1-10系列论文12篇之10：微积分的新体系.pdf

师子说理三部曲 1 师子高谈微积分 52 第第 1010 篇篇 系列论文系列论文 1 12 2 篇之篇之 1010 微积分的新体系微积分的新体系 师教民师教民 1 2 1 1 石家庄广播电视大学石家庄广播电视大学 科学技术部科学技术部 河北河北 石家庄石家庄 050081 2 2 石家庄经济学院石家庄经济学院 信息工程学院信息工程学院 河北河北 石家庄石家庄 050031 摘摘 要要 变量在任一点处开始变化时已经具有的变化的 迹象或在变化结束时仍然保留的变化的痕迹叫做该变量的变 化趋势 带有变化趋势的数叫做变数 带有变化趋势的 0 叫做 无穷小变数 简称为无穷小数 宽度为无穷小数的区间叫做瞬 间 时间的瞬间叫做瞬时 把某种特殊函数的无穷小增量定义 为该函数的微分 把函数的微分和该函数的自变量的微分之比 定义为该函数的分微分 俗称为导数或微分商 把微分的无 限积累定义为积微分 俗称为积分 关键词关键词 变化趋势 无穷小数 变数 瞬间 瞬时 连 续 微分 分微分 微分商 导数 积微分 微分和 积分 中图分类号中图分类号 O172 文献标识码文献标识码 A 我们已经从系列论文 12 篇之 01 中知道 牛顿 莱布尼茨创 立的微积分理论 无穷小量分析法无穷小量分析法或第一代微积分第一代微积分存在微分之微分之 谜谜或微积分之谜微积分之谜或贝克莱悖论贝克莱悖论或第二次数学危机第二次数学危机这个著名于天下 的世界数学大难题世界数学大难题 为了解决第二次数学危机第二次数学危机这个世界数学大难题世界数学大难题 法国数学 家柯西 Augustin Louis Cauchy 公元 1789 8 21 1857 5 22 等 人创立了标准分析法标准分析法或极限理论极限理论或第二代第二代微积分微积分 形成经典经典微积微积 第 10 篇 微积分的新体系 53 分理论分理论 但是从系列论文 12 篇之 01 09 知 极限理论极限理论存在八八大大 科学科学错误错误 致使世界集合论最高权威之一 以色列数学家弗朗克弗朗克 尔尔 Abraham Adolf Fraenkel 公元 1891 2 17 1965 10 15 针对 极限理论中的微积分理论与无穷小概念脱节脱节的现状 表达了 要 想检验无穷小量的功能 只须看它能否应用到微积分里去 的美美 好愿望好愿望 其实 早在柯西等人创立标准分析法标准分析法之前 世界四大数学家 之一 瑞士数学家 力学家 物理学家欧拉欧拉 Leonhard Euler 公 元 1707 4 15 1783 9 18 就提出发明既等于 0 而又不同于 0 的 新数新数的伟大设想伟大设想 以便解决第二次数学危机第二次数学危机这个世界数学大难世界数学大难 题题 但是他没有成功 然而人们普遍认为 这种新数一旦发明 第第 二次数学危机二次数学危机这个世界数学大难题世界数学大难题便会迎刃而解 因此 我们应 该继承欧拉的这一工作 完成他的遗愿 1 1 无穷小数新定义无穷小数新定义 理论来源于实践 因此 我们就从实践原型中抽出欧拉欧拉想发 明的既等于 0 而又不同于 0 的新数以及有关的概念 一节废电池输出的电流是 0 而一节新电池未接负载时 输 出的电流虽然也是 0 但是在电动势的作用下有流出的趋势 即 这节新电池输出的电流有两项内容 在数值上为 0 在变化 上有流出的趋势 从这一实践原型出发 我们把所取数值变化的 物理量叫做变量变量 把变量在任一点处开始变化时已经具有的变化 的迹象迹象或在变化结束时仍然保留的变化的痕迹痕迹叫做该变量的变化变化 趋势趋势 把带有变量的变化趋势的 0 叫做无穷小变数无穷小变数 简称为无无 穷小数穷小数 记做0 其中 0 表示无穷小数0 的数值大小 0 头顶 上的 表示无穷小数0 的变化趋势 这样 我们定义的无穷小 数就成了既等于 0 在数值大小上 而又不同于 0 在变化趋 势上 的新数 从而完成了完成了世界四大数学家之一 瑞士数学家欧欧 拉拉希图 发明既等于 0 而又不同于 0 的新数 的伟大设想伟大设想 师子说理三部曲 1 师子高谈微积分 54 如果用上述的无穷小数代替极限理论的无穷小量 那么我们 就知道了无穷小量究竟小到多少 从而为定义新的瞬时 瞬时速 率以及准确的 合理的 科学的 名符其实的微分 导数 积分 等概念打下了基础 我们继续扩大战果 把带有变量的变化趋势的实常数 包括 在数值上为 0 的实常数 叫做实实变数变数 简称为变数变数 记做 x 其 中的 x 表示变数 x 的数值大小 x头顶上的 表示变数 x 的 变化趋势 如果要分出变数 x 在x的左 右两边变化的情形 那 么 把在x的左边变化的变数 x 记做x 把在x的右边变化的变 数 x 记做 x 把在x的左 右两边都变化的变数 x 记做 x 这 样 我们定义的新变数变数就成了具有 变变化 和 数数值 双重内容 的数 从而恢复恢复了了变数变数的的本来面貌本来面貌 这样 无穷小数就成为变数 数值为 0 时的特例 因此 这新变数的定义 就为准确的 合理 的 科学的 名符其实的微积分的新理论的创立打下了基础 2 2 瞬间瞬间瞬时瞬时新定义新定义 像由实常数组成的数轴叫做实常数轴那样 由实常数以及在 其左右变化的实变数组成的数轴叫做实变数轴实变数轴 简称为变变数轴数轴或 数轴数轴 把实变数轴上任意两点 a b a b 间的一段长度叫做 实变数的一个区间实变数的一个区间 简称为实变数区间实变数区间或变区间变区间或区间区间 把这任 意两点 a b 叫做这个区间的两个端点 端点 把b a 的差叫做这个区 间的宽度宽度 宽度的数值部分叫做宽度值宽度值 区间的宽度值越大 这 个区间内包含的不同的实常数就越多 但是 只要区间的宽度值 不为 0 这个区间内就包含无穷多个不同的实常数 如果区间的 两个端点 a b a b 都包含在该区间内 那么称该区间为闭 闭 区间区间 记做 a b 如果区间的两个端点 a b a b 都不包 第 10 篇 微积分的新体系 55 含在该区间内 那么称该区间为开区间开区间 记做 a b 如果区间 只有一个端点 a 或b a b 包含在该区间内 那么称该区间为 半开区间半开区间或半闭区间半闭区间 a 包含在该区间内时 记做 a b b 包 含在该区间内时 记做 a b 宽度为实无穷小变数的实变数区间或宽度值为 0 的实变数区 间叫做实无穷小变数区间实无穷小变数区间 简称为无穷小变区间无穷小变区间或无穷小区间无穷小区间或 瞬区间瞬区间或瞬间瞬间 可见 瞬间内只包含一个点 即瞬间内只包含一 个实常数 某物理量的瞬间简称为瞬某瞬某 如 时间的瞬间简称为 瞬时瞬时 温度的瞬间简称为瞬温瞬温 长度的瞬间简称为瞬长瞬长等 瞬间 内的数 只在左边变化时称该瞬间为左左瞬间瞬间 只在右边变化时称 该瞬间为右右瞬间瞬间 在左 右两边都变化时称该瞬间为总总瞬间瞬间 左 瞬间 右瞬间 总瞬间都简称为瞬间瞬间 实常数 a 的左瞬间 右瞬 间 总瞬间分别记做 a a a a a a 某物理量只有趋势变化而没有数值变化时的变化叫做该物理 量的瞬间变化瞬间变化 因此 某物理量的增量为无穷小数时 该物理量 的变化为瞬间变化瞬间变化 所以 无穷小数增量的几何意义为瞬间的宽瞬间的宽 度度 简称为瞬间瞬间 在我们定义 瞬间 包括 瞬时 以前 瞬时的概念仅仅 停留在文学的描述上 即 一眨眼的工夫 因此 人们只知道 瞬 时 很小 但是不知道究竟小到多少 而我们给出 瞬间 的严 格的数学定义后 便使人们知道了瞬间究竟小到多少 进而知道 了瞬时到底包含多少时间 从而为瞬时速率瞬时速率的准确定义准确定义以及导数导数 的科学概念科学概念的引出奠定了理论基础 同时也避免了极限理论不知 道 瞬时 包含多少时间的尴尬 3 3 微积分的新体系微积分的新体系 如果函数 y x f 的自变量 x 在点x处的增量 x 变为无穷 师子说理三部曲 1 师子高谈微积分 56 小数时 函数 y x f 在点x处的相应的增量 y 也变为无穷小 数 那么称函数 y x f 在点x处连续连续 如果函数 y x f 在点x处连续 且函数 y x f 在x点 处的增量 y 与自变量 x 在x点处的相应的增量 x 之比在 x 变 为无穷小数时为有限变数 特殊情况下可为 那么 把 x 能 变为无穷小数叫做 x 在点x处可可微分微分 简称为可可微微 把 x 变为 的无穷小数叫做 x 在点x处的微分微分 记做 x d 把 y 能变为无穷 小数叫做 y x f 在点x处可可微分微分 简称为可可微微 把 y 变为的 无穷小数叫做 y x f 在点x处的微分微分 记做 y d 把 y x f 在 点x处的微分微分与 x 在点x处的微分微分之比能为有限变数 特殊情况 下可为 叫做 y x f 在点x处可可分微分分微分 简称为可可分微分微 俗 称为可求导可求导或可导可导 把该比叫做 y x f 在点x处的分微分分微分 简 称为分微分微 俗称为导数导数或微分商微分商或微商微商 记做 y 或 xf 所以 y xf x y d d y d xf x d y x d 1 对于自变量 x 的所有取值 函数 y xf 叫做 y x f 的 分微分函数分微分函数 简称为分微函数分微函数 俗称为导函数导函数 函数 y x f 叫 做 y xf 的原来函数原来函数 简称为原函数原函数 如果函数 y x f 在闭区间 a b 内处处可微 并且把函 数 y x f 在区间 a b 内各点 共有无限 无限多个点 处的微分 连续连续相加 因为 y x f 在区间 a b 内连续 连续 所以叫做连续连续 相加 所得的和为有限变数 特殊情况下可为 注意注意 无穷多 个微分或连续连续的无穷小数0 之和在数值上可 可不为 0 详见专著 实 变分析新原理 待出版 第 1 册第 115 122 页 那么 把函数 y x f 在区间 a b 内各点处的微分连续 连续相加之 和能为有限变数 特殊情况下可为 叫做原原函数 y x f 在闭 第 10 篇 微积分的新体系 57 区间 a b 内可 可和微分和微分 简称为可可和微和微 把这个相加之和叫做 原原函数 y x f 在闭区间 a b 内的微分和 微分和 简称为微和微和 记 做 b a y d 其中 b a 叫做连续相加符号连续相加符号 把微分的 连续相加 叫做 微分的无限积累无限积累 因为区间 a b 内共有无限 无限多个点 所以叫 做无限无限积累 把函数 y x f 在区间 a b 内各点处的微分 无限积累的结果能为有限变数 特殊情况下可为 叫做分微分微函 数 y xf 在区间 a b 内可 可积微分积微分 简称为可可积微积微 俗称 为可可积分积分或可可积积 把函数 y x f 在区间 a b 内各点处的微 分无限积累后所得的有限变数 特殊情况下可为 叫做分微分微函 数 y xf 在区间 a b 内的积微分 积微分 简称为积微积微 俗称为 积分积分 记做 b a y x d 其中 b a 叫做积微分符号积微分符号 积微分符号或连 续相加符号 b a 是把间断相加符号 b a 1 的死弯儿拉成活弯儿以后 得来的 这就体现出曲线美 显得苗条多了 所以据 1 式有 b a y d b a f x x d b a y x d 2 我们用上述方法定义连续连续 微分微分 分微分分微分 即导数导数 积微积微 分分 即积分积分 时 淘汰了最难懂的 且有错误的极限概念 把 极限理论中的完全相同的概念微分dx dy 和增量 x y 严格 地区分开来 从而形成了名副其实名副其实的 简单易懂简单易懂的微积分理论新新 体系 我们把这新新体系叫做对立统一分析法对立统一分析法或辩证分析法辩证分析法 师子说理三部曲 1 师子高谈微积分 58 参考文献参考文献 1 菲赫金哥尔茨 苏 数学分析原理 第 1 卷第 1 分册 M 吴 亲仁 陆秀丽译 北京 高等教育出版社 1959 53 56 117 123 147 150 168 170 2 同济大学数学教研室 高等数学 上册 M 北京 高等教育 出版社 1996 42 54 74 85 94 105 278 280 3 乔治 贝克莱 英 人类知识原理 M 关文运译 上海 商 务印书馆 1973 77 90 4 卡尔 马克思 德 数学手稿 J 复旦学报 自然科学版 专 辑 1975 1 52 54 5 师教民 微积分之谜与美 M 石家庄 河北科学技术出版 社 2007 126 144 169 230 6 师教民 两地书中论科学 M 石家庄 河北科学技术出版 社 2007 173 182 7 中国科学院数学研究所资料室 非标准分析 C 北京 中国 科学院数学研究所 1976 321 339 8 鲁滨逊 美 非标准分析 M 申又枨 王世强 张锦文等译 北 京 科学出版社 1980 303 322 Article No 10 in the Series of 12 A New System of the Calculus Shi Jiao min1 2 1 1 Department of Science and Technology Shijiazhuang Radio and Television University Shijiazhuang 050081 China 2 2 Information Engineering College in Shijiazhuang Economic Institute Shijiazhuang 050031 China Abstract A variate has its variable signs when it begins to change at any point and it keeps the variable vestiges when the change stops Both variable signs and variable vestiges are called the 第 10 篇 微积分的新体系 59 variation trend of this variate The number that has the variation trend is called the variable number the zero that has the variation trend is called the infinitesimal variable number it is called the infinitesimal number for short The interval whose width is the infinitesimal number is called the wink interval the wink interval of the time is called the wink time or the moment the instancy Define the infinitesimal increment of a certain special function as the differential of this function the ratio between the differential of a function and the differential of the argument of this function as the divided differential of this function