必考题型解答策略：函数与导数1.doc

函数与导数解答策略1、 已知函数， ()证明：曲线（）若处取得极小值，求a的取值范围。2、设函数（）求单调区间（）求所有实数，使对恒成立，注：为自然对数的底数3、设=的导数为,若函数=的图象关于直线=对称，且=0.()求实数,的值;()求函数的极值.4、设。（）求的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；（）求的取值范围，使得对任意0成立。5、已知函数.（）设函数F(x)=18 f(x)-x2 h(x)2,求F(x)的单调区间与极值；（）设aR,解关于x的方程lgf(x-1)- =2lgh(a-x)- 2lgh(4-x);（）设n*,证明：f(n)h(n)- h(1)+h(2)+ +h（n） .6、设,讨论函数 的单调性7、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的.8、已知函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求的值（2）证明：当时，9、设函数(I)讨论的单调性；（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由10、设函数，其中为常数，已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线.()求的值，并写出切线的方程； ()若方程有三个互不相同的实数根，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.11、设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值12、设函数=，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.（I）求a，b的值；（II）证明：2x-2。13、已知函数f(x)=xe-x（xR）.() 求函数f(x)的单调区间和极值；()已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x1时，f(x)g(x) ()如果且证明14、已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）证明：对任意的在区间内均存在零点 15、已知，函数（的图像连续不断）（）求的单调区间；（）当时，证明：存在，使；（）若存在均属于区间的，且，使，证明1、 已知函数 ()证明：曲线（）若处取得极小值，求a的取值范围。【解析】()，故x=0处切线斜率，又即，当，故曲线（），令， 2、设函数（）求单调区间（）求所有实数，使对恒成立，注：为自然对数的底数【解析】：（）因为所以由于所以的增区间为，减区间为。（）由题意得即。由（）知在单调递增，要使对恒成立，只要解得3、设=的导数为,若函数=的图象关于直线=对称，且=0.()求实数,的值;()求函数的极值.【解析】()=, 若函数=的图象关于直线=对称，且=0,=且，解得=3，=12.()由()知=，=，的变化如下：（，2）2（2,1）1（1，+）+00极大值21极小值6当=2时，取极大值，极大值为21，当=1时，取极小值，极小值为6.4、设。（）求的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；（）求的取值范围，使得对任意0成立。解（）由题设知，令0得=1，当（0，1）时，0，故（0，1）是的单调减区间。当（1，+）时，0，故（1，+）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(II)设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即（III）由（I）知的最小值为1，所以，对任意，成立即从而得。5、已知函数.（）设函数F(x)=18 f(x)-x2 h(x)2,求F(x)的单调区间与极值；（）设aR,解关于x的方程lgf(x-1)- =2lgh(a-x)- 2lgh(4-x);（）设n*,证明：f(n)h(n)- h(1)+h(2)+ +h（n） .解析：（），当时，；当时，；故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，在时，函数取得极大值.（）由方程lgf(x-1)- =2lgh(a-x)- 2lgh(4-x)，得，即，即，方程可以变为，当，方程，；当，方程，；当时，方程有一个解；当方程无解.（）当时，不等式成立；假设时，不等式成立，当时，所以，当时，不等式成立，综上，对一切，不等式都成立.6、设,讨论函数 的单调性【解析】7、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的.【解析】（）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0，2)（）因为+=, 8、已知函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求的值（2）证明：当时，解：（），由题意知：即（）由（）知，所以，设则，当时， ，而故，当得：从而，当时，即点评：这道题考查导数的概念、几何意义、导数的应用（证明不等式）；考查分析问题解答问题的能力；其中构造函数利用导数证明不等式是解答导数应用问题的常用策略之一。9、设函数(I)讨论的单调性；（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解析：（I）的定义域为 令（1）当故上单调递增（2）当的两根都小于0，在上，故上单调递增（3）当的两根为，当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减（II）由（I）知，因为，所以又由(I)知，于是若存在，使得则即亦即再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾故不存在，使得10、设函数，其中为常数，已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线.()求的值，并写出切线的方程； ()若方程有三个互不相同的实数根，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想.解析：（1）由于曲线与在点（2，0）处有相同的切线.故有，由此得解得 所以a=-2, b=5, 切线l的方程为x-y-2=0.（2）由（1）得，所以依题意，方程有三个互不相同的实根0、x1、x2， 故x1、x2是方程的两相异的实根.所以=9-4（2-m）0，即又对任意的成立.特别地，取时，成立，得m0.则又所以函数在的最大值为0.于是当m1时，f(x)g(x) ()如果且证明【解析】（）解：f令f(x)=0,解得x=1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x1时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以,即2.14、已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）证明：对任意的在区间内均存在零点 （）解：当时，所以曲线在点处的切线方程为 （）解：，令，解得因为，以下分两种情况讨论： （1）若变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。 （2）若，当变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （）证明：由（）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论： 当时，在（0，1）内单调递减， 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。 当时，在内单调递减，在内单调递增，若所以内存在零点。若所以内存在零点。所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。15、已知，函数（的图像连续不断）（）求的单调区间