4(2) R4I3(2) R1 I4(3) R4 uS4 I1(3) I2(3)R3 I3(3) R1 R2 (c) (d)图4. 1 叠加定理引例 iS1 叠加定理是线性电路的一个重要定理，是线性电路重要性质的体现。图4.1(a)所示电路中有三个独立电源共同作用于电路。现用回路电流法求各支路的电流。设各支路电流参考方向和回路电流方向如图4.1(a)所示，回路电流方程为 (4-1)式（4-1)中，利用行列式求解得可以写为 这里 各支路的电流为 (4-2) (4-3) (4-4)由式(4-2)、(4-3)和(4-4)可以看出，支路电流分别由三个分量组成，每一个分量都只与电路中一个激励源成正比。式中的比例系数，只取决于电路结构和电路参数，对于线性电路这种比例系数都是常数。也可以这样理解，电路中某支路电流（或电压）是各激励源的线性组合。下面仅就支路1的支路电流I1来说明。 当电路中只有iS1电流源单独作用时，其它uS2和uS4不作用，即，如图(b)电路，通过计算支路1的支路电流I1(1)为 (4-5)由式(4-2)支路电流I1的第一项分量，可得 (4-6)可见，三个电源同时作用时，在支路1产生电流I1的第一分量与仅有is1电流源单独作用时，在支路1所产生的电流I1(1)等同，即同理，当电路中只有uS1和us4分别单独作用时，利用图(c)和图(d)同样可以分别得由此可以得 (4-7) 其它支路的电流响应，同样可以得到 (4-8)式(4-7)和两式(4-8)表明各支路电流等于各个电源单独作用时产生的电流之和。线性电路的这种基本性质，表现为电路的激励和响应之间具有的线性关系。对一个具有b条支路和n个节点线性电路，可以得到相同的结论，即为叠加定理。 定理的内容为：线性电阻电路中，对任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的代数和。 叠加定理是线性电路分析的基础，应用它不仅可以简化电路计算，而且可以证明电路的一些定理。 当电路中含有受控源时，叠加定理仍然适用。虽然受控电源具有电源性质，但在电路中不起激励的作用。所以在应用叠加定理进行各分电路计算时，可将受控源视为电阻保留在电路中。 使用叠加定理要注意以下几个问题： 叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电路。 在叠加的各个分电路中，电压源不作用时，相当于电压源所在处用短路线替代；电流源不作用时，相当于电流源所在处用开路替代。电路中电阻不能更动，受控源仍保留在各分电路中。 叠加时注意各分量的方向，总电压（或电流）是各分量的代数和。624A148V34+U-1I(a) (b) 图4 . 2 例41题图16I (1)3448V +U(1) -1 功率不能叠加，即电路的功率不等于由各分电路计算的功率之和，因为功率等于电压电流的乘积，或电压（电流）的二次函数。 例4-1 试用叠加定理计算图4.2(a)所示电路中电压U和电流I。解 当48V电压源单独作用时，如图4.2(b)所示电路中，各支路的电流为当24A电流源单独作用时，在如图(c)所示电路中利用电阻串并联化简得 (c)图4. 2 例42题图613 24A4 +U(2)-1 I (2) 原电路的电压U和电流I为 例4-2 如图4.3(a)所示电路中含有受控电压源，求电流源两端的电压U1。(a) (b) 图4. 3 例42题图315U4V+-1 U2A+U1-I31I (1)+U1(1)-5U(1)4V1 U (1)+-解 图4.3(b)所示电路为4V电压源单独作用时的分电路，受控源仍保留在电路中，根据KVL得 解得 图4. 3 (c)315U (2)+_1 2A+U1 (2)-I (2)U (2)图(c)所示电路为2A电流源单独作用时的分电路，受控源仍保留在电路中。现选择I(2)和2A电流源的电流为回路电流得回路方程解得例4-3 将例4-2中的两个独立源同时增大3倍，即电压源为12V，电流源为6A时，再计算响应U1，电源都增大3倍，相当于图4.3(a)电路中的4V电压源和2A电流源合为一组，有这样三组电路叠加产生的响应电压U1，即。由此，可以看出响应也相应增大3倍。推广到一般电路中，得到线性电路的另一个定理是齐性定理，其内容陈述如下：在线性电路中，当所有的激励（电压源和电流源）都同时增大或缩小K倍（K为实常数）时，响应（电压和电流）也将同时增大或缩小K倍。应注意，这里的激励是指独立电源，图4. 4 例4-4题图I1I3I2I5I4I7I6abcde10.5VUS 并且必须是全部激励源同时增大或缩小K倍，否则将导致错误的结果。当电路中仅有一个激励电源时，响应和激励成正比。利用齐性定理，可以有效地分析计算梯形电路的响应。例4-4 图4.4所示梯形电路，各个电阻均为1，电压源的电压为10.5V，求各支路的电流。解 假设I7=1A，然后逐步用欧姆定律和基尔霍夫定律，向前推求各支路电压，电流分别为但实际上US =10.5。根据齐性定理，各支路电流应将上面的数值乘以，实际各支路电流如表4-1。表4-1 利用齐性定理得到例4-4假设值与实际值电流电压值I7(A)I6(A)I5(A)I 4(A)I 3(A)I 2(A)I 1(A)US(V)假设值1123581321实际值0.50.511.52.546.510.5本例题的计算是从梯形电路远离电源一端，倒退至电源处。这种计算方法称为“倒退法”。它比正面计算方便。4.2 替代定理替代定理又称置换定理，是应用范围颇广的定理，它不仅适用于线性电路，也适用于非线性电路。(a) (b) (c) 图4. 5 替代定理iK+uK-NiK uS= uK+uK-N iS= iKiK+uK-N替换定理可叙述为：在任何一个电路中，若某一条支路，例如第K条支路的电流为iK、电压为uK均为已知，那么这条支路就可以用一个电压等于uK的电压源或电流等于iK的电流源替代，如果替代后的电路有唯一解，则替代后电路中全部电压和电流均保持原值。如图4.5(a)所示电路，N表示第K条支路以外的电路。第K条支路用小方框表示，它可以是电阻、电压源与电阻的串联组合和电流源与电阻的并联组合。但这里图(b)所示的是用电压等于uK的电压源替代了第K条支路后的新电路，从图(a)和(b)两个图中可以看出，两个电路的KCL和KVL方程相同。在新电路中第K条支路的电压uK没有变动，而且电流又不受本支路约束。因此，原电路的全部电压和电流仍能满足替换后的新电路的全部约束方程。也就是说原电路的解也是新电路的解。定理指出置换以后的新电路的解是唯一的，所以原电路的这组解就是新电路的唯一解。如果第K条支路用iS= ik的独立电流源替代，也可作类似证明。例4-5 如图4.6(a)所示电路N内含有电源，当改变电阻R1值时，电路中各处的电压和电流将随之变化。已知A时，V；A，V，求当A时，？解 依题意，R1中的电流值为已知，根据替代定理，可将电阻R1支路用电流为i的电流源替代，如图4.6(b)所示。再根据叠加定理，电阻R2支路两端的电压u是由电流源(a) (b) 图4. 6例4-5题图NiR2+u-iR1Ni+u-R2i和N中电源共同作用产生的，响应u为二者的线性组合，可用方程表示，设方程为式中b表示N内电源单独作用时，在电阻R2两端产生的电压；ai表示电流源i单独作用时在电阻R2两端产生的电压。由已知条件，可列写方程解得 a =20， b = -10 于是有 u = 20 i - 10 所以当 i = 3 A时，u = 203-10 = 50V。4.3 戴维宁定理和诺顿定理由第二章所介绍的电路等效变换概念可知，对于一个无源一端口可以用一个等效电阻来置换；对于一个有源（指含独立电源）的一端口，也可以通过等效变换，简化为一个电源与电阻的组合支路。如图4.7(a)所示的有源一端口，可以简化为图(b)所示的等效图4. 7 戴维南定理引例4124Vab(a)4a312V(b)b 电路。虽然这种等效变换法在应用上简单易行，但是受到电路结构的限制，它仅适合于上述类型的简单电路。对于任一个既含有独立电源又含电阻和受控源的一端口，其等效电路是怎样的？是否也可以用一独立源与电阻的组合支路等效置换呢？戴维宁定理和诺顿定理解决了这个问题，提供了求解含源一端口等效电路的普遍方法，并给出了该等效电路普遍的适应形式。戴维宁定理指出：一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口N（如图4.8(a)所示），对外电路来说，可以用一个电压源与电阻串联的组合支路等效置换（如图(b)所示），此电压源的电压等于这个一端口的开路电压（如图(c)所示），电阻等于该一端口的全部独立电源置零后的输入电阻（如图(d)所示）。图4.8(b)中电压源与电阻串联的组合支路称为戴维宁等效电路，其中称为戴维宁等效电压源，称为戴维宁等效电阻，且= Rin。图(d)NR表示为N中所有的独立源置零后的一端口，也就是把电压源用短路替代，电流源用开路替代后的一端口。a i(c) (d)图4. 8 戴维宁定理+u-NS外电路a ibNUocb+u-Req外电路(b)（b）Nab+uoc-i = 0Reqba NR(a)此定理可以应用替代定理和叠加定理证明，假设一个与外电路连接的有源一端口N，其端口的电压为u，电流为i。根据替代定理，将外接电路用一个电流等于i的电流源替代，将不改变一端口内部工作状态。如图4.9(a)所示。(a) (b) (c)图4. 9 戴维南定理证明过程ib+u-Na i+u(1)-bN i(1)=0 a aa i(2)ib+U(2)-NR再根据叠加定理，图4.9(a)的端口电压u等于，如图(b)所示的一端口N内部独立电源单独作用时所产生的电压与如图(c)所示电路中电流源单独作用时产生的电压之和，即 (4-7)由图(b)可见，就是含源一端口a、b开路时的开路电压；在图(c)中，全部的独立电源置零后，无源一端口NR的输入电阻Rin，此时，根据叠加定理，得端口a、b间的电压为 (4-8)故由式(4-6)得一端口的等效电路如图4.8(b)所示a、b左端电路。 应用戴维宁定理时，需要求出含源一端口的开路电压和等效电阻。求开路电压可运用前面介绍的各种电路分析方法来计算得到；求等效电阻有下面三种常用的方法： 1对简单电路（不含受控源的）可以先将独立源置零后，直接应用电阻的串、并联及Y-变换关系计算等效电阻。2将一端口内全部独立电源置零后，在无源一端口的端口处施加一电压源（或电流源），求出此端口处的电流（或电压）。在两者为关联参考方向时，电压与电流的比值为输入电阻，即等于等效电阻。3分别求出含源一端口处的开路电压uoc和短路电流isc，等效电阻，注意，uoc与isc对一端口而言，为非关联参考方向。 (a) (b) (c)图4. 10 例4-7题图#IRR1R3R2R4USIUocRegIIRR+Uoc_R1I1I2R3R2R4USIR例4-7 如图4.10(a)所示为一桥式电路，已知R1=300，R2=200，R3=800，R4=200，US=1.5V检流计的内阻R=120，求通过检流计的电流I。解 1利用戴维宁定理求解，先将检流计支路移去，得一个含源一端口电路如图4.10(b)所示。再由图(b)求一端口的开路电压得IR1R3R2R4USIR 2将独立电压源置零，即用一条短路线代替电压源后，无源一端口的等效电阻为 根据戴维宁定理可以由(c)等效电路，求得检流计的电流A在4-7例题中，等效电阻是利用电阻串、并联方法简化电路后计算得到的。下面例题利用第2、3两种方法计算等效电阻。例4-8 求如图4.11(a)所示电路的戴维宁等效电路。iR6i5iRRu7V1 (a) (b) (c)图4.11 例4 -8题图US5iR3A10ViR6+Uoc_RiS解 先计算该电路的开路电压Uoc为 解得 图4. 11 图 (d)#5iR3A10ViR6iSCiSUSR再计算等效电阻Req，将独立源置零后，外加电压为u的电压源，如图(b)所示，根据欧姆定律和KCL计算Req有 解得 于是可得 戴维宁等效电路如图4.11(c)所示。该例题采用先将独立源置零，再求无源电路的输入电阻Rin来确定等效电阻Req的方法。下面利用公式计算等效电阻Req。先计算图4.11(a)电路的短路电流isc，由图(d)所示电路，可知解得 根据公式 得 。例4-9 试求如图4.12所示含回转器电路的戴维宁等效电路。i1i2R1uS r+u1-+u2- （a） （b）图4. 12 例题4 -9题图i+u- a b ReqUoc a b解 已知回转器的特性方程为 (4-9)图(a)电路a、b端开路时，其开路电压为，i2 = 0，于是可得u1= 0， 将i1代入式(4-9)的第二个方程中，便可得图(a)电路a、b短路时，其短路电流为，于是可得，将u1代入式(4-9)第一个方程中，可得 根据 ，得 戴维宁等效电路见图4.12(b)。诺顿定理指出：一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口电路N（如图4.13(a)所示），对外部电路来说，可以用一个电流源与电导（或电阻）并联组合的支路等效替代。电流源的电流等于这个一端口的短路电流，电导（或电阻）等于该一端口的全部独立电源置零后的输入电导（或电阻）。此电流源与电阻并联的组合电路称为诺顿等效电路，如图4.13(b)所示a、b左端的电路。(a) (b)图4.13 诺顿定理iscGeq+uRi abi a b+u_RN证明诺顿定理与证明戴维宁定理类似，故不赘述。这两个定理尚有其它的证法，有兴趣的读者可去查阅其它书籍。R0 i0R1R1i1i2 i1 i2(a)bUS R0 i0R1R1i1 i1 i2= 0(b)+uOC-baaUS (c)iSCa图4. 14 例4-8题图RLReqiSCb(d)aR0 i0R1R1i1i2 i1 i2bus例4-8 图4.14表示一个晶体管放大器的简化电路模型。试求负载RL左端部分的诺顿等效电路。RL 解 先由图(b)求a、b两点间的开路电压uoc。根据KCV、KCL列写方程为联立上述方程，并求解，得 由图(c)求a、b两点间的短路电流isc。根据KCV、KCL列写方程为由此式解得于是，诺顿等效电路的等效电阻为诺顿等效电路如图4.14(d)所示。 在诺顿等效电路的基础上，应用电源等效变换，可以得到戴维宁等效电路，逆推也是成立的。两种等效电路的关系为。戴维宁定理和诺顿定理在电路分析中的应用很广泛。由上述例题分析可以看出，在求解线性有源电路中某一个支路电压或电流及电功率时，这两个定理尤为适用。例如，分析电路中某一可变电阻获得最大功率条件时，用到戴维宁定理（见4.4）。实际上，测量仪表在测量过程中分析引起的误差时也要用到这两个定理。在对含源一端口电路，求其戴维宁等效电路和诺顿等效电路时，在通常情况下，两种等效电路同时存在。但是当含源一端口内有受控源时，它内部的独立电源置零后，输入电阻或等效电阻有可能为零或无穷大，这时两种等效电路不可能同时存在。常见的一端口等效电路的几种情况见表4-2。 表4-2 含源一端口等效电路的几种情况uocReq(Geq)iSC戴维宁等效电路诺顿等效电路0，且为一定值0，且为一定值0，且为一定值存在存在0，且为一定值0仅含一个电压源uOC不存在不定方程（无解）0，且为一定值不存在仅含一个电流源 iSC000仅含一个等效电阻4.4 最大功率传递定理图4。14#NUocRegRLi图4. 15最大功率传递定理ab 给定一线性含源一端口N，接在其端口a、b两端的负载电阻不同，从一端口N传递给负载的功率也不同，在什么情况下，负载获得的功率最大？可先将线性含源一端口N用戴维宁和诺顿等效电路替代，如图4.15所示电路。设负载电阻为RL，则RL很大时，电流很小，因而RL所得的功率i2RL很小；如果RL很小，功率同样很小。当RL在0 区间变化时，将总会有一个RL值使其获得电功率最大。要确定RL值，先计算RL的电功率，其电功率为 (4-10)要使p最大，应使，由此可求p为最大值时的RL值，对式(4-10)求导，即得 (4-11)令式(4-11)等于零。由此可得 (4-12)由于 故，式(4-12)即为p的最大值的条件。因此，由线性一端口传递给可变负载电阻RL的功率最大值的条件是负载电阻RL与戴维宁（或诺顿）等效电路的等效电阻Req相等。即为最大功率传递定理。满足RL = Req时，称为RL与一端口输入电阻Req匹配。此时，负载电阻获得的最大功率为 (4-13) 如由诺顿等效电路，则有 (4-14)最大功率传递定理是指负载可变，而Req不变的情况下得到的。如果Req可变，而RL不变，则只有在Req=0时，RL才获得最大功率。RLI1图4.16例4.9题图18VI3060ab+URL-b例4-9 如图4.16所示电路，求： RL获得最大功率时的RL值； 计算RL获得的最大功率PL； 当RL 获得最大功率时，求电压源产生的电功率传递给RL的百分比。解 求ab左端戴维宁等效电路 因此，当RL=20时，其获得功率最大。 RL获得功率为 当RL =20时，其两端的电压为 流过电压源的电流I为 电压源电功率为 负载所获得最大功率的百分比为电源传递给负载的电功率为25%，这个百分数称为传递效率。通过此例题分析，可知，含源一端口，端口内电源传递给负载的电功率百分比，即效率一般小于50%，原因是含源一端口与其等效电路对外电路而言是等效的。而对内电路来说并不等效。另外，只要在Req实实在在地作为一电压源的内阻情况下，负载获得最大功率时，电源传递给负载的效率为50%。这时电源内阻和负载电阻消耗电功率相等。4.5 特勒根定理 特勒根定理如同基尔霍夫定理一样，它适合于任何集总参数电路，且与电路元件的性质无关。特勒根定理有两个。 特勒根定理1指出：对一个具有n个节点b条支路的电路，若支路电流和支路电压分别用（i1、i2ib）和（u1、u2ub）表示，且各支路电压和支路电流为关联参考方向，则对任何时间t，有图4. 17特勒根定理验证123456 (4-15)下面通过图4.17所示的电路图来验证定理。设图4.17为一个有向图，其各支路电压和电流分别为和i1，i2，i3，i4，i5，i6。并以节点为参考点，其余三个节点电压为un1，un2和un3。支路电压用节点电压表示为 (4-16) 该电路在任何时刻t，各支路吸收电功率的代数和为 (4-17)将式(4-16)代入式(4-17)中，经整理可导出节点电压和支路电流的关系式 (4-18)根据KCL，对节点、列写方程，又有 (4-19)式(4-19)代入式(4-18)中，得上述验证方法可推广到任何具有n个节点和b条支路的电路，即有 这个定理是电路功率守恒定理，它表示任一集总电路，电路中各独立电源提供的功率总和，等于其余各元件吸收的功率总和。也就是说，全部元件吸收的电功率是守恒的。特勒根定理2指出：设有两个由不同性质的二端元件组成的电路N和，均有b条支路n个节点，且具有相同的有向图。假设各支路电压和支路电流取关联参考方向，并分别为，则在任何时刻t，有 (4-20)或 (4-21)特勒根定理2的证明，可先设另有一电路，其有向图与图4.17有向图完全相同。然后按验证定理1的方法进行证明，请读者自行完成。 特勒根定理2表明，有向图相同的任意两个电路中，在任何时刻t，任一电路的支路电压与另一电路相应的支路电流的乘积的代数和恒等于零。式(4-20)和(4-21)中的每一项，可以是一个电路的支路电压与另一电路在同一时刻相应支路电流的乘积，也可以是同一电路同一支路在不同时刻的电压、电流乘积，因而该乘积仅仅是一个数学量，没有物理意义，象功率而不是功率，故称之为似功率定理。要注意该定理要求u（或）和支路电流i（或）应分别满足KVL和KCL，定理只与电路的电压和电流有关，而与元件的性质无关。例4-10 图4.18是两个具有相同图而不同元件构成的电路，在表4.3中列出两个电图4. 18例4 -10题图验证似功率定理i1i2i3i4i5i6N路在某一瞬时的支路电压和支路电流值，计算出似功率的数值。从表中看出似功率是守恒的。表4-3例题4-10电路的支路电压、支路电流及似功率支路号u(V)i(A)(V)(A)uib110102200b2-324008b35-12210-2b47341712b585-218-10b615-42-3-45-8似功率4.6 互易定理互易性是线性电路的一个重要性质。对一个线性无源（既不含独立源又不含受控源）电阻电路，互易定理的内容可概述为：在单一激励（独立电源）的情况下，当激励与其在另一支路的响应（电压或电流）互换位置时，同一数值激励所产生的响应在数值上将不会改变。本节将应用特勒根定理来论述互易定理的三种形式。第一种形式，如图4.18(a)所示，电路N内仅含线性电阻，不含任何独立电源和受控源，端接电压源，端短路，其短路电流为，若将激励和响应互换位置，如图(b)所示，端接电压源，端短路，其电流为，则。(a) (b)图4. 18互易定理的第一种形式NuS12i2uS12第二种形式，如图4.19(a)所示，电路N内仅含线性电阻，不含任何独立电源和受控源，端接电流源iS，其开路电压为u2，若将激励和响应互换位置，如图(b)所示，端接电流源iS，端开路，其电压为，则=u2。第三种形式，如图4.20(a)所示，电路N内仅含线性电阻，不含任何独立电源和受控源，端接电压源，端短路，其短路电流为，若将激励和响应互换位置，如图(b)所示，端接电流源取代电压源，其数值上，端开路，其电压为，则=（注意是数值上相等）。(a) (b)图4. 19互易定理的第二种形式NiS12+u2-iS12+-(a) (b)图4. 20互易定理的第三种形式NuS12i2iS12+-+-12+- (a) (b)图2. 21互易定理证明