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第第 2 章 行列式章 行列式 习 题 课习 题 课 一 主要内容 二 典型例题 三 测试题 一 主要内容 二 典型例题 三 测试题 把个不同的元素排成一列 叫做这个元 素的 把个不同的元素排成一列 叫做这个元 素的全排列全排列 或 或排列排列 nn 个不同的元素的所有排列的种数用表示 且 个不同的元素的所有排列的种数用表示 且 n n P nP n 全排列 全排列 一 主要内容一 主要内容 逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列 逆序数为 偶数的排列称为 逆序数为 偶数的排列称为偶排列偶排列 在一个排列中 若数 则称这两个数组成一个 在一个排列中 若数 则称这两个数组成一个逆序逆序 nst iiiii 21 st ii 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆 序数 逆 序数 逆序数 逆序数 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和 即算出排列中每个元素的逆序数 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 码个数之和 即算出排列中每个元素的逆序数 每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 方法2 方法1 方法2 方法1 分别计算出排在前面比它大的 数码之和 即分别算出这个元素 的逆序数 这个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数 分别计算出排在前面比它大的 数码之和 即分别算出这个元素 的逆序数 这个元素的逆序数之总和即为所求 排列的逆序数 n n 121 n n 121 n n 计算排列逆序数的方法 计算排列逆序数的方法 定义定义在排列中 将任意两个元素对调 其余元 素不动 称为一次对换 将相邻两个元素对调 叫做 在排列中 将任意两个元素对调 其余元 素不动 称为一次对换 将相邻两个元素对调 叫做相邻对换相邻对换 定理定理一个排列中的任意两个元素对换 排列改 变奇偶性 一个排列中的任意两个元素对换 排列改 变奇偶性 推论推论奇排列奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 调成标准排列的对换次数为奇数 偶排列偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 调成标准排列的对换次数为偶数 对换 对换 nppp ppp t nnnn n n n n aaa aaa aaa aaa D 21 21 22221 11211 21 21 1 n阶行列式的定义阶行列式的定义 2 1 2 1 21 21 列取和 的所有排表示对个排列的逆序数 为这的一个排列为自然数其中 列取和 的所有排表示对个排列的逆序数 为这的一个排列为自然数其中 n tnppp ppp n n 1 21 21 21 21 的逆序数为行标排列其中 亦可定义为阶行列式 的逆序数为行标排列其中 亦可定义为阶行列式 pppt aaa D Dn n nppp ppp t n n 4 3 2 D D 1 T 乘此行列式等于用数一数 中所有的元素都乘以同列行列式的某一行 等于零 则此行列式完全相同列如果行列式有两行 行列式变号列互换行列式的两行 即式相等行列式与它的转置行列 乘此行列式等于用数一数 中所有的元素都乘以同列行列式的某一行 等于零 则此行列式完全相同列如果行列式有两行 行列式变号列互换行列式的两行 即式相等行列式与它的转置行列 kk n阶行列式的性质阶行列式的性质 8 7 6 5 行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列 然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列 式之和此行列式等于两个行列 则的元素都是两数之和行若行列式的某一列 式为零 则此行列元素成比例列行列式中如果有两行 提到行列式符号的外面 以的所有元素的公因子可列行列式中某一行 行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列 然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列 式之和此行列式等于两个行列 则的元素都是两数之和行若行列式的某一列 式为零 则此行列元素成比例列行列式中如果有两行 提到行列式符号的外面 以的所有元素的公因子可列行列式中某一行 余子式与代数余子式 余子式与代数余子式 1 1 的代数余子式叫做元素 记的余子式 记作 阶行列式叫做元素列划去后 留下来的 行和第所在的第阶行列式中 把元素在 的代数余子式叫做元素 记的余子式 记作 阶行列式叫做元素列划去后 留下来的 行和第所在的第阶行列式中 把元素在 aA MA M a nj i a n ijij ij ji ij ij ij ij 行列式按行 列 展开 行列式按行 列 展开 关于代数余子式的重要性质 关于代数余子式的重要性质 0 1 0 0 1 1 ji ji ji jiD D Aa ji jiD D Aa ij ijjk n k ik ijki n k ki 当 当 其中 当 当 或 当 当 当 当 其中 当 当 或 当 当 克拉默法则 克拉默法则 2 1 2 1 0 1 2211 22222121 11212111 所得到的行列式 换成常数项 列中第 是把系数行列式 其中 那么它有惟一解的系数行列式 如果线性方程组 所得到的行列式 换成常数项 列中第 是把系数行列式 其中 那么它有惟一解的系数行列式 如果线性方程组 bbb x bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa n j j j nnnnnn nn nn jDnj D nj D D D 克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值 0 2211 22222121 11212111 惟一那么它一定有解 且解的系数行列式 如果线性方程组 惟一那么它一定有解 且解的系数行列式 如果线性方程组 D bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa nnnnnn nn nn 必为零解 则它的系数行列式 解或有两个不同的如果上述线性方程组无 必为零解 则它的系数行列式 解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理 定理 定理 定理 0 0 0 0 2211 2222121 1212111 那么它没有非零解的系数行列式 如果齐次线性方程组 那么它没有非零解的系数行列式 如果齐次线性方程组 D xaxaxa xaxaxa xaxaxa nnnnn nn nn 它的系数行列式必为零 组有非零解 则如果上述齐次线性方程 它的系数行列式必为零 组有非零解 则如果上述齐次线性方程 定理 定理 定理 定理 一 计算排列的逆序数 二 计算 证明 行列式 三 克拉默法则 一 计算排列的逆序数 二 计算 证明 行列式 三 克拉默法则 二 典型例题 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和 即算出排列中每个元素的逆序数 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和 即算出排列中每个元素的逆序数 1 3232221212 并讨论奇偶性的逆序数 求排列 并讨论奇偶性的逆序数 求排列 kk kkkk 解解 例 例 一 计算排列的逆序数 一 计算排列的逆序数 0 2故逆序数为排在首位 故逆序数为排在首位k 1 2 11故逆序数为大的数有一个的前面比故逆序数为大的数有一个的前面比k 1 2 12 12 逆序数为 故大的数有一个的前面比 逆序数为 故大的数有一个的前面比kkk 2 12 2 22 数为 故逆序大的数有两个的前面比 数为 故逆序大的数有两个的前面比 kk 2 1 2 2 2222 故逆序数为 大的数有两个的前面比 故逆序数为 大的数有两个的前面比 kkkk 1 2 12 2 111 kk kkkkk 故逆序数为 个大的数有的前面比 故逆序数为 个大的数有的前面比 1 2 12 2 111 kk kkkkk 故逆序数为 个大的数有的前面比 故逆序数为 个大的数有的前面比 1 12 2 k kkkkkk 故逆序数为 个大的数有的前面比 故逆序数为 个大的数有的前面比 kkkt 1122110 k kk 2 1112 2 k 当为偶数时 排列为偶排 列 当为偶数时 排列为偶排 列 k 当为奇数时 排列为奇排列 当为奇数时 排列为奇排列 k 于是排列的逆序数为于是排列的逆序数为 用定义计算 证明 用定义计算 证明 例 用行列式定义计算例 用行列式定义计算 000 000 000 5352 4342 3534333231 2524232221 1312 5 aa aa aaaaa aaaaa aa D 二 计算 证明 行列式 二 计算 证明 行列式 的非零元素分别得到 行可能中第那么 由 行的元素分别为中第设 的非零元素分别得到 行可能中第那么 由 行的元素分别为中第设 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5543 215 543 21 Daaa aaD ppp pp 解解 3 2 3 2 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 3 2 5 4 3 2 1 p p p p p 0 5 5 54321 D ppppp 故 元排列也不能组成 一个 在上述可能取的代码中因为 故 元排列也不能组成 一个 在上述可能取的代码中因为 评注评注本例是从一般项入手 将行标按标准顺序 排列 讨论列标的所有可能取到的值 并注意每 一项的符号 这是用定义计算行列式的一般方法 本例是从一般项入手 将行标按标准顺序 排列 讨论列标的所有可能取到的值 并注意每 一项的符号 这是用定义计算行列式的一般方法 2 于零还多 则此行列式必等 素比阶行列式中等于零的元如果一个 于零还多 则此行列式必等 素比阶行列式中等于零的元如果一个 n n n 注意注意 例 设例 设 21 22221 11211 1 aaa aaa aaa D nnnn n n 2 2 1 1 2 22221 1 1 1 1211 2 ababa baaba babaa D nn n n n n n n n n 2DD 证明 证明 证明证明由行列式的定义有由行列式的定义有 1 21 211 21 的逆序数是排列其中的逆序数是排列其中pppt aaaD n pnpp t n 1 1 21 21 21 2 2 1 12 21 21 2 2 1 1 的逆序数是排列其中的逆序数是排列其中pppt baaa bababaD n pppn pnpp t pn pn p p p p t n n n n 21 2 nppp n 而而 1 1212 21 DaaaD ppp n n t 所以 所以 评注评注本题证明两个行列式相等 即证明两点 一是两个行列式有完全相同的项 二是每一项 所带的符号相同 这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法 本题证明两个行列式相等 即证明两点 一是两个行列式有完全相同的项 二是每一项 所带的符号相同 这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法 利用范德蒙行列式计算 利用范德蒙行列式计算 例 计算 利用范德蒙行列式计算行列式 应根据范德 蒙行列式的特点 将所给行列式化为范德蒙行列 式 然后根据范德蒙行列式计算出结果 例 计算 利用范德蒙行列式计算行列式 应根据范德 蒙行列式的特点 将所给行列式化为范德蒙行列 式 然后根据范德蒙行列式计算出结果 333 222 111 2 2 2 nnn D n n n n 于是得到增至幂次数便从 则方若提取各行的公因子 递升至而是由 变到序排列 但不是从次数自左至右按递升次 方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个 于是得到增至幂次数便从 则方若提取各行的公因子 递升至而是由 变到序排列 但不是从次数自左至右按递升次 方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个 10 1 1 0 n nn Dn 解解 1 3331 2221 1111 12 12 12 nnn n D n n n n 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式 由 范德蒙行列式知 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式 由 范德蒙行列式知 1 2 2 1 1 2 24 23 1 13 12 1 nnn nnn nn xx n D jin jin 评注评注本题所给行列式各行 列 都是某元素的 不同方幂 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列 式不完全相同 需要利用行列式的性质 如提取 公因子 调换各行 列 的次序等 将此行列式 化成 本题所给行列式各行 列 都是某元素的 不同方幂 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列 式不完全相同 需要利用行列式的性质 如提取 公因子 调换各行 列 的次序等 将此行列式 化成范德蒙范德蒙行列式 行列式 用化三角形行列式计算 用化三角形行列式计算 例 计算例 计算 4321 321 321 321 1 xaaaa aaxaa aaaxa aaaax Dn n n n 解解列都加到第一列 得将第列都加到第一列 得将第1 3 2 n x aaa x a x aa x aa x a x aaaa x D n i i n n i i n n i i n n i i n 32 1 2 1 2 1 21 1 1 提取第一列的公因子 得提取第一列的公因子 得 1 1 1 1 32 2 2 21 1 1 x aa a x a aa x aaa a x D n n n n i in 后一列 得 倍加到最列的将第列 倍加到第 列的列 将第倍加到第列的将第 后一列 得 倍加到最列的将第列 倍加到第 列的列 将第倍加到第列的将第 1 3 12 1 1 aa a n 11 n i i n i ia x a x axaaaa axaa ax a x D n n i in 2312 212 1 1 1 1 01 001 0001 评注评注本题利用行列式的性质 采用本题利用行列式的性质 采用 化零化零 的方法 逐步将所给行列式化为三角形行列式 化零时一般尽量选含有 的行 列 及含零较多 的行 列 若没有 则可适当选取便于化零 的数 或利用行列式性质将某行 列 中的某数 化为1 若所给行列式中元素间具有某些特点 则 应充分利用这些特点 应用行列式性质 以达到 化为三角形行列式之目的 的方法 逐步将所给行列式化为三角形行列式 化零时一般尽量选含有 的行 列 及含零较多 的行 列 若没有 则可适当选取便于化零 的数 或利用行列式性质将某行 列 中的某数 化为1 若所给行列式中元素间具有某些特点 则 应充分利用这些特点 应用行列式性质 以达到 化为三角形行列式之目的 得提取公因子 行中行 并从第行都加到第 的第将 得提取公因子 行中行 并从第行都加到第 的第将 dcba D 11432 4 用降阶法计算 用降阶法计算 例 计算例 计算 4 abcd badc cdab dcba D 解解 1111 4 abcd badc cdab dcba D 列 得列都减去第 再将第 列 得列都减去第 再将第1432 0001 4 dadbdcd cbcacdc bcbdbab dcba D 行展开 得按第 行展开 得按第1 4 dadbdc cbcacd bcbdba dcba D 得中提取公因子 行行 再从第行加到第把上面右端行列式第 得中提取公因子 行行 再从第行加到第把上面右端行列式第 dcba 112 011 dadbdc cbcacd dcbadcba D 列 得列减去第再将第列 得列减去第再将第12 行展开 得按第 行展开 得按第1 22 cbdadcbadcba dcbadcba dcbadcba 001 4 dacbdc cbdacd dcbadcba D dacb cbda dcbadcba D 评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的 某行 列 化成只含有一个非零元素 然后按此 行 列 展开 每展开一次 行列式的阶数可降 低 1阶 如此继续进行 直到行列式能直接计算 出来为止 一般展开成二阶行列式 这种方法 对阶数不高的数字行列式比较适用 本题是利用行列式的性质将所给行列式的 某行 列 化成只含有一个非零元素 然后按此 行 列 展开 每展开一次 行列式的阶数可降 低 1阶 如此继续进行 直到行列式能直接计算 出来为止 一般展开成二阶行列式 这种方法 对阶数不高的数字行列式比较适用 用拆成行列式之和 积 计算 用拆成行列式之和 积 计算 例 证明例 证明 0 2sin sin sin sin 2sin sin sin sin 2sin 证证 0 000 sinsinsin coscoscos 0cossin 0cossin 0cossin 左边左边 用递推法计算 用递推法计算 例 计算例 计算 2 1 xaaa axaa aaxa D n n 解解拆成两个行列式之和列把依第拆成两个行列式之和列把依第 D n n aaaa axaaa aaxaa aaaxa D n n 1 2 1 0 0 0 1 2 1 xaaa xaaa axaa aaxa n n 1121Dx a xxxD nnnn 从而从而 得 列展开第右端的第二个行列式按列第 倍分别加到列的将第右端的第一个行列式 得 列展开第右端的第二个行列式按列第 倍分别加到列的将第右端的第一个行列式 1 2 1 1 nn n 000 00 00 00 1 1 2 1 Dx a ax ax ax D nn n n 由此递推 得由此递推 得 21 22121 212211 Dxx x a xxx a xxxD Dx a xxxD nnn nnnn nnnn 于是于是 如此继续下去 可得如此继续下去 可得 Dxxxxx a xx x a xxx a xxxD nnn nnnn 231421 22121 212131 421 22121 xxx a x a xxx xx a xx x a xxx a xxx nn n nnn 3231 12121 xxxxxx xxx a xxx nn nn 时 还可改写成当时 还可改写成当0 21 xxx n 111 1 21 21 xxx a xxxD n nn 评注评注 1 1 1 1 1 系阶行列式之间的递推关 阶行列式更低建立比更低阶的行列式表示 阶用同样形式的比阶行列式以把给定的 有时 还可之间的递推关系阶行列式与 建立了阶行列式表示出来用同样形式的 阶行列式质把所给的本题是利用行列式的性 系阶行列式之间的递推关 阶行列式更低建立比更低阶的行列式表示 阶用同样形式的比阶行列式以把给定的 有时 还可之间的递推关系阶行列式与 建立了阶行列式表示出来用同样形式的 阶行列式质把所给的本题是利用行列式的性 n nn n n n D D D D n n n n 用数学归纳法 用数学归纳法 例 证明例 证明 cos cos21000 1000 00cos210 001cos21 0001cos n Dn 证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法 2 1 2cos1 cos 2 2cos1 1cos cos 2 2 1 结论成立时当所以 因为 结论成立时当所以 因为 nn D D 得展开 按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于 下证对的行列式结论成立假设对阶数小于 得展开 按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于 下证对的行列式结论成立假设对阶数小于 D n n n cos2 21DDDnnn 2cos 1cos 2 1 n D n D n n 由归纳假设由归纳假设 cos 2cos 2cos cos 2cos 1cos cos2 n nnn nn Dn 结论成立所以对一切自然数结论成立所以对一切自然数 n 评注评注 1 1 2 1 同型的行列式是与 不否则所得的低阶行列式展开列或第行按第 不能展开列或第行本例必须按第表示 展开成能用其同型的为了将 同型的行列式是与 不否则所得的低阶行列式展开列或第行按第 不能展开列或第行本例必须按第表示 展开成能用其同型的为了将 D nn D DD n n nn 其猜想结果成立然后用数学归纳法证明 也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明 可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的 而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲 其猜想结果成立然后用数学归纳法证明 也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明 可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的 而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲 计算行列式的方法比较灵活 同一行列式可 以有多种计算方法 有的行列式计算需要几种方 法综合应用 在计算时 首先要仔细考察行列式 在构造上的特点 利用行列式的性质对它进行变 换后 再考察它是否能用常用的几种方法 计算行列式的方法比较灵活 同一行列式可 以有多种计算方法 有的行列式计算需要几种方 法综合应用 在计算时 首先要仔细考察行列式 在构造上的特点 利用行列式的性质对它进行变 换后 再考察它是否能用常用的几种方法 小结小结 当线性方程组方程个数与未知数个数相等 且系数行列式不等于零时 可用克莱姆法则 为 了避免在计算中出现分数 可对有的方程乘以适 当整数 把原方程组变成系数及常数项都是整数 的线性方程组后再求解 当线性方程组方程个数与未知数个数相等 且系数行列式不等于零时 可用克莱姆法则 为 了避免在计算中出现分数 可对有的方程乘以适 当整数 把原方程组变成系数及常数项都是整数 的线性方程组后再求解 三 克拉默法则 三 克拉默法则 28 3 3 2 0 1 fff xf使求一个二次多项式使求一个二次多项式例10例10 解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 2 cbx x axf 由题意得由题意得 2839 3 324 2 0 1 cbaf cbaf cbaf 的线性方程组数这是一个关于三个未知的线性方程组数这是一个关于三个未知cba 20 60 40 020 32 1 DD D D 由克莱姆法则 得由克莱姆法则 得 1 3 2 321 D D c D D b D D a 于是 所求的多项式为于是 所求的多项式为 132 2 x x xf 证证 0 0 0 1 0 0 0 0 从而有系数行列式的非零解 可视为齐次线性方程组则 点设所给三条直线交于一必要性 从而有系数行列式的非零解 可视为齐次线性方程组则 点设所给三条直线交于一必要性 bzaycx azcybx czbyax zyy x x y x M 0 0 0 0 cba baycxacybxcbyax 条件是相交于一点的充分必要 直线证明平面上三条不同的 条件是相交于一点的充分必要 直线证明平面上三条不同的 例11 例11 0 2 1 222 accbba cba bac acb cba baycx acybx cbyax 0 cba cba 故同 也不全相所以因为三条直线互不相同 将方程组如果充分性 故同 也不全相所以因为三条直线互不相同 将方程组如果充分性 0 cba 00 惟一解下证此方程组 有 到第三个方程 得的第一 二两个方程加 惟一解下证此方程组 有 到第三个方程 得的第一 二两个方程加 acybx cbyax 00 2 00 22 22 2 22 ac ca ac c ac a caaccab b ac b ac cb ba 从而有 于是得 由 则如果 从而有 于是得 由 则如果 1 2 0 0 0 0 0 2 直线交于一点有惟一解 即三条不同方程组 从而知有惟一解组由克莱姆法则知 方程 故 与题设矛盾得 再由得由不妨设 直线交于一点有惟一解 即三条不同方程组 从而知有惟一解组由克莱姆法则知 方程 故 与题设矛盾得 再由得由不妨设 cb ba c cbabac b a 例例12有甲 乙 丙三种化肥 甲种化肥每千 克含氮 有甲 乙 丙三种化肥 甲种化肥每千 克含氮70克 磷克 磷8克 钾克 钾2克 乙种化肥每千克含 氮 克 乙种化肥每千克含 氮64克 磷克 磷10克 钾克 钾0 6克 丙种化肥每千克含氮克 丙种化肥每千克含氮 70克 磷克 磷5克 钾克 钾1 4克 若把此三种化肥混合 要 求总重量 克 若把此三种化肥混合 要 求总重量23千克且含磷千克且含磷149克 钾克 钾30克 问三种化 肥各需多少千克 克 问三种化 肥各需多少千克 解解 题意得方程组 依千克 各需设甲 乙 丙三种化肥 题意得方程组 依千克 各需设甲 乙 丙三种化肥 1xxx 304 16 02 1495108 23 321 321 321 xxx xxx xxx 5 27 D此方程组的系数行列式此方程组的系数行列式 8127 5 81 321 DDD 又 又 15 5 3 32 xxx 组有惟一解由克莱姆法则 此方程 组有惟一解由克莱姆法则 此方程 15 5 3 千克 千克千克各需即甲 乙 丙三种化肥 千克 千克千克各需即甲 乙 丙三种化肥 40 15 52 1355 1357 1360 13 3020100 00 0000 3 3 2 210 准确到小数两位时水银密度求 由实验测得以下数据 的关系为与温度设水银密度 准确到小数两位时水银密度求 由实验测得以下数据 的关系为与温度设水银密度 t h t tatataa th th例13例13 1 52 132700090030 55576 13 3210 3210 3210 0 aaaa aaaa aaaa a th得方程组将测得的数据分别代入得方程组将测得的数据分别代入解解 2 008 02700903 005 0800402 003 010010 60 13 321 321 321 0 aaa aaa aaa a 得方程组分别代入其余三个方程将得方程组分别代入其余三个方程将 12000 D此方程组的系数行列式此方程组的系数行列式 0000033 0 00015 0 0042 0 2 3 2 1 a a a 的惟一解得方程组由克莱姆法则的惟一解得方程组由克莱姆法则 04 0 8 1 50 321 DDD 又 得将以上四个数代入又 又 得将以上四个数代入又 60 13 0 th a 由此得由此得 0000033 0 00015 00042 060 13 3 2 t tt th 46 13 56 13 40 15 00 水银密度分别为时当所以水银密度分别为时当所以 t 46 13 4