材料力学_第三章_扭转.pdf

1 2 3 1 概述 概述 3 2 薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒的扭转 3 3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 扭矩及扭矩图 3 4 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度分析强度分析 3 5 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件 刚度条件 3 6 等直圆杆在扭转时的应变能 等直圆杆在扭转时的应变能 3 7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 3 8 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力和变形开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力和变形 第三章扭 转第三章扭 转第三章扭 转第三章扭 转 3 3 1 概 述概 述 3 1 概 述概 述 扭转变形 扭转变形 a 工程中有一类等直杆 所受外力是作用在垂 直于杆轴线的平面内的力偶 这时发生的变形为扭转变形 工程中有一类等直杆 所受外力是作用在垂 直于杆轴线的平面内的力偶 这时发生的变形为扭转变形 B 单纯发生扭转的杆件不多 但以扭转为主要变形的很 多 单纯发生扭转的杆件不多 但以扭转为主要变形的很 多 C 若杆件的变形以扭转为主 而其它变形可忽略 则可按扭转变形进行强度和刚度计算 若杆件的变形以扭转为主 而其它变形可忽略 则可按扭转变形进行强度和刚度计算 特征 1 特征 1 外力的合力为一力 偶 2 力偶的作用面与直杆 的轴线垂直 A B O mm O B A 4 工程实例工程实例工程实例工程实例 例如 例如 机器中的传 动轴 机器中的传 动轴 水轮发动机 主轴 水轮发动机 主轴 石油钻机中 的钻杆等 石油钻机中 的钻杆等 5 由于使直杆发生扭转的外力 是作用面垂直于杆件轴线 的外力偶系 在这种外力偶作用下 杆件表面的纵向线 将变成螺旋线 由于使直杆发生扭转的外力 是作用面垂直于杆件轴线 的外力偶系 在这种外力偶作用下 杆件表面的纵向线 将变成螺旋线 即发生扭转变形 即发生扭转变形 简单计算简图如图 所示 简单计算简图如图 所示 当发生扭转的杆是等直圆杆时 由于杆的物性和横截面 几何形状的极对称性 就可以用材料力学的方法求解 当发生扭转的杆是等直圆杆时 由于杆的物性和横截面 几何形状的极对称性 就可以用材料力学的方法求解 对于非圆截面杆 由于横截面不存在极对称性 其变形 和横截面上的应力都比较复杂 不能用材料力学的方法 求解 对于非圆截面杆 由于横截面不存在极对称性 其变形 和横截面上的应力都比较复杂 不能用材料力学的方法 求解 6 相比而言 等直圆杆扭转时的应力和变形 比较复杂 等直薄壁圆筒扭转时的应力和 变形则简单得多 在求解等直圆杆扭转时的应力和变形前 有必要先研究薄壁圆筒的扭转 介绍有关 切应力 切应变及其关系等基本概念 扭 转变形中的胡克定律 扭 转变形中的胡克定律 薄壁圆筒扭转时的应力和变形分析是求解 等直圆杆扭转时的应力和变形的基础 薄壁圆筒扭转时的应力和变形分析是求解 等直圆杆扭转时的应力和变形的基础 3 2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 3 2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 7 设一薄壁圆筒的壁厚设一薄壁圆筒的壁厚 远小于其 平均半径 远小于其 平均半径r0 r0 10 其 两端面承受产生扭转变形的 其 两端面承受产生扭转变形的外 力偶矩 外 力偶矩Me 由截面法 圆筒任一横截面由截面法 圆筒任一横截面n n 上的内力将是作用在该截面上 的力偶 上的内力将是作用在该截面上 的力偶 b 该 该内力偶矩内力偶矩称为 扭矩 用 称为 扭矩 用T表示 表示 截面上的应力与微面积截面上的应力与微面积dA的乘 积的合成等于截面上的扭矩 横截面上的应力只能是切应力 的乘 积的合成等于截面上的扭矩 横截面上的应力只能是切应力 因杆无伸长或压缩 因杆无伸长或压缩 3 2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 3 2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 8 为得到沿横截面圆周上各点处切应 力的变化规律 可在圆筒表面画上 等间距的圆周线和纵向线 形成一 系列方格子 为得到沿横截面圆周上各点处切应 力的变化规律 可在圆筒表面画上 等间距的圆周线和纵向线 形成一 系列方格子 在圆筒两端施加外力偶矩在圆筒两端施加外力偶矩Me后 可 发现圆周线保持不变 而纵向线发 生倾斜 在小变形是仍保持为直线 后 可 发现圆周线保持不变 而纵向线发 生倾斜 在小变形是仍保持为直线 大变形时为螺旋线 大变形时为螺旋线 因此可设想薄壁圆筒扭转变形后 横截面仍保持为大小 形状都无改 变的平面 因此可设想薄壁圆筒扭转变形后 横截面仍保持为大小 形状都无改 变的平面 相邻的两个横截面只是 绕圆筒轴线发生相对转动 相邻的两个横截面只是 绕圆筒轴线发生相对转动 因此 因此横 截面上 横 截面上 不仅是圆周 不仅是圆周 各点处的 切应力 各点处的 切应力 的方向必与圆周相切的方向必与圆周相切 9 mm O B A 扭转角 扭转角 圆筒两端截面之间绕轴线相对转圆筒两端截面之间绕轴线相对转 动而发生的角位移 动而发生的角位移 切应变 切应变 圆筒表面上每个格子的直角都改圆筒表面上每个格子的直角都改 变了相同角度 该直角的改变量变了相同角度 该直角的改变量 称为切应变 称为切应变 10 单位长度的扭转角 与杆的 长度无关 但与材料性质 扭矩 截面几何性质有关 切应变 与横截面上沿圆周切 线方向的切应力 相对应 由于相邻两圆周线间每个格 子的直角改变量相等 且根 据材料连续性假设 可推知 沿圆周各点处的切应力不仅 方向与圆周相切 而且数值 必相等 3 2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 3 2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 切应力沿壁厚方向的变化规律 切应力沿壁厚方向的变化规律 由于壁厚由于壁厚 远小于 圆筒平均半径 可近似认为沿壁厚方向 远小于 圆筒平均半径 可近似认为沿壁厚方向 即径向 即径向 各点处的切应力数值无变化 各点处的切应力数值无变化 11 TrdA A 由于薄壁圆筒扭转时横截面上任一点 处的切应力 都相等 其方向与圆周 相切 于是 根据内力与应力间的静 力关系 即力的平衡法则 得到内力 扭矩扭矩T与切应力与切应力 的关系为 的关系为 dA 薄壁圆筒横截面上各点处的微面积 r 薄壁圆筒横截面上各点处的半径 内力平衡法则 12 0 2A T 1 对于薄壁圆筒 横截面上各点处 的半径相差极小 故r可用其平均 半径r0表示 r r0 2 积分 3 薄壁圆筒上各点处的切应力为等 值的常量 A0 r02 平均半径所作圆的面积 TrdA A T 2 r0 r0 2 r02 T 2 r02 01212 2 1 2 2 2 rrrrrrrAdA A 0 r r2 r1 13 根据做图所示的几何关 系 且扭转变形量很小 即 与 根据做图所示的几何关 系 且扭转变形量很小 即 与 很小 所 以 与 所 以 与 的关系为 的关系为 r 为薄壁圆筒的外半径为薄壁圆筒的外半径 L r r L 或或 与 与 的关系的关系 L r 14 剪切胡克定律剪切胡克定律 通过薄壁圆筒 的扭转实验发 现 通过薄壁圆筒 的扭转实验发 现 当外力偶 矩 当外力偶 矩Me在某一范 围之内时 相 对扭转角 在某一范 围之内时 相 对扭转角 与 外力偶矩 与 外力偶矩Me之 间成正比 左 图 之 间成正比 左 图 Me Me Me 0 10 1 r 15 根据力的平衡法则 内力 偶矩 扭矩扭矩 T Me 2 0 rLA T 剪切虎克定律 剪切虎克定律 当切应力不超过材料的剪切比例极 限时 当切应力不超过材料的剪切比例极 限时 p 切应力与切应变成正比关系 切应力与切应变成正比关系 外力偶矩在某一范围内外力偶矩在某一范围内 T r 薄壁圆筒外半径薄壁圆筒外半径 A0 L r均为常量均为常量 16 G 式中 式中 G是材料的一个弹性常数 称为切变模量切变模量 因 无 量纲 故G的量纲与 相同 不同材料的G值必须通过实验 确定 钢材的G值约为80GPa 注意 注意 剪切胡克定律方程式只有在切应力不超过材料的 某一极限值时才是适用的 该极限值称为材料的剪切比 例极限 剪切胡克定律方程式只有在切应力不超过材料的 某一极限值时才是适用的 该极限值称为材料的剪切比 例极限 p p 引入比例常数引入比例常数G 得到 得到 17 3 3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 3 3 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 工程中常用的传动轴 往 往只知道它传递的功率和 转速 需要根据功率和转 速 求出使轴发生扭转的 外力偶矩 工程中常用的传动轴 往 往只知道它传递的功率和 转速 需要根据功率和转 速 求出使轴发生扭转的 外力偶矩 设一传动轴转速为设一传动轴转速为n 轴 传递的功率 轴 传递的功率p 单位为 单位为kW 由主动轮输入 然后通 过从动轮分配出去 左上 图 由主动轮输入 然后通 过从动轮分配出去 左上 图 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 18 1 先假设轴处于稳 定转动状态 先假设轴处于稳 定转动状态 2 因此 外力偶因此 外力偶Me 在在t秒内所做的功 等于其矩 秒内所做的功 等于其矩Me与轮 在 与轮 在t秒钟内的转角秒钟内的转角 的乘积的乘积 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 P P为轮传递的功率 在工程实际中的常用单位为kW为轮传递的功率 在工程实际中的常用单位为kW n n为轴的转速 单位r min为轴的转速 单位r min 60 2 nt rad radian弧度 r round 转 19 传动轴的外力偶矩与传递功率 转速的关系 其中 P 功率 千瓦 kW n 转速 转 分 rpm mN n P M r kW e 1055 9 min 3 对于外力偶的转向 主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同对于外力偶的转向 主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同 而 从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反 而 从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 20 扭矩 扭矩 是构件受扭时横 截面上的内力偶矩 记作 T 作用于传动轴上的外力 偶往往有多个 各个轴段 上的扭矩也各不相同 作用于传动轴上的外力 偶往往有多个 各个轴段 上的扭矩也各不相同 可 用截面法 根据力的平衡 法则 来计算各轴段横截 面上的扭矩 可 用截面法 根据力的平衡 法则 来计算各轴段横截 面上的扭矩 MT MT M x 0 0 MeMe Me T x 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 21 3 扭矩的符号规定 扭矩的符号规定 右手定则 右手定则 右手四指内屈 与扭矩转向相同 则拇指的指 向表示扭矩矢的方向 若扭矩矢方向离开截面离开截面时 规定扭 矩为正 反之为负 扭矩符号规定 扭矩符号规定 mI T I m I I T mI T I m I I T T T 22 4 扭矩图 扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线 目的目的 给出各轴段扭矩的值 T max值及其截面位置强度计算 危险截面 x T 扭矩图绘制方法 扭矩图绘制方法 与轴力图的绘制方法相仿 与轴力图的绘制方法相仿 23 例例1 图示圆轴中 各轮上的转矩分别为mA 4kN m mB 10kN m mC 6kN m 试求1 1截面和2 2截面上的扭矩 并画扭矩图 A m B m C m 1 1 2 2 轮 轴 轴承 轮 轴 轴承 6KNm 4KNm 24 例例2 已知 一传动轴 n 300r min 主动轮输入 P1 500kW 从动轮输出 P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试绘制扭矩 图 n A B C D M2M3M1M4 解 计算外力偶矩解 计算外力偶矩 m 15 9 kN 300 500 9 5555 9 1 1 n P M m kN 78 4 300 150 9 5555 9 2 32 n P MM m kN 37 6 300 200 9 5555 9 4 4 n P M 25 n A B C D M2M3M1M4 1 1 2 2 3 3 求扭矩 扭矩按正方向设 求扭矩 扭矩按正方向设 mkN78 4 0 0 21 21 MT MTM C mkN56 9 78 4 78 4 0 322 322 MMT MMT mkN37 6 0 42 43 MT MT 26 绘制扭矩图 绘制扭矩图 mkN 569 max T BC段为危险截面段为危险截面 x T n A B C D m2m3m1m4 4 78 9 56 6 37 27 3 4 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件 3 4 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件 等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力 变形几何方面 物理关系方面 静力学方面 变形几何方面 物理关系方面 静力学方面 1 横截面变形后仍为平面 横截面变形后仍为平面 2 轴向无伸缩 轴向无伸缩 3 纵向线变形后仍为平行纵向线变形后仍为平行 只是倾斜了一个角度只是倾斜了一个角度 一 等直圆杆扭转实验观察 一 等直圆杆扭转实验观察 28 变形几何方面变形几何方面 根据实验观测结果 根据实验观测结果 可假设横 截面如同刚性平面般绕杆的轴线 转动 即为等直圆杆的 可假设横 截面如同刚性平面般绕杆的轴线 转动 即为等直圆杆的平面假设 平面假设 实验发现实验发现在杆扭转变形后只有等 直圆杆的圆周线才仍在垂直于杆 轴的平面内 在杆扭转变形后只有等 直圆杆的圆周线才仍在垂直于杆 轴的平面内 所以平面假设只适 用于等直圆杆 所以平面假设只适 用于等直圆杆 为确定横截面上任一点处的切应 变随点的位置的变化规律 可假 想地截取长为 为确定横截面上任一点处的切应 变随点的位置的变化规律 可假 想地截取长为dx的杆段进行分析 的杆段进行分析 29 变形几何方面变形几何方面 由平面假设可知 杆段变形后的情况如 左图所示 由平面假设可知 杆段变形后的情况如 左图所示 截面截面b b相对于截面相对于截面a a绕杆轴转动了一 个角度 绕杆轴转动了一 个角度d 因此其上的任意半径 因此其上的任意半径O2D也转 动了同一角度 也转 动了同一角度d 杆表面纵向线的倾斜 角 杆表面纵向线的倾斜 角 就是就是a a横截面周边上任一点横截面周边上任一点A处的切 应变 同理 经过半径 处的切 应变 同理 经过半径O2D上任意点上任意点G的 纵向线 的 纵向线EG在杆变形后也倾斜了一个角度在杆变形后也倾斜了一个角度 即为 即为a a横截面半径上距圆心为横截面半径上距圆心为 的 任意点 的 任意点E处的切应变 处的切应变 注意 注意 上述切应变上述切应变 均在垂 直于半径的平面内 显然 均在垂 直于半径的平面内 显然 30 设设G点至横截面圆心的距离为点至横截面圆心的距离为 因假 设变形极其微小 由左图所示的几何关 系可得 因假 设变形极其微小 由左图所示的几何关 系可得 x GG d d EG tan xd d 上式表示横截面上任一点处切应变随点的位置 即 与圆心的距离 上式表示横截面上任一点处切应变随点的位置 即 与圆心的距离 的变化规律 的变化规律 为相对扭转角沿杆长度方向变化率 对于给定 的横截面是一个常量 为相对扭转角沿杆长度方向变化率 对于给定 的横截面是一个常量 xd d 31 变形几何方面变形几何方面 xd d 可见 可见 距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 均相 同 与到圆心的距 离 均相 同 与到圆心的距 离 成正比 成正比 xd d 对给定横截面为常量因对给定横截面为常量因 32 物理关系方面物理关系方面 薄壁圆筒剪切胡克定律 G G x G d d G 切变模量 切变模量 注意 注意 只有是在弹性范围内 切应力与切应变成正比才成立 只有是在弹性范围内 切应力与切应变成正比才成立 xd d 同样 在等直圆杆距圆心为 处 等直圆杆横截面上的切应力变化规律的公式 33 由该公式 推论 由该公式 推论 相同半径 的圆周上各点 处不仅切应变均相同 且切 应力也均相同 都与半径成 正比 因 为垂直于半经平面内 的切应变 切应力 为垂直于半经平面内 的切应变 切应力 的方向 也应垂直于半径 的方向 也应垂直于半径 等直圆杆横截面内切应力 沿任一半径的变化趋势如 等直圆杆横截面内切应力 沿任一半径的变化趋势如左 图 左 图所示 所示 x G d d 34 静力学关系静力学关系 O dA A x G A x G AT A A A d d d d d d d 2 2 AI Ap d 2 令 x GI T p d d p GI T x d d 代入物理关系式得 x G d d p I T 横截面的极惯性矩横截面的极惯性矩 由横截面上内力与应力静力关系 得 扭矩 由横截面上内力与应力静力关系 得 扭矩T 35 p I T 横截面上距圆心为 处任一点剪应力 的计算 公式 公式讨论 公式讨论 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等圆截面 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等圆截面 直杆 直杆 式中 式中 T 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 该点到圆心的距离 该点到圆心的距离 Ip 极惯性矩 纯几何量 无物理意义 极惯性矩 纯几何量 无物理意义 36 单位 单位 mm4 m4 AI Ap d 2 尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截面杆 只是极惯性矩 尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截面杆 只是极惯性矩Ip值不同 值不同 4 4 2 0 2 2 10 32 d2 d D D AI D Ap 对于实心圆截面 D d O 37 对于空心圆截面 1 10 1 32 32 d2 d 444 4 44 2 2 2 2 D D dD AI D d Ap D d d D O d d 空心圆截面内径空心圆截面内径 D 空心圆截面内径空心圆截面内径 空心圆截面内 外 直径之比 空心圆截面内 外 直径之比 38 应力分布 应力分布 实心截面 空心截面 工程上常采用空心截面构件 提高强度 节约材料 重量 轻 结构轻便 应用广泛 39 确定最大剪应力 确定最大剪应力 p I T 由 知 当 max 2 d r 2 2 2 max d IW W T d I T I d T p p p p p 令 p W T max Wp 扭转截面系数 抗扭截面模量 几何量 单位 mm3或m3 对于实心圆截面 33 2 016ddrIW pp 对于空心圆截面 12 016 1 4343 ddrIW pp 40 例例1 由两种不同材料组成的圆轴 里层和外层材料的切 变模量分别为G1和G2 且G1 2G2 圆轴尺寸如图所示 圆轴受扭时 里 外层之间无相对滑动 关于横截面上 的切应力分布 有图中 A B C D 所 示的四种结论 请判断哪一种是正确的 d2 d T 1 G 2 G O A B C D 41 解 圆轴受扭时 里 外层之间无相对滑动 这表明二者形成一个整体 同时产生扭转变形 根据平面假定 二者组成的组合截面 在轴受 扭后依然保持平面 即其直径保持为直线 但 要相当于原来的位置转过一角度 因此 在里 外层交界处二者具有相同的 切应变 由于内层 实心轴 材料的剪切弹性 模量大于外层 圆环截面 的剪切弹性模量 G1 2G2 所以内层在二者交界处的切应 力一定大于外层在二者交界处的切应力 据 此 答案 A 和 B 都是不正确的 在答案 D 中 外层在二者交界处的切 应力等于零 这也是不正确的 因为外层在二 者交界处的切应变不为零 根据剪切胡克定 律 切应力也不可能等于零 根据以上分析 正确答案是 C d2 d T 1 G 2 G O A B A B C D C D G1 2G2 42 因不知道壁厚 所以不知道是不是薄壁圆筒 分别按薄壁圆筒 和空心圆轴设计 薄壁圆筒设计 D d 设平均半径R0 d 2 2 0 2 R T T d 2 2 T dd 2 2 223 Pa mN mm 6 3 2 3233 1080 1052 10100101002 mm7 3 空心圆轴设计 P W T max 44 16 dD D WP 2 dD 44 16 dD DT 01081 0105161080 6 4 346 PamDmNDPa mmD 7 107 2 dD 2 1007 107mmmm mm85 3 当 R0 10时 即可认为是薄壁圆筒 故可判断为薄壁圆筒 例例2 一内径d 100mm的空心圆轴如图示 已知圆轴受 扭矩T 5kN m 许用切应力 80MPa 试确定空心圆 轴的壁厚 是薄壁还是空心圆筒 43 切应力互等定理切应力互等定理 在圆杆的表面处用横截面 径向截面以 及与表面平行的面截取一微小的正六面 体 称为 在圆杆的表面处用横截面 径向截面以 及与表面平行的面截取一微小的正六面 体 称为单元体单元体 在单元体左右两侧面 即杆的横截面 上只有切应力 其方向与 在单元体左右两侧面 即杆的横截面 上只有切应力 其方向与y轴平行 在 其前后平面 轴平行 在 其前后平面 即与杆表面平行的面 即与杆表面平行的面 上 无任何应力 上 无任何应力 杆无伸缩 杆无伸缩 由于单元体处于平衡状态由于单元体处于平衡状态 左右两侧面上的内力元素左右两侧面上的内力元素 dydz应是大 小相等 指向相反的内力偶对 其矩为 应是大 小相等 指向相反的内力偶对 其矩为 dydz dx 为满足平衡条件 在单元体的上 下两平面也将有大小相等且指向相反的 一对内力偶 为满足平衡条件 在单元体的上 下两平面也将有大小相等且指向相反的 一对内力偶 dxdz 其矩为其矩为 dxdz dy 0 y M 0 x M 单元体单元体 44 切应力互等定理切应力互等定理 上式称为上式称为切应力互等定理切应力互等定理 该定理表明 该定理表明 在单元体相互垂直的两个平面上 切应力 必然成对出现 且数值相等 两者都垂直于两平面的交 线 其方向则共同指向或共同背离该交线 在单元体相互垂直的两个平面上 切应力 必然成对出现 且数值相等 两者都垂直于两平面的交 线 其方向则共同指向或共同背离该交线 y M x M 要保持单元体平衡 显然要保持单元体平衡 显然 dydz dx dxdz dy 即即 45 不论单元体上有无正应力存在 切应力互等定理都是 成立的 不论单元体上有无正应力存在 切应力互等定理都是 成立的 单元体在其相对互相垂直的平面上只有切应力而无正应 力的这种状态 称为 单元体在其相对互相垂直的平面上只有切应力而无正应 力的这种状态 称为纯剪切应力状态纯剪切应力状态 等直圆杆和薄壁 圆筒在发生单纯的扭转时 其中的单元体均处于纯剪切 应力状态 等直圆杆和薄壁 圆筒在发生单纯的扭转时 其中的单元体均处于纯剪切 应力状态 因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的 因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的 与 材料的性能无关 与 材料的性能无关 且不论材料是否处于弹性范围 切应 力互等定理总是成立的 且不论材料是否处于弹性范围 切应 力互等定理总是成立的 46 例例1 试根据切应力互等定理 判断图中所示的各 单元体上的切应力是否正确 试根据切应力互等定理 判断图中所示的各 单元体上的切应力是否正确 kN10 kN20 kN10 kN20 kN30 kN50 kN50 kN30 kN30 30kN 47 三 等直圆杆扭转时斜截面上的应力三 等直圆杆扭转时斜截面上的应力 对于剪切强度低于拉伸强 度的材料 典型 低碳钢 试件 沿横截面断开 似剪断 对于拉伸强度低于剪切强度的 材料 典型 铸铁试件 沿 与轴线约45 的螺旋线断开 因此还需要研究斜截面上的应力 在圆杆的扭转实验中发现 低碳钢 铸铁 48 1 点M的应力单元体如图 b a M b c 2 斜截面上的应力 取分离体如图 b d x 单元体前后无应力 可改为平面表示 单元体前后无应力 可改为平面表示 正应力正应力 49 d x n t 转角转角 的规定 的规定 轴正向转至截面外法线n 逆时针 为 顺时针 为 由平衡方程 0 cossind sincosd d 0 AAAF n 0 sinsind coscosd d 0 AAAF t 解得 2cos 2sin 截面外法线斜截面面积dA 50 2cos 2sin 分析 当 0 时 max00 0 当当 45 时 时 0 45min45 当当 45 时 时 0 45max45 当 90 时 max9090 0 45 可见 可见 圆轴扭转时 在横截面 圆轴扭转时 在横截面 0 和纵截面 和纵截面 90 上的切应 力为最大值 上的切应 力为最大值 在在 45 的斜截面 上作用有最大拉应力和最大压应力 的斜截面 上作用有最大拉应力和最大压应力 根据这一结论 就可解释前述的破 坏现象 根据这一结论 就可解释前述的破 坏现象 51 四 圆轴扭转时的强度计算四 圆轴扭转时的强度计算 强度条件 强度条件 对于等截面圆轴 对于等截面圆轴 max max p W T 称为许用切应力 注意强度计算三要素注意强度计算三要素 校核强度 设计截面尺寸 计算许可载荷 max max p W T max T Wp max p WT 空 实 4 3 3 1 16 16 d d Wp Wp 扭转截面系数 p W Tmax max 因 因 D d 52 例2 例2 功率P为150kW 转速为15 4转 秒的电动机转子轴如图 许用切应力 30M Pa 试校核其强度 n P MTBC 2 10 3 m kN551 m N 4151432 10150 3 T M 解 求扭矩及扭矩图 计算并校核剪应力强度 此轴满足强度要求 D3 135 D2 75 D1 70 AB C M M x MPa23 1607 0 1055 1 3 3 max p W T 53 例例3 已知已知已知 已知 P P 7 5kW 7 5kW n n 100r min 许用切应力 100r min 许用切应力 40MPa 空心圆轴的内外径之比 0 5 40MPa 空心圆轴的内外径之比 0 5 求求求求 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外径和空心轴的外径D D2 2 n P TM e 3 1055 9 mN 2 716 1 max p W T 3 6 1 1040 2 71616 d 100 5 7 1055 9 3 3 1 16 d T MPa40 mm45 MPa D T W T p 40 1 16 4 3 2 max 2 mmD45 10405 01 2 71616 64 3 2 54 3 5 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 3 5 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件 一 扭转时的变形一 扭转时的变形 由公式 p GI T x d d 知 长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为 值不变 若 d d 0 T GI Tl x GI T p l p 55 二 单位长度扭转角二 单位长度扭转角 rad m d d p GI T x m 180 d d p GI T x 或 三 刚度条件三 刚度条件 rad m max p GI T m 180 max p GI T 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力 称为截面的扭转刚度截面的扭转刚度 称为许用单位长度扭转角 称为许用单位长度扭转角 56 刚度计算的三方面 刚度计算的三方面 校核刚度 设计截面尺寸 计算许可载荷 max max G T I p max p GIT 有时还可依据此条件进行选材 57 例1 例1 长为 L 2m 的圆杆受均匀分布力偶 m 20Nm m 的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 G 80GPa 许用剪应力 30MPa 试设计杆的外径 若 2 m 试校核此杆的刚 度 并求右端面转角 解 设计杆的外径 max T Wp 1 16 D 4 3 p W 3 1 4 max 1 16 T D 58 3 1 4 max 1 16 T D D 0 0226m 由扭转刚度条件校核刚度 x 代入数值得 180 max max P GI T 59 180 max max P GI T o 891 11080 1804032 4429 D 右端面转角为 弧度 0330 4 102040 2 0 2 2 00 xx GI dx GI x dx GI T PP L P 60 例2 例2 某传动轴设计要求转速n 500 r min 输入功率N1 500 马力 输出功率分别 N2 200马力及 N3 300马力 已知 G 80GPa 70M Pa 1 m 试确定 AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 若全轴选同一直径 应为多少 主动轮与从动轮如何安排合理 解 图示状态下 扭矩如 图 由强度条件得 500400 N1 N3N2 A C B T 7 024 4 21 kNm x m kN0247 n N m 1马力马力 735 5w 61 16 3 1 Td Wp mm467 1070143 42101616 3 6 3 2 T d 32 4 G Td Ip mm80 1070143 70241616 3 6 3 1 T d 由刚度条件得 500400 N1 N3N2 A C B T x kNm 7 024 4 21 62 mm474 11080143 180421032 32 4 92 4 2 G T d mm6 84 1108014 3 180702432 32 4 92 4 1 G T d mm75 mm85 21 d d 综上 全轴选同一直径时 mm85 1 dd 63 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理 所以 1轮和2轮应 该换位 换位后 轴的扭矩如图所示 此时 轴的最小直径才 为 75mm T x 4 21 kNm 2 814 64 例3 如图所示阶梯轴 外力偶矩M1 0 8KN m M2 2 3KN m M3 1 5KN m AB段的直径d1 4cm BC段的直径d2 7cm 已知材料的剪切弹性模量G 80GPa 试计算 AB和 AC 0 8kN m 1 5kN m 0 8m1 0m 1 M 2 M 3 M 1 d 2 d A B C 32 4 1 1 d I P 4 1 25 cm 32 4 2 2 d I P 4 236cm 1 11 P AB GI LT rad0318 0 2 22 P BC GI LT rad0079 0 BCABAC radrad0079 0 0318 0 rad0239 0 65 例4 图示一空心传动轴 轮1为主动轮 力偶矩M1 9KN m 轮2 轮 3 轮4为从动轮 力偶矩分别为M2 4KN m M3 3 5KN m M4 1 5KN m 已知空心轴内外径之比d D 1 2 试设计此轴的外径D 并 求出全轴两端的相对扭转角 24 G 80GPa 60MPa 5kN 1 5kN 4kN 500500 1 M 2 M 3 M 4 M 500 4 3 1 16 D WP max T WP max 4 3 1 16 TD 3 4 max 3 1 16 T D mm7 76 mmD78 mmd39 P GI LT21 21 rad00734 0 P GI LT 13 13 rad00917 0 P GI LT34 34 rad00275 0 34132124 rad00458 0 66 例5 已知钻探机杆的外径D 60mm 内径d 50mm 功率 P 7 35kW 转速n 180r min 钻杆入土深度L 40m G 80GPa 40MPa 设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的 试求 1 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M 2 作钻杆的扭矩图 并进行强 度校核 3 求A B两截面相对扭转角求A B两截面相对扭转角 M A l B A B xT x T n P T 3 1055 9 Nm390 单位长度阻力矩L T M m Nm 40 390 m Nm75 9 P W T max 16 60 50 160 10390 4 3 3 pMPa7 17 l P AB GI dxxT 0 MxxT x L T dx GI l x T l P AB 0 2 l GI T P 21050601080 4039032 12449 rad148 0 自习自习 67 例6 一内径为d 外径为D 2d的空心圆管与一直径为d 的实心圆杆结合成一组合圆轴 共同承受转矩Me 圆管 与圆杆的材料不同 其切变模量分别为G1和G2 且 G1 G2 2 假设两杆扭转变形时无相对转动 且均处于线 弹性范围 试问两杆横截面上的最大切应力之比 1 2为 多大 并画出沿半径方向的切应力变化规律 d D 1 2 e M 2 1 因两杆扭转变形时无相对转动 21 22 2 11 1 PP IG LT IG LT 22 11 2 1 P P IG IG T T 2 2 1 1 2 1 2 2 P P I d T I D T d D IT IT P P 12 21 2 2 1 G G 1 自习自习 68 3 6 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能 3 6 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能 一 应变能与应变能密度一 应变能与应变能密度 当圆杆扭转时 杆内将积蓄应变 能 当圆杆扭转时 杆内将积蓄应变 能 由于杆件上各横截面上的扭矩可 能变化 同时 横截面上各点处的 切应力也随该点到圆心的距离而改 变 因此 对于杆内应变能的计 算 应先求出纯剪切应力状态下的 应变能密度 再计算全杆内所积蓄 的应变能 由于杆件上各横截面上的扭矩可 能变化 同时 横截面上各点处的 切应力也随该点到圆心的距离而改 变 因此 对于杆内应变能的计 算 应先求出纯剪切应力状态下的 应变能密度 再计算全杆内所积蓄 的应变能 69 3 6 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能 3 6 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能 左图所示单元体处于纯剪切应力 状态 假设其左侧面固定 则单元 体在变形后右侧面将向下移动 左图所示单元体处于纯剪切应力 状态 假设其左侧面固定 则单元 体在变形后右侧面将向下移动 dx 由于切应变由于切应变 很小 因此 在变形 过程中 上 下两面上的外力将不 做功 只有右侧面上的外力对相应 的位移 很小 因此 在变形 过程中 上 下两面上的外力将不 做功 只有右侧面上的外力对相应 的位移 dx做功 做功 x y z dx dz dy 70 2 5 等直拉 压 杆的应 变能 等直拉 压 杆的应 变能 为推导拉杆应变能的计算式 先求外力所作的功为推导拉杆应变能的计算式 先求外力所作的功W 在静荷 载 在静荷 载F的作用下 杆伸长了的作用下 杆伸长了 L 力 力F对此位移所作的功可以从对此位移所作的功可以从F与与 L的关系图线下的面积来计算 由于在弹性变形范围内的关系图线下的面积来计算 由于在弹性变形范围内F与 与 L成线性关系 如图所示 于是 可求得成线性关系 如图所示 于是 可求得F力所作的功力所作的功W为为 LFW 2 1 回忆回忆 71 当材料在线弹性范围内时 单元 体上外力所做的功为 当材料在线弹性范围内时 单元 体上外力所做的功为 由于单元体内所积蓄的应变能由于单元体内所积蓄的应变能dV 数值上等于数值上等于dW 故单位体积内的 应变能密度 故单位体积内的 应变能密度v 为 为 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 由剪切胡克定律由剪切胡克定律 或者或者 72 求得纯剪切应力状态下的应变能密度求得纯剪切应力状态下的应变能密度v 后 扭转时杆中积蓄的后 扭转时杆中积蓄的应变 能 应变 能V 可由积分计算 可由积分计算 p I T 由于 p GI Tl 因为 应变能应变能V 改写成以相对扭转角表达的形式 改写成以相对扭转角表达的形式 73 3 7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 3 7 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 非圆截面