数学文化_数学思维与数学教育_朱梧.pdf

第 卷 第 期 年 月 数学 教育 学报 数学文化 数学思维与数学教育姆 朱梧核 摘要讨论了数学思维究竟包括哪些方面 文化素质在数学教育中应有的地位 并阐述了对数学教育改 革的一些看法 关键词数学文化 数学思维 数学教育 数学方法论 任何一门自然科学或社会科学的诞生和发展 都离不开 思维 都要依靠思维 并借助 思维去研究和发展 数学 当亦不得例外 但对 思维存在形式之一的数学思维而言 通常都 会立即指 出 其特征是高度的抽象性和严密的逻辑性 这固然言之有理 但认识和理解并 不全面 甚至很不全面 我以为这与数学方法论这一学科至今未能全面深入推广 未能全 面受到重视有关 为之 我们要从数学方法论这一学科的诞生和发展谈起 然后论及数学 思维的特征究竟应该包括那几个方面 如所知 数学方法论主要是研究和讨论数学发展规律 数学思想方法 以及数学中的 发现 发明与创新等法则的一门学问 其内容极为丰富 而且由来已久 十六世纪以来 笛 卡儿 莱布尼兹 庞加莱 克莱茵 希尔伯特 阿达玛 等著名学者 都发表过这方面的精辟见 解 或出版过这方面的论著 近现代而言 那就是众所周知 的美籍匈牙利数学家波利亚 他的数学方法论方面的著作 怎样解题 数学的发现 数学与猜想 等 曾 在美 国风靡一时 受到广泛 的欢迎和推崇 后被译成多国文字 被誉为第二次世界大战后 出现的经典著作之一在我国 自 年以来 在著名数学家徐利治教授的倡导下 数学 方法论这一学科在我国数学界也日益受到重视 有关文献和著作日益增多 部分高校相继 开设 数学方法论课程 成立相应的研究中心 培养了一批数学方法论方向的研究生 并多 次举办全国性的数学方法论学术研讨会 中国数学会数学传播委员会还将江苏教育出版 社出版的 数学方法论丛书 两辑 册 列为首批传播的丛书 徐利治教授曾指出 在现 代初 高等数学教育中 特别反映在教材与教学方法中 似乎过于偏重演绎论证的训练 把 学生的注意力都吸引到形式论证 逻辑推理 的严格性上去 这对于培养学生的创造力来 说 实际上是不利的 当然 必要的逻辑推理训练不可少 但对于有作为的数学工作者来 说 发现和创新比命题的论证更重要 因为一旦抓到真理后 补行证明往往只是时间问题 事实上 数学和任何一门其它 自然科学或社会科学的发展 根本的关键因素仍在于不断地 创新 而创造发明的决定性思维形式又在于形象思维 即所谓发散性思维 如所知 人脑的 左右两半球是有明显分工的 通常左脑负担语言和逻辑思维 右脑负担超脱逻辑的形象思 雪欲学无元蒸童 数学教育 资助项目 全文霎用墨霎 生 黔缨粼 毓辈器戛 最霍探粼黯 学教育一数学家谈数学教育 的正式约稿 并已 回 用承舰至舰大大早 收福日期 一 一 效学教育学报第 卷 维 或者说 常用左脑则收敛思维发达 常用右脑则发散思维敏捷 但目前多数的学校教育 偏重于语言知识的灌输 受教育者被迫常用左脑 右脑功能备受压抑 因而不替于灵活运 用所学知识 想象力贫乏 事实上 知识渊博必须再加上形象思维发达 才能有较强的创造 力 反之则弱 据说爱因期坦和玻尔小时候的语言能力都落后于普通孩子的平均水平 以 致被误认为是智力低下 实际上 他们是左脑功能发展迟缓 而他们的右脑功能却比较发 达 以致后来形象思维能力远远超过别人 这也是 他们在科学上取得成功的关键因素之 一 由此可见 在数学教育过程中 要让学生左右脑并用 不可偏废 不可忽视右脑功能的 开发 不可舍弃形象思维的训练 这就是许多学者基于当前数学教育过于强调演绎法和形 式化的倾向 基于当前的大量著作和教学过程 几乎都是从概念到概念 从定理到推论之 逻辑演绎的现状 而在各种不同场合所强调指出的那样 在数学教学过程中 十分重要的 是要培养学生分析间题 思考间题的方法 重视引导学生发现真理和寻找真理 亦即要在 教材与教学过程中 注意对形成数学概念的认识过程的分析 启发学生的创造性思维 教 给学生以寻找真理和发现真理的手段 总之 数学的诞生 存 在和发展 必须不断地创新 而创新又有赖于形象思维的发挥 因而 我们的数学教育必须重视受教育者的形象思维功能的开发 而形象思维的内涵又极 为丰富 其 中不仅包括数学方法论的种种经典思想方法 而且就其层次性论之 其中又既 有最为直接并具有直感特性的几何思维 也有借助于几何关系进行想象的那种间接的类 几何思维 又有把握数学关系并辨认其重要性的数觉思维 特别还有那种直接领悟事物本 质与灵感闪现式的顿悟一类之直觉思维 这些不同层次的形象思维在数学创新过程中互 相渗透而又互相制约地发挥着重要作用 就象数学方法论的种种经典思想方法 在数学发 现过程 中互相渗透又互相补充地发挥作用一样 如所知 数学方法论的经典思想方法很 多 诸如化归法 抽象分析法 关系映射法 经验 归纳法和类比联想法等等 通常运用归纳 类比从事数学创新活动之过程的图式如下图所示 创筋公拉证阶段 足辑证 论研扭的六实性 一 建立 场 川成确行 一砚 寮与实睑 一一经脸归纳 一 仗广 叫 川 一 应 与 一 一 广 一 形象廿 告认 力士 一创 还 七 与 几 从兵 休 体 问目或其家发工 材出 由此可见 不 同形式的种种形象思维对于数学的存在和发展是必不可少的的 当然 逻辑思维对于数学创新之实现来说 也同样是不可缺少的 其重要意义更是不言而喻 但 若只要逻辑思维而偏废形象思维 则将会置数学于停滞不进的地步 庞加莱 曾区分了两种 类型的数学家 一种是逻辑型 的 一种是直觉 型 的 前者逻辑思维发达 后者形象思维发 达 庞加莱认为 仅仅依靠逻辑原则 数学毫无获取新真理的可能 只有丰富的形象思维 第 期朱梧柑 数学文化 数学思 维与数学教育 特别是直觉思维 才能使之富有成效 他指 出 逻辑学 家给我们的不是翅膀 而是孩子学 步的牵引带 逻辑思维只能给发明家套 镣铐 当然 我们绝不能由此而否定逻辑思维的 重要意义和作用 相反地 逻辑思维对于数学的诞生 存在和发展 永远起着它所特有的和 不可缺少的重要作用 我们在这里所要强调的 只是大家应当扫除那种认为只要逻辑思维 而废弃形象思维的错误认识 其实大数学家欧拉也早就指 出过 数学这门科学 也需要观 察 还需要实验和归纳 高斯亦曾明确指 出 他的许多定理都是靠经验归纳和类比联想发 现的 而基于逻辑推演之证明只是补行手续而已 最后还应指 出 数学中的审美原则与美 份 方法在数学发现中据有重要地位 因为数学创造性研究活动的许多实例表明 美感与直 觉紧密相关 庞加勒认为 一个数学家必须 具备对于数学美的感泛力 凡 是缺乏这种感受 力的人不宜从事数学研究 阿达玛更认为 美感和美的意识是数学直觉的本质 这种美感 就是对数学事物 间所存在着的一种和谐性关系以及和谐性秩序的直觉意 识 因而这种审 美能力越强 则数学直觉能力也越强 从而数学发现与发明的能力也越强 综上所述 我们一方面基于当前数学教育的一些实际情次 阐述 如何进行数学教育 改革的一些不成熟的看法 另一方面也强调指出 数学 思维际了拍象性与逻辑性的特征以 外 同样具有甚或更重要的特征还在于观察 实验 类比 联想 归纳 想象 直觉和审美等 至 于数学是一种文化 这本是古今有之的一种共识 但由于数学从量的侧面去探索和 研究客观世界 而客观世界的任何对象或事物又无所不是质与量的对立统一 无所不有其 量的侧面 这就从根本上决定了数学在各专门学科中 有其特碳的普遍性和应用上的广红 性 特别是 世纪微积分诞生以来 数学在应用上的光辉成果 更是一个接着一个 久而 久之 数学所固有的那种工具的品格就愈来愈突出 以致人们渐渐淡忘了数学所固有的另 一种 甚至更为重要的那个文化素质的品格 数学教育中实用主义观点日益强化 特别是 工程界的数学教育 更是向纯粹工具性的观点倾斜 数学中的文化素质原则变成了少数哲 学专家的研究内容 而不为广大数学教育工作者所重视 更不为广 大受 欲学 教育者 一 解 为之 我们在此必须古识重提 必须重新议论一番数学是一种文化这个古今的共识 亦 即让我们在此郑重指出 数学不单纯是一种处理实际 问题的工具 数学教 育乃是一文化素 质 的教育 或者说提高文化素质的原则 在数学教育中具有不可等闲视之的重 要地位 加 所知 柏拉图曾在他的哲学学校门口张榜声明 不懂几何学的人不要进他的哲学学校 这 并不是因为他的学校里所学的课程与几何学有多大的关系 或者非要用到几何知识不可 相反地 柏拉图哲学学校里所设置的尽是些关于社会学 政治学和伦理学之类的课程 所 探讨 的问题也都是关于社会的 政治的和道德方面的问题 并由此而去研究人的存在 尊 严和责任 以及他们所面对的上帝与未知世界的关系 试问诸如此类的课程与论题 究竟 在知识基础上与几何学有什么直接联系 显然谈不上要直接以几何学为工具而去研究这 类问题或学习这类课程 柏拉图之所以要求他的弟子们通晓几何学 只是立足于数学教育 的文化素峨万 也就是说 不经过严格的数学训练的人是难以深入讨论他所设置的课程 以及上还一类高级论题的 据说英国律师至今要在大学里学习许多数学知识 这也不是因 为英国律 学习的课程与数学工具有何直接联系 而只是出于这样一种考虑 那就是通过 数学教育学报第 卷 严格的数学训练 使之养成一种坚定不移而又客观公正的品格 使之形成一种严格而精确 的思维习惯 从而对他们的事业取得成功大有益助 再举一个更为典型的事例 那就是许 多高深的数学课都是美国西点军校学生的必修课 如所知 闻名于世的美国西点军校被誉 为西方名将的摇篮 建校将近两个世纪 美国许多高级将领都是西点军校的毕业生 然而 以培养将帅为目标西点军校之所以要设置许多高深的数学课程 据悉著名数学家徐利治 教授于 年在美国访间讲学时 还曾两次应邀到西点军校研究生院为学生作报告 这 样做的目的并不在于未来实战指挥中要以这些数学知识作为工具 而主要是出于如下的 原则 那就是只有经过严格的数学训练 才能使学员们在军事行动中 把那种特殊的活力 与灵活的快速性互相结合起来 才能使学员们具有把握军事行动的能力和适应性 从而为 他们驰骋于疆场打下坚实的基础 几乎可以说 当如上所说的种种学生 后来真正成功为 哲学大师 著名律师或运筹帷握的将帅时 实际上早把学生时代所学到的那些具体的数学 知识忘得一干二净了 但他们在当年所受到的数学训练 却一直在他们的事业和生存方式 中起着重要作用 直至受用终身 总之 从柏拉图哲学学校到 美国的西 点军校之所以如此 重视数学训练 无不渊源于提高文化素质的原则 这也正是日本数学家和数学教育家米山 国藏所指出的 学生们在初中或高中所学到 的数学知识 在进入社会后 几乎没有什么机 会应用 因而这种作为知识的数学 通常在 出校门后不到一两年就忘掉了 然而不管他们 从事什么业务工作 那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法 却长期地在他们的生 活和工作 中发挥着重要作用 据米山国藏自己说 他如上的这些认识是在他从事了多年的 数学教育研究之后发现的 我们认为他如上的这些论述和 见解既深刻又精辟 然而遗憾的 是如上所述的这些数学训练的潜在作用 并不为广大受 数学 教育者所认识 不仅在受教 育时不了解 而且在受教育后也不理解 因而在数学教育过程中 首先要教育受教育者 必 须放弃和扫除那种纯粹实用主义和纯粹工具论的观点 亦即时时重 视贯彻文化素质的原 则 唯有这样才能使广大受教育者 在数学训练中更好地领会数学精神和数学思想方法 数学家言行录 一书的第四部分是论述数学的价值 其 中多处深刻 阐述了数学教育 与人品素质之间的密切关系 值得我们借鉴和深思 不妨归纳摘录几条如下 数学能够集中 加速和强化人们的注意力 能够给人发明创造的精细与谨慎的谦 虚精神 能够激发人们追求真理的丙气和白信心 数学比起任何其他学科来 更能使学生 得到充实和增添知识 的光辉 更能锻炼和发挥学生们探索事理的独立工作能力 狄尔 曼 压 教育孩子的目标应该是逐步地组合他们的知和行 在各种学科中 数学是最能实 现这一目标的学科 康德 依曼努尔 每一门科学都有制怒和消除易怒情绪的功效 其 中尤以数学的制怒功效最为显 著 一 鲁什博士 数学能唤起热情而抑制急躁 净化灵魂而使之杜绝偏见与错误 恶习乃是错误 混 乱和虚伪的根源 所有的真理都与此抗衡 而数学真理更有益于青年人摒弃恶习 阿 尔布斯纳特 约翰 总之 提高我国的数学教育水平 在数学教育中贯彻文化素质的原则 不仅关系到科 学技术人材的培养 而且关系到整个民族文化素质的提高 尤其是中学数学教育 理应为 第 期 朱梧极 数学文化 数学思维与数学教育 提高民族文化素质而奋斗 值得高兴的是 年 通过徐利治教授的倡导 并在无锡市教委的支持下 我国无锡 地区成立了 贯彻数学方法论的教育方式 全面提高学生素质 的教育实验组 简称 实验 在无锡市教育科学研究所的直接主持下 提 出了 数学教育的最终要求是全面 提高 学生素质 的主张 并以 提高学生一 般科学素养 增进学生道德品质修养 形成和发展学 生的数学品质 为具体 目标 制订了一系列具体方案 通过实验组全体师生几年来的共同 努力 取得了显著成绩 并在我国数育教育界产生了一定的影响 我们希望 实验的一 系列成绩与经验 早日能在全国范围内受到重视和推广 总体来说 面向 世纪的中国数学教育 我们仍需在数学教学与教材建设中 继续大 力推广和贯彻数学方法论的启发式教学方式 努力贯彻提高文化素质的原则 让教育者和 受教育者都能全面认识数学思维方式的特征 重视形象思维的开发 同时进一步深入理解 数学教育的作用和价值 为进一步提高全民族的文化素质而作出贡献 参考文献 徐