一类不确定奇异摄动系统的稳定鲁棒控制.pdf

烟台大学 硕士学位论文 一类不确定奇异摄动系统的稳定鲁棒控制 姓名 张淑丽 申请学位级别 硕士 专业 理科 运筹学与控制论 指导教师 王宪杰 2011 04 摘要 自上世纪三十年代以来 奇异系统理论和方法的研究开始活跃起来 成为应用数学 的重要领域 在许多工程问题中 系统往往复杂多变呈现出不确定性 因此对不确定系 统的研究是非常受瞩目的一个课题 并且目前对于奇异系统鲁棒控制的研究也有了突 飞猛进的发展 研究成果层出不穷 对于含有不确定量的一类奇异摄动系统 本文考虑了系统 X A11 A11 X A12Z B1U Z A21 A21 X A22Z B2U Y CX 和系统 X A11 A11 X A12 A12 Z B1U Z A21X A22Z B2U Y CX 这两种不同形式的不确定奇异摄动系统 利用Lyapunov理论 分别对两个系统进行了 鲁棒性研究 在相关条件下 对理想奇异摄动系统进行分析 得到其稳定鲁棒控制 同 时也是不确定奇异摄动系统的稳定控制 并给出了鲁棒界 关键词 奇异摄动系统 不确定性 稳定鲁棒控制 控制界 i Abstract Since 1930s singular system has become active and turned into an important fi eld of applied mathematics In many engineering problems the system often complicated and changeable and usually presents uncertainty because of this the research of uncer tain systems is now a very active project robust control of singular systems also has by leaps and bounds development the results emerge in endlessly For a class of singular perturbed systems with uncertainty this paper considers the system one X A11 A11 X A12Z B1U Z A21 A21 X A22Z B2U Y CX and two X A11 A11 X A12 A12 Z B1U Z A21X A22Z B2U Y CX these two kinds of diff erent forms of uncertain singular perturbed system using Lyapunov theory the two system robustness research respectively Under certain conditions one can get the stable robust control and the robustness of an ideal singular perturbed system respectively also the stability control of the uncertain singular perturbed systems Keywords Singular perturbation system Uncertainty Stable robust control Con trol boundary ii 烟台大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立进行研究工作所 取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品或成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确 方式标明 本声明的法律结果由本人承担 论文作者签名 日期 年月日 学位论文使用授权说明 本人完全了解烟台大学关于收集 保存 使用学位论文的规定 即 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版 并提供目录检索与阅览服务 学校可以采用影印 缩印 数字化或其它复制手段保存论文 在不以赢利为目的的前提下 学校可以公布论文的部分或全部内容 保密论文在解密后遵守此规定 论文作者签名 导师签名 日期 年月日 版权声明 任何收存和保管本论文各种版本的单位和个人 未经本论文 作者同意 不得将本论文转借他人 亦不得随意复制 抄录 拍照 或以任何方式传播 否则 引起有碍作者著作权之问题 将可能承 担法律责任 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文1 1引言 1 1研究背景与现状 20世纪60年代 在电子技术和航空技术的推动下 现代控制理论诞生了 它基于状 态空间模型 主要研究对象为多输入 多输出的被控对象 在用状态空间法进行系统分 析时 采用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述系统的动态特性 它能反映系统全 部独立变量的变化 既而能同时确定系统的全部运动状态 而且还可以方便地处理初始 条件 因此在设计控制系统时 不再只局限于输入量 输出量以及误差量 为提高系统 性能提供了有力的工具 加之计算机在进行分析设计及实时控制方面的广泛应用 因而 可应用于时变系统 非线性系统 多输入 多输出系统以及随机过程等 线性系统理论的研究对象为线性动态系统 简称线性系统 它是一类最简单且应用 最广泛的动态系统 当描述动态系统的数学方程具有线性属性时 相应的系统被称为线 性系统 严格来说 一切实际的系统都是非线性的 真正的线性系统在现实世界中是不 存在的 它是实际系统一类理想化了的模型 对于大多数实际系统 在一定范围内 它 们的某些特性可以用线性系统来近似地代替 并且线性化后的系统与实际系统之间的 差别已经小到无关紧要的程度 可以忽略不计 从这个意义上来说 线性系统或者说可 线性化的系统又是大量存在的 而这正是研究线性系统的实际背景 对于一个实际系统 是否可将其按线性系统来处理 需要考虑系统本身及所研究问题两方面的因素 只有从 这两个方面入手 对具体系统进行具体分析 才能衡量一个实际系统是否可看成线性系 统 20世纪60 70年代 控制理论中线性系统的能控 能观性理论方面的研究取得了突 破性进展 在此基础上关于反馈镇定的一整套严密的理论和方法应运而生 现实问题 中 系统往往运行在不断变化的环境中 许多因素都随时间变化 如设备 原料 负荷 温度等 这种变化我们很难预知与掌握 然而这些理论和方法依赖于受控对象的精确数 学模型 因此存在一定的缺陷性 人们在实际系统的建模过程中 受限于某些理论和方 法 经常要对系统做一些相应的调整 如将非线性方程转换为线性方程进行分析研究 时变系统转化为定常系统 降阶处理等 因而导致模型与实际系统之间存在一定的差 别 这就使得现代控制理论中的反馈控制理论等一部分结果在解决实际工程问题上不 够完美 这种动力促使人们更进一步研究控制系统的鲁棒性 鲁棒 一词为英文词 Robust 的音译 Robustness即鲁棒性 其含义是稳健或强 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文2 壮 因此鲁棒性又常被称为稳健性或强壮性 20世纪70年代初期 鲁棒性的概念被正式 引入到现代控制理论中 然而关于鲁棒性本身却没有给出明确的定义 目前 控制理论 中涉及的各种鲁棒性都有其各自的含义 简单来说 鲁棒性就是与控制系统相关的某种 意义下的抗扰能力 实际系统不可避免的要遇到各种不确定性 包括外部干扰的不确定性以及系统本 身的不确定性 如系统工作环境的波动 模型参数的不确定性 降阶 未建模动态及线 性化近似等 许多系统都有呈现奇异摄动特性的快变变量 包括很多位数很大的系统 在实际系统和实际过程中也有类似的时标特性 如化学扩散反应 生物化学过程 冷轧 机的工业控制系统 飞机和火箭系统 以及核反应堆等 目前人们研究奇异系统的稳定性主要有三种方法可供选择 分别是几何方法 多项 式矩阵方法和状态空间方法 用几何方法解决线性系统的鲁棒稳定性问题是由Wonham提 出的 他的研究成果括基本理论和反馈设计两大部分 首先 在基本理论上 他对线 性系统的状态空间描述与其他描述之间的关系进行了分析讨论 并且通过证明得出 这几种描述之间的关系 即它们在一定条件下是相互等价的 其次 在反馈设计问题 上 Wonham对不变子空间概论进行了推广与扩展 并将它应用于设计奇异系统的输出 反馈控制器问题 多项式矩阵方法采用的方法是对转移矩阵进行因式分解 首先将其分 解成一些真的因子和非真的因子 再通过某种适当的变化 将非真的因子转换成真的因 子 然后分别设计每个真的因子各自的控制器 使其保持奇异系统的鲁棒稳定性 状态 空间方法的基本思想是对状态方程的结构特性进行研究 并设计控制器使其保持奇异 系统的鲁棒稳定性 目前在正则系统鲁棒稳定性的研究中 状态空间方法经过实际应用 的检验逐渐得到完善 学者们将其理论与方法推广到了奇异系统 令人欣慰的是这一推 广给奇异系统的鲁棒控制研究带来了飞速发展 最初 人们主要从频域的角度研究奇异系统的鲁棒控制问题 基于多项式矩阵方法 和几何方法 在初期阶段 这两种方法的确对奇异系统鲁棒控制研究的发展起到了推动 作用 但随之暴露的一些缺陷使得这两种方法的发展陷入了僵局 几何方法使用的数学 工具比较抽象 理论上也存在一定的缺陷性 其一 几何方法将线性系统理论的方法和 理论直接嵌套到奇异系统理论中 这样做的后果导致了计算上难以跨越的障碍 其二 通过研究我们发现可以这样做的奇异系统也只是特定的一种 这些缺陷导致几何方法 难以立足于实际应用中 它的发展受到了冲击 多项式矩阵方法的一个显著缺陷是其 所有设计的控制器必须保持相同的稳定裕度 假设具有不同的稳定裕度或其中某一个 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文3 不稳定时 那么整个系统的设计结果都是徒劳的 针对这一问题 Wang 1 和Liu 2 企图 通过建立奇异系统的频率范围改善这一缺陷 即便如此 因为在将非真因子与真因子进 行转化的过程中 难免要加入一些条件 这使得该方法在实际的应用中依然受到很多限 制 自然界大量的实际系统中存在着不确定性与时间滞后 许多实际的奇异系统中也 存在着时间滞后和不确定因素 众多学者对此产生了浓厚的兴趣 使得研究不确定性对 奇异摄动系统的稳定性造成的影响成为目前控制界非常活跃的课题之一 国内外许多 学者在这一领域取得了优秀的成果 文献 3 作者对具有反馈控制的不确定系统的鲁棒性进行了讨论 文献 4 对具有时 滞的不确定系统的鲁棒控制问题进行了讨论 文献 5 给出了具有状态反馈式不确定的 系统的稳定控制鲁棒界的设计问题 文献 6 给出了线性不确定奇异摄动系统具有一定鲁 棒界的稳定控制 得到了闭环奇异摄动系统渐近稳定的条件 文献 7 给出了同时具有匹 配不确定和结构不确定的奇异系统的鲁棒控制 文献 8 采用广义系统模型方法研究了带 离散时滞和分布时滞的不确定奇异摄动系统的鲁棒稳定问题 文献 9 和文献 10 都对结 构确定而匹配具有不确定性的线性系统鲁棒控制器的设计问题进行了研究 文献 11 作 者回顾了近年来取得的重大成就以及一些成功应用 文献 12 用H 范数讨论了奇异摄 动时滞不确定系统的鲁棒稳定问题 1 2本文的主要工作 本文在相关文献的基础上 进一步研究一类不确定奇异摄动系统稳定鲁棒控制问 题 在这里 两个系统的不确定量作用于系统具有非线性的特点 因此研究过程具有一 定的困难 利用Lyapunov理论 分别对两个系统进行了鲁棒性研究 并讨论其鲁棒界 2数学准备 2 1预备知识 1 奇异系统 奇异系统 13 又称强耦合系统 不完全状态系统 广义系统等 1962年 Ardema在 研究飞行机械动力学特性时遇到了奇异摄动 从而提出了奇异系统的模型 14 Hale 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文4 在1977年他的 函数微分方程理论 15 一书里对其加以完善并建立了奇异系统的 基本概念 奇异摄动的概念对应于正则摄动的概念 而奇异系统的模型是在奇异摄动的概 念基础上建立起来的 正则摄动是系统参数的摄动 发生在系统状态方程的右边 而奇异摄动是状态的摄动 发生在状态方程的左边 即成为小参数乘以状态变量的 时间导数 在一些实际系统中 有些状态不是完全的 乘上一个小参数之后就变成了快变 状态 即呈现奇异摄动现象 此时状态分成两部分 一部分是没有发生奇异摄动的 慢变状态 另一部分是发生奇异摄动的快变状态 对于线性奇异摄动系统来说 其 状态空间表达式描述如下 x1 t A11x1 t A12x2 t B1u t 2 1 x2 t A21x1 t A22x2 t B2u t 2 2 y t C1x1 t C2x2 t 2 3 令 x t x1 t x2 t A A11 A12 A21A22 B B1 B2 E I1 0 0 I2 C h C1C2 i 其中 状态x1 t 称为慢变状态 其所对应的子系统称为慢变子系统 状态x2 t 称为 快变状态 其所对应的子系统称为快变子系统 矩阵I1与I2的阶次与x1 t 和x2 t 的 阶次相等 矩阵E 称为奇异摄动矩阵 此时系统 2 1 2 3 描述如下 E x t Ax t Bu t 2 4 y t Cx t 2 5 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文5 系统 2 4 2 5 是一个标称的奇异摄动系统 为了更好的分析奇异摄动系统 我 们假定 0 此时系统 2 4 2 5 变成如下的形式 E x t Ax t Bu t 2 6 y t Cx t 2 7 其中 E I1 0 0N 其中 矩阵N为零幂矩阵 这里我们将矩阵E定义为状态矩阵 由于矩阵E的奇异性 系统 2 6 2 7 被 称为奇异系统 需要指出的是 在实际的对象里 奇异系统一般不存在 它是奇异 摄动系统的一种理论上的简化 一些特性与奇异摄动系统非常相似 只是为了更方 便地研究问题 我们假定奇异系统理论上存在 通过分析奇异系统的一些特性达到 分析奇异摄动系统的目的 Lewis通过研究得出了一个对奇异系统稳定性研究有着重大意义的结论 16 该 结论如下 1 若行列式 sE A 不恒等于零 则矩阵对 E A 是正则的 2 若deg sE A rankE 则矩阵对 E A 无摄动 奇异系统 2 6 2 7 有一个正则的 无摄动的唯一解 当且仅当矩阵对 E A 具 有正则性与无摄动性 当然奇异系统 2 6 2 7 也可能有一个摄动的解 考虑奇异标称系统 E x t Ax t Bu t 2 8 其中 矩阵A Rn n u t Rm为系统的控制输入向量 矩阵B Rn m为输入矩 阵 矩阵E是奇异的且rankE r n 当u t 0时 奇异标称系统变成奇异标称 自治系统 E x t Ax t 2 9 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文6 奇异标称系统 2 8 的鲁棒稳定性主要取决于奇异标称自治系统 2 9 当奇异标 称自治系统 2 9 不稳定时 我们可以找到一个反馈控制律 使得奇异标称系统鲁 棒稳定 这就是奇异标称系统的可镇定问题 定义 2 1 11 如果系统 2 9 的解是正则 无脉冲的 则系统 2 9 是可容许 的 定义 2 2 11 如果奇异标称自治系统 2 9 满足 1 它的解在 0 是可容许的 2 它的解是Lyapunov渐近稳定的 则奇异系统 2 9 是鲁棒稳定的 定义 2 3 11 考虑奇异标称系统 2 8 如果存在线性的状态反馈控制律 u t Kx t K Rm n 使得闭环系统是上述所定义的鲁棒Lyapunov渐近稳定的 则奇异标称系统 2 8 也 是鲁棒可镇定的 2 鲁棒稳定控制 鲁棒控制包括两大部分内容 控制系统的鲁棒性分析和鲁棒控制系统设计 论及鲁棒性 必须明确事物及其性质和扰动三个方面 首先 鲁棒性是一种性质 它应该与某种事物相关联 如矩阵 控制系统等 所 以 我们通常所说的控制系统的鲁棒性即是与控制系统相关的某种意义下的抗扰能 力 其次 鲁棒性具体言及的对象并不是事物本身 而是事物的某种性质 如控制 系统的稳定性 矩阵的正定性或可逆性等等 因而 通常我们所说的 控制系统的 鲁棒性 这一说法并不确切 是一种很笼统的说法 如果要确切的表述 则需指明 某事物的某种性质的鲁棒性 如控制系统的稳定性和鲁棒性 简称控制系统的稳定 鲁棒性 从这个意义上来看 同一事物可以有多种不同的鲁棒性 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文7 再次 鲁棒性表征的是某事物 抗干扰的能力 那么其必与所言事物的某种 形式的 扰动 相关联 扰动 往往都有多种形式 某事物的某种性质针对事物不 同形式的扰动决定了该事物 该性质的不同的鲁棒性 如对于控制系统而言 外界 干扰 某些参量的变化等都可视为扰动 对于矩阵而言 其元素的摄动即是一种扰 动 为简单分析起见 我们这里将对象限定为用时域的状态空间法描述的连续定常 线性系统 即 X AX BU 2 10 Y CX 2 11 我们考虑该系统的稳定性 也即系统 X AX 的稳定性 这也是目前人们比较关注的性质 简称控制系统的稳定鲁棒性 我们将系统 2 10 2 11 的状态方程和观测方程的扰动分别记为ds和d0 17 则系统的模型为 X AX BU ds 2 12 Y CX d0 2 13 在这里 系统扰动ds和d0可能是外界施加的干扰 也可能是系统本身的不确定量 下面分别给出线性扰动和非线性扰动的定义 当ds和d0均为X和U的线性函数 即 ds AX BU 2 14 d0 CX 2 15 时 称之为线性扰动 当ds和d0之一为X和U至少其中一个的非线性函数 即 ds s X U 2 16 d0 0 X 2 17 时 称为非线性扰动 对于线性扰动的情形 受扰模型可改写为 X A A X B B X 2 18 Y C C X 2 19 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文8 非线性扰动的情形下 我们经常考虑下述扰动受限的形式 kdsk kds s X U k kXk kUk 2 20 kd0k k 0 X k kXk 2 21 对于鲁棒控制系统设计 其具体任务可以概括如下 给定一个有某种扰动的受扰系统 选取合适的控制律 使其满足下述要求 1 若扰动不存在 闭环系统在该控制律作用下具有某种希望的性能或要求 2 当扰动存在时 在该控制律作用下 闭环系统仍能完全保持或在一定程度上继续 保持所希望的性能和要求 在一个具体的鲁棒控制设计问题中 上述几方面因素 如作为研究对象的受控 系统 系统所受的扰动 控制律形式 闭环系统的希望性能和要求都要有具体的内 容或含义 这些因素内容或含义的不同便决定了不同的鲁棒控制系统设计问题 由 于我们所研究的系统从性质到描述形式都是多种多样的 而且它们所受的扰动也可 以具有各种特定形式 加之人们对于控制系统的性能要求也可能是多方面的 所有 这些因素的不同组合便给出了众多的鲁棒控制系统设计问题 3 Lyapunov稳定性 涉及到稳定性 非线性系统方面的研究内容要比线性系统方面的研究内容丰富 许多 对系统的Lyapunov稳定性给出一个定义 若从工程实际出发 如果系统受初 始扰动作用 在经过相当长的一段时间之后 系统仍能恢复到平衡状态的能力 这 样定义的稳定性囊括了一大类工程系统设计中出现的稳定性问题 4 不确定性 在很多工程实际问题中 系统都含有不确定性 时滞也随处可见 这两者往往 就是造成系统不稳定和性能恶化的主要因素 我们在这里主要研究不确定性对系统 稳定性造成的影响 不确定对象的基本描述方法是用一个集合来代表对象的模型 该集合可以是结 构化的也可以是非结构化的 结构化的情形主要是一些参数不确定性 而非结构化 情形是一些未建模动态 也称动态不确定性 一般情况下 结构化不确定性提供的 信息更具体 因而保守性更小 实际上结构化不确定性模型可以嵌入到非结构化模 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文9 型中 在鲁棒分析和综合过程中 非结构化模型更多的是应用于频域 18 在时域状 态空间下 参数不确定性描述有多种形式 例如 考虑状态空间下的具有参数不确定性的线性自治系统 其状态空间方程 为 x t A A x t 2 22 其中 A为标称系统矩阵 A为系统参数的不确定项 从描述实际系统的需要出发 同时也为了数学处理的方便 我们一般假设 A为有界的 并且有一个数学表达式 2 2本文用到的符号 对于矩阵A AT表示它的转置 A 1表示它的逆矩阵 max A min A 表示它的最 大与最小特征值 k A k2 p max HTH 为它的谱范数 A 表示它的谱 In表示n阶 单位阵 Rn n表示n n阶矩阵空间 3系统 的稳定鲁棒控制问题 3 1问题的描述 考虑不确定奇异摄动系统 X A11 A11 X A12Z B1U 3 1 Z A21 A21 X A22Z B2U 3 2 Y CX 3 3 式中X为n维主导状态 Z为m维寄生状态 U为p维控制输入 Y 为q维系统输出 A11 A12 A21 A22 B1 B2和C分别为n n n m m n m m n p m p和q n阶 矩阵 为方便讨论 我们做以下两个假设 假设 3 1 A22稳定 即Re A22 0 假设 3 2 A11 A21为系统不确定量 满足 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文10 A11 A21 U H kHk2 0 其中H Rn n kHk2 p max HTH 为H的谱范数 0 1 称为摄动比 率 引入新的寄生变量 Z A 1 22 A21 A21 X B2U 3 4 则式 3 1 与 3 2 化为 X A0 AH X B0U A12 3 5 A22 A1 A1 X A2 A2 U A3 A3 A4 U 3 6 式中 A0 A11 A12A 1 22A21 B0 B1 A12A 1 22B2 A1 A 1 22A21A0 A2 A 1 22A21B0 A3 A 1 22A21A12 A4 A 1 22B2 A1 A 1 22A21 AH A 1 22 A21 A0 AH AH A11 A12A 1 22 A21 A2 A 1 22 A21B0 A3 A 1 22 A21A12 当 0时 系统 3 5 3 6 和 3 3 退化为线性不确定系统 X A0 AH X B0U 3 7 Y CX 3 8 在状态反馈U KX下 得闭环系统 X AC AH X A12 3 9 A22 EX F 3 10 Y CX 3 11 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文11 式中 AC A0 B0K E A1 A2K A4KA0 A4KB0K A1 A2K A4K AH F A3 A4KA12 A3 易知 矩阵E依赖于不确定量 A11与 A21 矩阵F依赖于不确定量 A21 可分别记为 E E A11 A21 F F A21 3 2鲁棒性定理 在给出鲁棒控制定理前 先给出下面几个重要的引理 引理 3 1 3 实对称矩阵F Rn n 满足kFk2 0 矩阵方程 ATP PA 2rP Q 有唯一正定解阵P的充要条件是 A C r Z ReZ 0 其中A Rn n A 表示矩阵A的谱 引理 3 3 5 如果 F H 完全能观 那么F稳定的充要条件是存在正定对称阵P 使 得矩阵方程 FTP PF Q1 成立 其中Q1 HHT 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文12 定理 3 1 设U KX是理想奇异摄动系统 19 X A0X B0U A12 3 12 A22 A1X A2U A3 A2 U 3 13 Y CX 3 14 的稳定控制 则必存在 0 使得 时 U KX是不确定奇异摄动系统 3 9 3 11 的稳定控制 且其控制界为 r min PC c max PC 3 15 式中c 1 kA12A 1 22k2为常数 PC是Lyapunov方程 ATPC PCA 2rPC Q 3 16 的正定解阵 Q为正定对称阵 是由不确定量 A11与 A21确定的正常数 0 r 0 方程 AT CPC PCAC 2rPC Q 有唯一正定解阵PC 选取Lyapunov函数 V X 1 2X TPCX 2 X TP1 X 3 17 式中 X P 1 1 X PCA12A 1 22 T 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文13 将V X 对t求全导数 并利用式 3 9 3 10 得 V X 1 2X T AT CPC PCAC AT HPC PC AH X 1 2 T AT 22P1 P1A22 2 XT GT 1 G1 X 2 T GT 2P1 P1G2 X TGT 1P1 TP1G1X TGT 2 X X T TG2 3 18 式中 G1 E P 1 1 AC AH G2 F P 1 1 A12 由式 3 15 3 16 得 V X 1 2X T Q 2rPC AT HPC PC AH GT 1 TG1 X 1 2 TQ1 2 T GT 2P1 P1G2 X TGT 1P1 TP1G1X TGT 2 X X T TG2 3 19 由 A11 A21 U AH A11 A12A 1 22 A21 可得 k AHk2 k A11 A12A 1 22 A21k2 k A11k2 kA12A 1 22 A21k2 c 其中c为常数 从而 k AT HPC PC AHk2 2k AHk2kPCk2 2c kPCk2 2c max PC 设 a 1 2 min Q1 1 1 2 max G T 2P1 P1G2 2 kGT 1P1 TG2k2 kP1G1 GT 2 k2 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文14 再令 kGT 1 TG1k2 A11 A21 0 当 时 能保证 a 1 2 min Q1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 21 由引理 3 2 2c max PC In AT HPC PC AH 与 In GT 1 G1 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文15 都是正定对称阵 因此只要 r min PC c max PC 0 且 0 当 0 当 时 有 1 2 2 2 1 2 2 2 因此只要r min B0BT 0 min P 2 C min PC 0 就能保证 V X 0 其 中AT 0PC PCA0 In 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文16 4系统 的稳定鲁棒控制问题 4 1问题的描述 考虑不确定奇异摄动系统 X A11 A11 X A12 A12 Z B1U 4 1 Z A21X A22Z B2U 4 2 Y CX 4 3 式中X为n维主导状态 Z为m维寄生状态 U为p维控制输入 Y 为q维系统输出 A11 A12 A21 A22 B1 B2和C分别为n n n m m n m m n p m p和q n阶 矩阵 同样地 为方便讨论 我们做以下两个假设 假设 4 1 A22稳定 即Re A22 0 假设 4 2 A11 A12为系统不确定量 满足 A11 A12 U H kHk2 0 其中H Rn n kHk2 p max HTH 为H的谱范数 0 1 我们称 为摄 动比率 引入新的寄生变量 Z A 1 22 A21X B2U 4 4 则式 4 1 与 4 2 化为 X A0 A0 X A12 A12 B0 A1 U 4 5 A22 A2 A2 X A3 A3 U A4 A4 A5 U 4 6 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文17 式中 A0 A11 A12A 1 22A21 B0 B1 A12A 1 22B2 A2 A 1 22A21 A11 A12A 1 22A21 A3 A 1 22A21 B1 A12A 1 22B2 A4 A 1 22A21A12 A5 A 1 22B2 A0 A11 A12A 1 22A21 A1 A12A 1 22B2 A2 A 1 22A21 A11 A12A 1 22A21 A3 A 1 22A21 A12A 1 22B2 A4 A 1 22A21 A12 当 0时 系统 3 5 3 6 和 3 3 退化为线性不确定系统 X A0 A0 X B0 A1 U 4 7 Y CX 4 8 在状态反馈U KX下 得闭环系统 X AC AH X A12 A12 4 9 A22 EX F 4 10 Y CX 4 11 式中 AC A0 B0K AH A11 A12A 1 22 B2K A21 E A2 A3K A5KAC A2 A3K A5K A5 F A4 A5KA12 A4 A5K A12 易知 矩阵E依赖于不确定量 A11与 A12 矩阵F依赖于不确定量 A12 可分别记为 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文18 E E A11 A12 F F A12 4 2鲁棒性定理 定理 4 1 设U KX是理想奇异摄动系统 19 X A0X B0U A12 4 12 A22 A1X A2U A3 A2 U 4 13 Y CX 4 14 的稳定控制 则必存在 0 使得 时 U KX是不确定奇异摄动系统 4 9 4 11 的稳定控制 其控制界为 r min PC c max PC 4 15 式中c 1 kA 1 22 B2K A21 k2为常数 PC是Lyapunov方程 ATPC PCA 2rPC Q 4 16 的正定解阵 Q为正定对称阵 是由不确定量 A11与 A12确定的正常数 0 r 0 方程 AT CPC PCAC 2rPC Q 有唯一正定解阵PC 选取Lyapunov函数 V X 1 2X TPCX 2 X TP1 X 4 17 式中 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文19 X P 1 1 X PCA12A 1 22 T 将V X 对t求全导数 并利用式 4 9 4 10 得 V X 1 2X T AT CPC PCAC AT HPC PC AH X 1 2 T AT 22P1 P1A22 2 XT GT 1 G1 X 2 T GT 2P1 P1G2 X TGT 1P1 TP1G1X TGT 2 X X T TG2 4 18 式中 G1 E P 1 1 AC AH G2 F P 1 1 A12 A12 由式 4 15 4 16 得 V X 1 2X T Q 2rPC AT HPC PC AH GT 1 TG1 X 1 2 TQ1 2 T GT 2P1 P1G2 X TGT 1P1 TP1G1X TGT 2 X X T TG2 4 19 设 a 1 2 min Q1 1 1 2 max G T 2P1 P1G2 2 kGT 1P1 TG2k2 kP1G1 GT 2 k2 再令 kGT 1 TG1k2 A11 A12 0 当 时 能保证 a 1 2 min Q1 1 2 2 2 1 2 2 2 4 21 由引理 3 2 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文21 2c max PC In AT HPC PC AH 与 In GT 1 G1 都是正定对称阵 因此只要 r min PC c max PC 0 且 就能保证 V X 0 同时 当且仅当X 0时 V 0 0 0 因此 当 A11 A12 U 时 闭环系统 4 9 4 11 是渐近稳定的 即U KX是 系统 4 5 4 6 的稳定鲁棒控制 稳定界为式 4 15 稳定条件为 4 21 控制器K的 设计与定理3 2给出的设计方法相同 此处不再赘述 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文22 参考文献 1 Wang Z D Chen X M Guo Z Controllers design with variance and circular pole constraints for continuous time systems J International Journal of Systems Science 1989 20 1249 1256 2 Liu W Q Yan W Y Teo K L A frequency domain approach to control of singular systems IEEE Trans Automat Contr 1997 42 6 885 889 3 Sobel K M Banda S S and Yeh H H Robust control for linear systems structured state space uncertainly J Int J Contr 1989 50 5 1991 2004 4 Kim J H Meng J T and Park H B Robust control for parameter uncertain delay system in state and control input J Automatic 1996 32 9 1337 1339 5 贾新春 王素格 线性不确定系统的稳定控制鲁棒界和多级稳定鲁棒控制 J 系统科 学与数学 2000 20 2 155 159 6 王宪杰 高存臣 线性不确定奇异摄动系统的稳定控制鲁棒界 J 控制与决 策 2003 18 4 487 4