同济大学微积分课件.ppt

预备知识 1 集合的概念 在数学中 把具有某种特定性质的事物组成的总体称 否则 记为 一 集合 如果元素在集合中 记为 为一个集合 集合中的事物称为该集合的元素 只有有限个元素的集合称为有限集 否则称为无限集 常用数集 自然数集 整数集 有理数集 复数集 2 集合的运算 集合的交 集合的并 集合的差 设是两个集合 由此定义如下几个集合 集合的运算满足如下运算率 交换率 结合率 分配率 3 区间和邻域 开区间 闭区间 设是实数 且 半开半闭区间 无穷区间 注意 无穷端不能写成闭的记号 设是实数 且则定义点的邻域为集合 邻域 如果把邻域的中心去掉 所得到的集合称为点的空 心邻域 1 映射的概念 二 映射 设是两个非空集合 如果存在一个法则使得 而元素称为的象 记作 即 对中的每个元素按此法则在中有唯一的元素 与之对应 那么称为从到的映射 记作 例设 则是到的映射 例设 则是到的映射 2 几类重要映射 一一对应 既单又满的映射称为一一对应 例在前面的两例中 例2是一一对应 而例1则不是 设是到的映射 满射 若即使得 单射 若则必有 3 逆映射与复合映射 则 逆映射 设是到的一一映射 则对中任一元素 例设 可以确定中的唯一元素满足称此对应 关系为映射的逆映射 记为 复合映射 设有映射其中 称此映射为由构成的复合映射 记为 由此可以确定一个从到的映射 例 设 则复合映射为 1 概念 三 一元函数 从数集到实数集的任一映射称为定义在上的 称为的图象 而数集则称为函数 一元函数 通常记为而中的集合 的定义域 注 在以后的讨论中 更多的是函数的定义域以默认的 例则定义域为 例则定义域为 方式给出 即定义域为使表达式有效的一切实数 以下例中函数的定义域均为实数集 例3符号函数 例取整函数 2 函数的几种特性 有界 无界 有界性设函数的定义域为数集 如果都有就称 在上有界 否则称为无界函数 例在上是有界函数 在上无界 域内是无界函数 例试说明函数在的任何空心邻 解设 取 其中 则 所以无界 单调性设函数的定义域为区间 如果对任意的当时 总有 则称函数为区间上的单调增加函数 如果时 总有 则称函数为区间上的单调减少函数 图形特征 单调增加函数图形 单调减少函数图形 奇偶性设函数的定义域为关于原点对称 如果对任意的都有 就称为偶函数 如果对任意的都有 就称为奇函数 图形特征 偶函数 奇函数 使得对任意的当总有 通常我们说的周期指的是最小正周期 周期函数设函数的定义域为如果存在数 就称为周期函数 称为的周期 例如 的最小正周期是 例 狄利克雷函数 则任何非零有理数都是其周期 但没有最小正周期 3 反函数和复合函数 反函数设函数是一一对应 则其逆映 注 习惯上用表示为自变量 所以函数的 射为的反函数 的反函数仍表示为 注 函数与它的反函数的图形 关于对称 复合函数复合函数本质上是复合映射在函数上的推广 当复合映射定义中的几个集合均为数集时 即得到复合 函数的定义 4 基本初等函数 幂函数 是常数 指数函数 对数函数 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 反三角函数 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 5 初等函数 由常数函数及基本初等函数经有限次的四则运算