数学能力发展的四等级模式(连四清1999).pdf

首都师范大学学报 社会科学版 Journal of Capital Normal University 1999年第6期 Social Sciences Edition 总第131期 数学能力发展的四等级模式 连四清 周春荔 摘 要 数学能力发展一直是数学教育界关注和研究的重要课题之一 本文 分析了传统数学能力观的局限性 并以广义的知识观为基础 重建了数学能力发展的 四等级模型 产生式规则的归纳 概括能力 条件再认能力 顺向推理能力和探究能 力 关键词 陈述性知识 程序性知识 数学知识 产生式 数学能力 一 传统数学能力观的局限性 数学教育的核心任务是培养和发展学习 者的数学能力 然而 我国目前流行的数学 能力观相对滞后于社会发展的需要 主要表 现在以下几个方面 第一 有关数学能力的一些基本概念相 对陈旧 一些元认知能力与认知能力关系的 研究 Harmon Masqud 1997 Maxwell David Thompson 1998 陈英和 1996等 表明 元 认知能力越强 其表现出认知能力也越强 有关元认知能力发展的实验研究均表明 元 认知能力是从认知活动过程中分化出来的一 种对自身认知过程进行更有效的监控能力 而且这种能力也是可以通过后天习得的 而 当前我国流行的数学能力的发展理论并没有 将元认知能力发展明确地纳入到数学能力发 展的范畴之内加以研究 第二 关于掌握数学知识 形成数学技能 和发展能力的关系这一课题的研究 都认为 掌握知识是形成数学技能的基础 同样也是 发展数学能力的基础 反之数学能力的发展 也促进知识的掌握和技能的形成 这种将三 者并列阐述 虽然强调了三者的辨证关系 但 实质上并没有脱离出形式训练学说的束缚 第三 如果将数学能力限定于后天习得 能力 那么脱离开数学知识来谈数学技能的 形成和数学能力的发展 不符合数学能力发 展过程的实际情况 数学能力的发展与数学 知识的获取不仅仅是相辅相成的 从个体数 学能力发展来看 更重要的是数学知识的获 取和数学能力的发展是并列进行的 即随着 数学知识学习的进行 学习者就会逐步提高 自身的数学能力 总之 传统数学能力观对数学能力进行 的探索具有一定的意义 但由于缺乏数学学 习心理学理论的指导与实验研究的支持 使 得有关数学能力的发展理论难以为数学教师 所应用 例如 传统数学能力观虽然强调了 数学知识 数学技能和数学能力三者的辨证 关系 但总使人感到数学教师在传授数学知 001 识和促使学习者形成数学技能之外 还存在 第三项任务 即培养和发展学习者的数学能 力 因此一种简单易行的方法就是在学习者 形成数学技能后 再通过解大量人为造作的 习题来提高学习者的数学能力 二 广义的数学知识观 自本世纪70年代以来 特定领域的知识 开始出现在认知心理学的研究领域 并成为 认知心理学研究的核心问题之一 大量的知 识丰富领域的学习研究 确立了两种广义的 知识观 一种是以安德森为代表的自适应控制学 习理论的知识观 这种知识观认为人类的知 识可以分为两类知识 陈述性知识和程序性 知识 并用产生式来表示程序性知识 该理 论认为 学习者首先要将陈述性知识解释成 一般的产生式规则 然后通过编辑 调优来简 化推理过程 提高解题效率 即学生应先获 得知识的一般解释 然后通过有效的练习来 形成和发展技能 但一些实验研究 Stadler 1989 Willingham Nissen 施铁如 1988 邵光华 1997 101 连四清 周春荔 数学能力发展的四等级模式 等 这种基于模式再认的数学问题解决过 程与数学知识的产生式表示是相一致的 朱 新明 1996 在总结大量实验结果后认为 人 在提取产生式解决问题时 要以识别产生式 的条件为前提 人对隐含在问题情境中的条 件线索的敏感与否 直接影响问题解决的效 率 因此我们认为数学能力的发展主要表现 在对产生式条件认知的技能的发展 这种技 能的发展突出地表现为能从概念 定理 公式 和法则的各种变式中辨认或创造条件模式 在数学学习研究的基础上 参照目前能 力实验研究中的五等级模型 我们提出数学 能力发展的 产生式规则的归纳 概括能力 条件再认能力 顺向推理能力 探究能力 四 等级模型 11 产生式规则的归纳 概括能力 在数学能力发展的初期 学习者要利用已经 掌握的数学知识 在一些一般过程性知识的 指导下解决一些新问题 通过解决问题形成 对某种动作 或操作 条件的自我解释 这种 解释在得到不断的验证的基础上 学习者归 纳出初步的产生式规则 并将它推广到同类 问题中 最终形成相对概括化的产生式规则 例中学和做中学 朱新明 1997 的实验 研究表明 在考察例题和解决问题过程中 一 方面被试首先要调用先前知识来解释面临的 新问题 即对执行某种动作 或操作 的条件 作出合理的解释 另一方面 在解决新问题的 过程中 被试对产生式的条件与动作之间的 联系得到不断的验证 从而逐步完善所学的 新知识 与例中学和做中学不同的是 接受 学习模式下对动作作出合理的解释一般是教 师提供的 无论在何种学习模式下 运用例 子来验证解释的正确性是一样的 在对数学知识作出合理解释的情况下 学习者要获得数学知识必须归纳出初步的产 生式规则 并将其推广到同类的对象中去 数学公式学习实验研究结果表明 能力强的 被试对数学式子的变形很少需要回看已有的 解题过程 而能力弱的被试在解逆向问题的 过程中 更多地要回看已有的解题过程 在具 体的解题过程的引导下获得答案 这说明能 力强的被试能够很快地归纳和概括产生式规 则 可以在形成的产生式规则的引导下对数 学式子进行变形 而能力弱的被试则不能 也就是说数学能力发展的初期 特定数学知 识的获取就表现出明显的个体差异 这与教 学实际是相符的 21 条件再认能力 产生式条件部分可 以看成是调用相应产生式的一种索引 它确 定在什么情况下调用产生式 在问题解决的 过程中 当产生式的条件得到满足时 就会执 行相应的动作 如果条件得不到满足就无法 正确地执行相应的动作 在获取产生式的基 础上 随着学习者解决同类问题次数的增加 解决问题的方法和过程发生了变化 即可以 通过再认为熟悉的条件模式 直接提取相应 动作来完成解题活动 在数学能力发展初期 学习者形成的产 生式规则的条件部分是以某种特殊形式表征 的 与具体数量或图形的位置有关 为了发 展学习者基于条件模式识别的顺向推理能 力 学习者必须通过解决问题 熟悉条件的各 种变式 能够快速 准确地识别出隐含在简单 问题情境中的条件模式 学习者在解决条件变式的各种问题时 必须有选择地注意与条件模式有关线索的信 息 利用已有的经验对注意到的线索进行解 释 从而激活产生式的条件部分 因此在条 件变式的各种问题解决的过程中 学习者逐 步发展出一些有效的问题解决策略 如对条 件线索的注意 这些策略将以产生式规则的 形式加入到控制系统中 在以后的问题解决 中加以应用 31 顺向推理能力 随着各种条件变式问 题的解决 学习者产生规则条件组块在逐渐 201 连四清 周春荔 数学能力发展的四等级模式 扩大 对条件线索越来越敏感 从而升华为基 于条件模式再认的顺向推理能力 大量关于专家和新手的问题解决行为研 究表明 专家看到问题时 注意的是已知的是 什么 从问题提供的数据 就立刻想到用哪些 工具能得到新的信息 从而对已知线索之间 的相互关系增进了解 也就是说 专家看到 一种条件线索 从中马上进行推理 从这个推 理中又得到尽可能多的信息 这样对问题情 景就有了进一步的了解 这种简单 立即就 能得到答案的过程称为即时推理 即时推理 是支持顺向推理的心理机制 而新手展现的 过程是基于手段 目的分析的逆向推理方 法解决问题 专家只有在解决问题遇到困难 时才按照与新手相同的方法去解决问题 这 表明顺向推理能力是迅速 正确地解决常规 问题的机能系统 具有经常 稳定的性质 大多数数学问题的解决 得到最后结果 或结论的产生式条件往往不是直接展现在问 题情境中 需要根据问题的条件线索 调用若 干个产生式进行推理 才能获得结果 或结 论 的关键线索 如下列求函数值域的问题 1 f x sin w x sin w x 2 f x sin w x cos w x 3 f x asinx bsinx c 4 f x asin wx bsin wx c 5 f x asin2x bsinxcosx ccos2x d 6 f x sin6x cos6x 由于上述函数一旦化成了f x Asin w x B的形式 问题也就很快得到解决 对于产生式1 若函数为f x Asin w x B 则函数 f x 的值域为 A B A B 其条件具有引发人们进行推理 的功能 即利用已有产生式进行上述函数式 的转换 由于上述函数是一个开放系统 因 此不断运用产生式1 其引发人们进行推理 的功能得到验证 就构成与产生式1密切联 系的有效解题策略性知识2 如果一个函数 可以转换为f x Asin w x B 则 可以运用产生式1 这种策略的获得就扩大 了应用产生式1的条件模式 因此 在顺向 推理能力发展过程中 学习者已有的知识组 织和存储发生了变化 对知识在各种问题情 境下的表现形式开始注意 通过不断地概括 已有的解题经验 获得可扩充原有产生式条 件的策略性知识 41 探究能力 顺向推理能力发展到高级 阶段 就是探究能力 学习者对复杂多变的 问题情境进行抉择 通过分析 推理 引申和 适当的变通原有产生式的条件模式 寻求问 题的可解途径的能力就是探究能力 一些问题的解决更多地需要从呈现问题 的已知信息 包括待证结论和待求对象的信 息 进行加工 通过加工发现新信息 从而对 问题情境有更多的了解 在发现问题新的解 决方案时 表现为一种突发事件 这种事件人 们把它称为 顿悟 我们认为 这种问题解 决所表现出来的能力是高于顺向推理能力水 平的探究能力 探究能力的发展主要表现为以下几个方 面 1 个体的意识增强 探究活动中 客观 上要求解题者独立 自主地思考 主观上解题 者开始萌发自主的意识 在寻求问题解法的 过程中 解题者经历失败和成功 体验和反 思 在不断地总结解题经验的基础上 开始理 解自我实现 2 个体对探究活动的意识在增强 在探 究活动中 对问题提供的信息进行适当的转 换 如把问题置于背景知识中来考虑 问题可 以看作什么 还能看作什么 有时还需要对 问题的某些信息赋予新的意义 作出重新的 解释 这些行为表明 个体逐渐增强了对探 究活动的认识 3 能广泛迁移的认知策略性知识的获 301 连四清 周春荔 数学能力发展的四等级模式 得和应用 西蒙指出 需要发现和创造的问题 是它的解法不能从已有问题情境中清晰地推 导出来 而需要进一步了解大量的任务信息 这时解题者只能利用一些不依赖于特定领域 的知识的所谓弱方法来解决问题 几乎所有 的弱方法在发现一个适当的解之前要经历或 多或少的探索 Polya在总结多年从事数学 研究的基础上 提出了一些探索数学问题的 解的策略性方法 如扩大联想范围 想一想解 过的类似问题的条件信息或结论信息 盯住 目标 加强条件或减弱条件等等 实际上这些 方法是独立于