《概率论与数理统计》习题解.pdf

概率论与数理统计 习题解 答 概率论与数理统计 习题解 答 张 忠 群张 忠 群 六盘水师范高等专科学校数学系六盘水师范高等专科学校数学系 1 一打靶场备有5支某种型号的枪 其中3支已经校正 2支未经校正 某人使用已校正的枪击中目标的概 率为 使用未经校正的枪击中目标的概率为 他随机地取一支枪进行射击 已知他射击了5次 都未击 中 求他使用的是已校正的枪的概率 设各次射击的结果相互独立 解 解 以表示事件 射击了5次均未击中 以表示事件 取得的枪是已经校正的 则 又 按题设 由贝叶斯公式 2 某人共买了11只水果 其中有3只是二级品 8只是一级品 随机地将水果分给三人 各人分 别得到4只 6只 1只 1 求未拿到二级品的概率 2 已知未拿到二级品 求均拿到二级品的概率 3 求均拿到二级品而未拿到二级品的概率 解解 以分别表示事件取到二级品 则表示事件未取到二级品 页码 1 49习题与解答 2010 04 11 1 2 就是需要求已知未取到二级品 这时将7只一级品和3只二级品全部分掉 而 均取到二级品 只需取到1只至2只二级品 其它的为一级品 于是 3 3 一系统由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统和串联而成 如图1 每个子系统输入 为0输出为0的概率为 而输入为1输出为1的概率也是 今在图中端输入字符1 求系统的 端输出字符0的概率 图1 解解 系统的输入为1输出为0 这一事件 记 是两个不相容事件之和 即 这里的记号 表示事件 子系统的输入为1输出为1 其余3个记号的含义类似 于是由子系统工作的独立性得 4 甲乙二人轮流掷一骰子 每轮掷一次 谁先掷得6点谁得胜 从甲开始掷 问甲 乙得胜的概率各为多 少 解解 以表示事件 第 次投掷时投掷者才得6点 事件发生 表示在前次甲或乙均未得6点 而在第 次投掷甲或乙得6点 因各次投掷相互独立 故有 因甲为首掷 故甲掷奇数轮次 从而甲胜的概率为 页码 2 49习题与解答 2010 04 11 同样 乙胜的概率为 5 将一颗骰子掷两次 考虑事件 第一次掷得点数2或5 两次点数之和至少为7 求 并问事件是否相互独立 解解 将骰子掷一次共有6种等可能结果 故设以表示第 次掷出骰子的点数 则 因将骰子掷两次共有36个样本点 其中有共5种情况 这5种情况分别含有 1 2 3 4 5个样本点 故 以记两次投掷的结果 则共有 2 5 2 6 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 这7个样本点 故 今有 按定义相互独立 6 两人轮流射击 每次各人射击一枪 射击的次序为 射击直至击中两枪为止 设 各人击中的概率均为 且各次击中与否相互独立 求击中的两枪是由同一人射击的概率 解解 总是在奇数轮射击 在偶数轮射击 先考虑击中两枪的情况 以表示事件 在第 轮射击时又一次击中 射击在此时结束 发生表示 前轮中共射击枪而 页码 3 49习题与解答 2010 04 11 其中击中一枪 且在第轮时击中第二枪 这一事件记为 同时 在前轮中共射击 枪但一枪未中 这一事件记为 因此 注意到两两互不相容 故由击中了两枪而结束射击 这一事件仍记为 的概率为 此处级数求和用到公式这一公式可自等比级数两边求导 而得到 若两枪均由击中 以表示事件 在第轮射击时又一次击中 射击在此 时结束 发生表示在前轮中射击枪其中击中一枪 且在第轮时击中第2枪 同时在前轮中共射击枪 但一枪未中 注意到两两互不相容 故击中了两枪而 结束射击 这一事件仍记为 的概率为 因此 由一人击中两枪的概率为 页码 4 49习题与解答 2010 04 11 7 有3个独立工作的元件1 元件2 元件3 它们的可靠性分别为设由它们组成一个 3个元件 取2个元件的表决系统 记为2 3这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这 一系统正常工作 求这一2 3系统的可靠性 解解 以表示事件 第 个元件正常工作 以表示事件 2 3系统正常工作 则可表示 为下述两两互不相容的事件之和 因相互独立 故有 8 进行非学历考试 规定考甲 乙两门课程 每门课考第一次未通过都允许考第二次 考生仅在课程 甲通过后才能考课程乙 如两门课程都通过可获得一张资格证书 设某考生通过课程甲的各次考试的概率 为 通过课程乙的各次考试的概率为 设各次考试的结果相互独立 又设考生参加考试直至获得资 格证书或者不准予再考为止 以表示考生总共需考试的次数 求的分布律以及数学期望 解解 按题意知考试总共至少需考 次而最多只考 次 以表示事件 课程甲在考第 次时通过 以表示事件 课程乙在考第 次时通过 事件表示考试总共考 次 这一事件只在下列两种互不相容的情况下发生 一种是课程甲 乙都在第一次考试时通过 亦即发生 此时他得到证书 另一种是课程甲在第一次 第二次考试均 未通过 亦即发生 此时他不准再考 故 同样 得的分布律为 页码 5 49习题与解答 2010 04 11 例如 若 则有 次 9 1 5只电池 其中有2只是次品 每次取一只测试 直到将2只次品都找到 设第2只次品在第 次找到 求的分布规律 注 在实际上第5次检测可无需进行 2 5只电池 其中2只是次品 每次取一只 直到找出2只次品或3只正品为止 写出需要测试的次数的 分布律 解解 1 可能取的值为2 3 4 5 第1次 第2次都取到一只次品 前两次取到一只次品 第3次取到一只次品 第3次取到一只次品 前两次取到一只次品 前两次取到一只次品 前3次取到一只次品 第4次取到一只次品 第4次取到一只次品 前3次取到一只次品 前3次取到一只次品 得分布律为 页码 6 49习题与解答 2010 04 11 2 3 4 5 2 以表示所需测试的次数 则的可能取值为2 3 4 表示 前3次取到都是正品 或 第二只次品在第3次取到 故 的分布律为 2 3 4 10 向某一目标发射炮弹设炮弹弹着点目标的距离为 单位 10 服从瑞利分布 其概率密度为 若弹着点离目标不超过5时 目标被摧毁 1 求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率 2 为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于0 94 问最少需要独立发射多少枚炮弹 解解 1 所求概率为 2 设发射枚炮弹 则这枚炮弹都不能摧毁目标的概率为 故至少有一枚炮弹能摧毁目 标的概率为 按题意需求最小的 使得 即 故最少需要独立发射3枚炮弹 页码 7 49习题与解答 2010 04 11 11 设元件的寿命 以小时计 服从指数分布 分布函数为 1 已知元件至少工作了30小时 求它能再至少工作20小时的概率 2 由3个独立工作的此种元件组成一个2 3系统 参见第7题 求这一系统的寿命的概率 解解 1 由指数分布的无记忆性 参见教材第56页 知所求概率为 2 由第7题知2 3系统的寿命的概率为 12 1 已知随机变量的概率密度为求的分布函数 2 已知随机变量的分布函数为另外有随机变量试求的分布律和分 布函数 解解 1 由于 当时 分布函数 当时 分布函数 故所求分布函数为 页码 8 49习题与解答 2010 04 11 2 分布律为 1 1 分布函数为 13 1 服从泊松分布 其分布律为 问当取何值时为最大 2 服从二项分布 其分布律为 问当取何值时为最大 解解 1 由 知道 当时 随增大而递增 当时 随增大而递减 从而 若为正整 数 则当时 为概率的最大值 即当时概率都取到最大 值 若不是正整数 令则此时有 因此不难推得为概率的最大值 页码 9 49习题与解答 2010 04 11 2 由 知道 当时 随增大而递增 当时 随增大而递减 从 而 若为正整数 则当时 为概率的最大值 即 当时概率都取到最大值 若不是正整数 令 则 此时有 不难推得为概率的最大值 14 设求的概率密度 解解 的概率密度为 记的分布函数为先来求的分布函数 当时 当时 将关于求导可得的概率密度如下 当时 因而此时 当时 因而此时 页码 10 49习题与解答 2010 04 11 当时 因而 故 15 设的概率密度 求的概率密度 解解 因函数严格单调减少 它的反函数当时 由公式得的概率密度为 因而 即 页码 11 49习题与解答 2010 04 11 本题和的概率密度相同 16 投掷一硬币直至正面出现为止 引入随机变量 投掷总次数 1 求和的联合分布律及边缘分布律 2 求条件概率 解解 1 的可能值是0 1 的可能值是 因必定首次得正面 故 若 因首次得正面是不可能的 故 因必须首次得正面 故 当当 页码 12 49习题与解答 2010 04 11 因必定首次得反面 故 综上 得的分布律及边缘分布律如下 2 17 设随机变量随机变量试求和的联合分布律及边缘分布律 解解 的分布律为 的可能值是 的可能值为 时 即得的联合分布律及边缘分布律为 页码 13 49习题与解答 2010 04 11 18 一等边三角形 如图13 2 的边长为1 在三角形内随机地取点 意指随机点在三 角形内均匀分布 1 写出随机变量的概率密度 2 求点的底边的距离的分布密度 解解 1 因三角形的面积为 故的概率密度为 2 点到底边的距离就是 因而求到的距离的分布函数 就是求关于 的 边缘分布函数 现在 页码 14 49习题与解答 2010 04 11 从而 的分布函数为 19 设随机变量具有概率密度 1 求边缘概率密度 2 求条件概率密度 解解 1 当时 当时 故边缘概率密度分别是 2 条件概率密度 当时 页码 15 49习题与解答 2010 04 11 当时 20 设有随机变量和 它们都仅取 两个值 已知 1 求和的联合分布密度 2 求的方程至少有一个实根的概率 3 求的方程至少有一个实根的概率 解解 1 的联合分布密度为 页码 16 49习题与解答 2010 04 11 2 方程当且仅当在时至少有一实根 因而所求的概率为 3 方程当且仅当在时至少有一实根 因而所 求的概率为 21 某图书馆一天的读者人数 任一读者借书的概率为 各读者借书与否相互独立 记一天读 者借书的人数为 求与的联合分布律 解解 读者借书人数的可能值为 22 设随机变量X和Y相互独立 且都服从U 0 1 求两变量之一至少为另一变量之值两倍的概率 解解 按题意知 X Y 在区域 服从均匀分布 其概率密度为 所求概率为 G1的面积 G2的面积 1 2 G1 G2见图13 3 页码 17 49习题与解答 2010 04 11 23 设且相互独立 求概率 解 解 因 独立 其线性组合仍为正态变量 而 故 因而 24 产品的某种性能指标的测量值X是随机变量 设X的概率密度为 测量误差Y U X Y相互独立 求Z X Y的概率密度 并验证 解 解 1 Y的概率密度为 故Z X Y的概率密度为 仅当即时上述积分的 页码 18 49习题与解答 2010 04 11 被积函数不等于零 参考图4 即得 2 其中 于是 25 设图书馆的读者借阅甲种图书的概率为 借阅乙种图书的概率为 设每人借阅甲 乙图书的行 动相互独立 读者之间的行动也相互独立 1 某天恰有n个读者 求甲 乙两种图书中至少借阅一种的人数 的数学期望 解 1 以X表示某天读者中借阅甲种图书的人数 因各人借阅甲种图书的概率均为p 且由题设各人是否 借阅相互独立 故 页码 19 49习题与解答 2010 04 11 2 以A表示事件 读者借阅甲种图书 以B表示事件 读者借阅乙种图书 则就读者而言 有 借阅两种图书的行动相互独立 故 以Y表示至少借阅一种图书的人数 由题设各人是否借阅相互独立 知 故 也可这样做 引入随机变量 这里不需假设读者之间的行动相互独立 26 某种鸟在某时间区间下蛋数为1 5只 下只蛋的概率与成正比 一个收集鸟蛋的人在时去 收集鸟蛋 但他仅当鸟窝多于3只蛋时他从中取走一只蛋 在某处有这种鸟的鸟窝6个 每个鸟窝保存完好 各鸟 窝中蛋的个数相互独立 1 写出一个鸟窝中鸟蛋只数的分布率 2 对于指定的一只鸟窝 求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率 3 求拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数的分布律及数学期望 4 求 5 当一个拾蛋人在这6只鸟窝中拾过蛋后 紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋 也仅当鸟窝中多 于3只蛋时 拾取一只蛋 求第二个拾蛋人拾得蛋数的数学期望 解 1 设该中鸟在内下蛋数为按题意其中为待定常数 因 即有所以 因此的分布律为 2 因当且仅当窝中蛋数多于3时 某人从中取走一只蛋 故拾蛋人在该窝中拾取一只蛋的概率为 3 记拾蛋人在6只鸟窝中拾到蛋的总数为 则 故 4 页码 20 49习题与解答 2010 04 11 0 456 6 第2个拾蛋人仅当鸟窝中最初有5只蛋时 他才能从该窝中拾到一只蛋 故他在一个鸟窝中拾到一只 蛋的为以记第2个拾蛋人拾到蛋的总数 则故有 27 设袋中有只白球 只黑球 在袋中取球次 每次任取一只做不放回抽样 以表示取到 白球的个数 求 解 解 引入随机变量 则次取球得到的白球数 而 1 即知的数学期望为 于是得得数学期望为 本题也可按以下方式写出的表达式 从而求得 将球编号 引入随机变量 则 事件发生 表示在袋中取球 次 若每次任取一只不放回抽样时 第 号白球被取到 因为事件 可以在第一次 第二次 第次取球 这种两两互不相容的情况发生 且每次取到第 号白球 的概率都是 因此 页码 21 49习题与解答 2010 04 11 这样 从而 28 抛一颗骰子直到所有点数全部出现为止 求所需投掷次数的数学期望 解 解 引入随机变量 如下 第一 第二两点得到后 等待第三个不同点所需等待次数 的意义类似 则所需投掷的总次数为 掷一次得第二个不同的点的概率为 因此的分布律为 的几何分布 又因得到两个不同的点后 掷一次得第三个不相同点的概率为 参数的几何分布 其分布律为 的分布律分别为 因几何分布的数学期望为 页码 22 49习题与解答 2010 04 11 所以 29 一酒吧间柜台前有6张凳子 服务员预测 若两个陌生人进来就坐的话 他们之间至少相隔两张凳子 1 若真2个陌生人入内 他们随机地就坐 问服务员预言为真的概率是多少 2 设2个顾客是随机坐的 求顾客之间凳子数的数学期望 解解 1 将凳子按自左至右编号 设服务员预言为真 若第一顾客就坐于1号 则另一顾客可坐4或5或6号 共三种坐法 若第一顾客就坐于2号 则另一顾客可坐在5或6号共两种坐法 若第一顾客就坐于6号 只 有一种坐法 综合三种情况共计6种坐法 同样 若第一顾客分别就坐于6号 5号 4号 则另一顾客 也有6种坐法 因此两人共有种坐法 若两人随机就坐共有种坐法 故服务员预言为真的概 率是 3 若两顾客是随机坐的 以记两顾客间的凳子数 则可能取的值为0 1 2 3 4 可知的分布律为 于是 30 设 随 机 变 量相 互 独 立 且 都 服 从 又 设 求 概 率 的近似值 解 所求概率为 页码 23 49习题与解答 2010 04 11 由于相互独立且都服从的分布 知也相互独立 且服从同一 分布 又其概率密度为 故有 由中心极限定理得 31 设是数学期望为的指数分布总体的容量 为2的样本 设 试证明 证证 的概率密度为 参见134页附注 又相互独立 从而相互独立 且 故由数学期望的性质 得 页码 24 49习题与解答 2010 04 11 32设总体是一个样本 分别为样本均值和样本方差 试证 证 证 因 分别是正态总体的容量为的样本均值和样本方差 于是与也相互独 立 从而 又由分布的性质知 得 将这些结果代入式 得 33 设总体具有概率密度 其中为未知参数 是来自的样本 是相应的样本观察值 1 求的最大似然估计量 2 求的矩估计量 3 问求得的估计量是否是无偏估计量 解 解 1 由 的样本观察值以及的概率密度的形式 得似然函数为 页码 25 49习题与解答 2010 04 11 故 令 得的最大似然估计值为 2 得 以代替上式中的 得的矩估计量为 它与最大似然估计量相一致 3 因 故是的无偏估计量 34 设以及为分别来自总体与的样本 且它们相互独 立 均未知 试求的最大似然估计量 解解 设给定的两独立样本的相应样本值分别为 将它们代入相应的概率密度 然后相乘 得似然函数为 页码 26 49习题与解答 2010 04 11 令 得的最大似然估计值为 的最大似然值为 35 为了探究一批存贮着的产品的可靠性 在产品投入贮存时 即在时刻时 随机地选定只产品 然后 在预先规定的时刻取出来进行检测 检测时确定已失效的去掉 将未失效的继续投入贮存 今得 到以下的寿命试验数据 检测时刻 月 区间 在 的 失效数 页码 27 49习题与解答 2010 04 11 这种数据称为区间数据 设产品寿命服从指数分布 其概率密度为 未知 1 试基于上述数据写出的对数似然方程 2 设我们可以用数值解法求得的最大似然估计值 在计算机上实现是容易的 特别 取检测 时间是等间隔的 即取验证 此时可得的最大似然估计为 解解 1 由假设产品寿命服从指数分布 其分布函数为 则产品在区间失效的概率为 这里 产品直至未失效的概率为 因而事件 只产品分别在区间失效只 而直至还有只未失 效 的概率为 这就是样本的似然函数 取对数得 对数似然方程为即为 上式右边第一项即为 页码 28 49习题与解答 2010 04 11 于是得对数似然方程为 2 若则上述方程化成 即 即 亦即 从而得的最大似然估计为 36 设某种电子器件的寿命 以小时计 服从指数分布 概率密度为 其中未知 从这批器件中任取只在时刻时投入独立寿命试验 试验进行到预订时间结 束 此时有只器件失效 试求的最大似然估计 解解 考虑事件 试验直至时间为止 有只器件失效 而有只未失效 的概率 记的 分布函数为 页码 29 49习题与解答 2010 04 11 一只器件在投入试验 则在时间以前失效的概率为 而在时间 未失效的概率为 由于各只器件的试验是相互独立的 因此事件的概率 为 这就是所求的似然函数 取对数得 令 得 解得的最大似然估计为 37 设系统由两个独立工作的成败型元件串联而成 成败型元件只有两种状态 正常工作或失效 元件1 元 件2的可靠性分别为 它们均未知 随机地取个系统投入试验 当系统中至少有一个元件失效时系统 失效 现得到以下的试验数据 仅元件1失效的系统数 仅元件2失效的系统数 元件1 元件2至 少有一个失效的系统数 未失效的系统数 这里为隐蔽数据 也就是只知系统 失效 但不知道是由元件1还是元件2单独失效引起的 还是由元件1 2均失效引起的 设隐蔽与系统失效的真正 原因独立 1 试写出的似然函数 2 设有系统寿命试验数据试求的最大似然估计 解解 1 为了写出似然函数 现在来求取到现有样本的概率 因共有个系统 因而似然函数是个因子的 乘积 其中 对应于个仅元件1失效的系统有个因子 页码 30 49习题与解答 2010 04 11 对应于个仅元件2失效的系统有个因子 对应于个仅元件1 2至少有一个失效的系统有个因子 对应于个未失效的系统有个因子 故得似然函数为 2 以代入上式得似然函数为 令 得 即有 将代入 经简化得 即 解得 不合理 舍去 于是 即得的最大似然估计值为 38 1 设总体具有分布律 页码 31 49习题与解答 2010 04 11 未知 今有样本1 1 1 3 2 1 3 2 2 1 2 2 3 1 1 2 试求得最大似然估计值和矩估计值 2 设总体服从分布 其概率密度为 其形状参数为已知 尺度参数未知 今有样本值 求的最大似然估计值 解 1 样本值1出现7次 2出现6次 3出现3次 故似然函数为 令 得的最大似然估计值为 下面来求矩估计 令 解得 于是得矩估计值为 2 对于样本值 似然函数为 令 页码 32 49习题与解答 2010 04 11 得参数的最大似然估计值为 39 1 设即服从对数正态分布 验证 2 设自 1 中总体中取一容量为的样本求的最大似然估计 此处设均为 未知 3 已知在文学家萧伯纳的 An Intelligent Women s Guide To Socialism 一书中 一个句子的单此数 近似地服从对数指数分布 设及为未知 今自该书中随机地取20个句子 这些句子中的单词数分别 为 52 24 15 67 15 22 63 26 16 32 7 33 28 14 7 29 10 6 59 30 问这本书中 一个句子的单词数均值的最大似然估计值等于多少 解 1 由得 而故 由于 故有 2 为求的最大似然估计 先来求的最大似然估计 为此 先来求的概率密度 而记的概率密度为由于函数严格单调递增 其反函数为 故由第二章公式 2 1 知 的概率密度为 接着来求和的最大似然估计 对于样本值 似然函数为 页码 33 49习题与解答 2010 04 11 令 得和的最大似然估计值分别为 注意到由最大似然估计量的不变性知的最大似然估计为 3 将所给的20个数取对数 经计算得到和分别为 故 40 设分别自总体和中抽取容量的两独立样本 其样本方差分别为 试证 对于任意常数都是的无偏估计 并确定常数使达到最 小 解 因且 于是 故对于任意常数 只要都是的无偏估计 故 页码 34 49习题与解答 2010 04 11 这是因为正态分布总体的样本方差 有而变量方差为 记由 可化成 令 得 此时 而 即知当时 取最小值 这就是说 当 时取到最小值 41 设总体是来自的样本 已知样本方差 是 的无偏估计 验证样本标准差不是标准差的无偏估计 证证 因而是的函数 故 页码 35 49习题与解答 2010 04 11 其中是分布的概率密度 将的表达式代入上式右边 得到 因 因此 即不是的无偏估计 42 设总体服从指数分布 其概率密度为未知 从总体中抽取一容量 为的样本 1 证明 2 求的置信水平为的单侧置信下限 3 某种元件的寿命 以小时计 服从上述指数分布 现从中抽得一容量为的样本 测得样本均值为5010 小时 试求元件的平均寿命的置信水平为0 90的单侧置信下限 解解 1 令因为严格单调函数 其反函数为故由第二章 2 1 式 知的概率密 度为 它是分布的概率密度 也就是说 是来自的样本 因此相互独立 且都与有相同的分布 这样就有 再由分布的可加性得 页码 36 49习题与解答 2010 04 11 2 因 即有 故得知新水平为的单侧置信下限是 3 令 故 43 设总体是来自的样本 1 验证的分布函数 为 2 验证的概率密度为 3 给定正数 求的分布的上分位点以及上 分位点 4 利用 2 3 求参数的置信水平为的置信区间 5 设某人上班的等车 时间未知 现在有样本求的置信水平 为0 95的置信区间 解解 1 它的分布函数为 因是 来 自的 样 本 故 它 们 相 互 独 立 且 都 与有 相 同 的 分 布 从 而 的分布函数为 2 的分布函数为 页码 37 49习题与解答 2010 04 11 将关于求导 得的概率密度函数为 3 如图5上分位点应满足 即或即因而 同样 应满足 即或即因而 4 考虑到 即 因此 即 故得总体的未知参数的置信水平为的一个置信区间为 5 现在所求的置信水平为0 95的置 信区间为 44 设总体服从指数分布 概率密度为 设是来自的样本 试取42题中当时的统计量作为检验统计量 检验假设 取水平为 注意 设某种电子元件的寿命 以小时计 服从均值为的指数分布 随机取12只元件 测得它们的寿命分别为 340 页码 38 49习题与解答 2010 04 11 430 560 920 1380 1520 1660 1770 2100 2320 2件350 2650 试取水平检验假设 解 解 按题设总体 服从指数分布 其概率密度为 是来自的样本 现在来检验假设 取水平为 取检验统计量 当为真时 由于与接近 而当为真时 倾向 于偏离 因此拒绝域具有以下的形式 或 此处的值由下式确定 取 由42题当为真时 故得于是拒绝域为 或 现在要检验假设 令 即有 12 401 24 828 39 364 故接受 认为这批电子元件寿 命的均值为小时 45 平均值的质量控制图 在工业质量控制中 常需要每隔一定时间就检验一次同样的假设 例如 在制 造某种弹簧的过程中 需要控制弹簧的自由长度具有平均值 设弹簧的自由长度总体服从正态分 布 且标准差为为检验生产过程中是否正常 每隔一定时间 例如一小时 取样件 根据测得的自由 页码 39 49习题与解答 2010 04 11 长度平均值来检验假设为简化这项工作及便于了解生产过程的统计规律性 制作了如下的 图 表 图 中 的 纵 坐 标 是的 大 小 中 心 线 在控 制 上 限 和 控 制 下 限 分 别 在 处 每个样本平均值都画在图上 如黑点所示 如果都落在控制限之间 则 表明生产过程处于正常的控制之下 否则 就要检查原因适当地调整机器 显著性水平不超过0 003 图的控 制限的 的3就是取 0 0027得到的 由及作出容量 5的样本平均值的控制 图 并将下列自每隔一小时的时间间隔内采样 容量为5 算得的样本均值画在图上 现有数据 1 510 1 495 1 521 1 505 1 524 1 488 1 465 1 529 1 520 1 444 1 531 1 502 1 409 1 531 1 475 1 478 1 522 1 491 1 491 1 482 问生产过程是否正常 解 解 按题意 需用 检验法在水平 0 0027下检验假设 知拒绝域为 即 亦即若观察值落在区间内就接受 认为该生产过程正常 由给定数据得控制图的中心 线 控制下限 控制上限分别为 由采得的样本 算得以5个数据为一组的平均值分别为 1 511 1 4892 1 5058 1 4928 它们都落在区间 1 473 1 527 之中 所以认为该生产过程正常 46 经过十一年的试验 达尔文于1876年得到15对玉米样品的数据如下表 每对作物除授粉方式不同外 其它 条件都是相同的 试用逐对比较法检验不同授粉方式对玉米高度是否有显著的影响 问应增设 什么条件才能用逐对比较法进行检验 授粉方式 1 2 3 4 5 6 异株授粉的作物高度 xi 23 125 12 20 375 22 19 125 21 5 同株授粉的作物高度 xi 27 375 21 20 20 19 375 18 625 7 8 9 10 11 12 13 14 15 页码 40 49习题与解答 2010 04 11 解解 本题是历史上第一个对比试验的结果 我们用逐对比较法来检验 计算与的差 的差 得到 4 25 9 0 375 2 0 25 2 875 3 5 5 125 1 75 3 625 7 3 9 375 7 5 6 今要求在水平下检验假设 现在 有所给的数据得 故接受 即认为两种授粉方式对玉米高度无显著影响 用逐对比较法作检验时 一般应假定各对数据之差构成正态总体的一个样本 不过这种假定 通常体现于做对比试验的要求上 47 一内科医生声称 如果病人每天傍晚聆听一种特殊的轻音乐会降低血压 舒张压 以记 今选 取了个病人在试验之前和试验之后分别测量了血压 得到以下的数据 设为来自正态总体的样本 均已知 试检验是否可以认为 医生的意见是对的 取 解解 本题亦宜采用逐对比较法 即在水平下检验假设 检验统计量 22 125 20 375 18 25 21 625 23 25 21 22 125 23 12 18 625 15 25 16 5 18 16 25 18 12 75 25 5 18 病人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 试验之前 86 92 95 84 80 78 98 95 94 96 试验之后 84 83 81 78 82 74 86 85 80 82 页码 41 49习题与解答 2010 04 11 为 当 的观察值时拒绝 今的观察值为 2 9 14 6 2 4 12 10 14 14 得查表 检验统计量 的观察值 从而在水平下拒绝 认为医生的意见是对的 48 以下是各种颜色汽车的销售情况 试检验顾客对这些颜色是否有偏爱 即检验销售情况是否是均匀的 取 以表示一顾客买一辆色的汽车的概率 本题要求根据销售记录 在水平下检验假设 红 黄 蓝 绿 棕 0 2 在 所需计算列表如下 而观察值 故在下拒绝 认为顾客对颜色是有偏爱的 49 某种闪光灯 每盏灯含4个电池 随机地取150盏灯 经检测得到以下的数据 试取检验一盏灯损坏的电池数 未知 颜色 红 黄 蓝 绿 棕 车辆数 40 64 46 36 14 车辆颜色 红 黄 蓝 绿 棕 40 64 46 36 14 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 40 40 40 102 4 40 52 9 40 32 4 40 4 9 一盏灯损坏的电池数 0 1 2 3 4 灯的盏数 26 51 47 16 10 页码 42 49习题与解答 2010 04 11 解解 本题要求在水平下检验假设 此处为未知 故需在下用最大似然估计法估计 由知的最大似然估计值为 参见教材第七章习题3 即有 其余所需的计算列表如下 而观察值 故接受 认为 50 下面分别给出了某城市在春季 9周 和秋季 10周 发生的案件数 试取 用秩和检验法检验春季发生的案件数的均值是否较秋季的为多 解解 本题要求在水平下 检验假设 将两组共19个数排序如下 对于来自第1个总体 的数据下面加 表示 故 查教材附表8知拒绝域为 26 51 47 0 139978 0 355475 0 338524 0 143281 0 022741 20 9967 53 32125 50 7786 32 1956 48 7798 43 5026 27 1450 春季 51 42 57 53 43 37 45 49 46 秋季 40 35 30 44 33 50 41 39 36 38 数据 30 33 35 36 38 39 40 41 44 50 秩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 页码 43 49习题与解答 2010 04 11 现在落在拒绝域内 故拒绝 认为春季发生的案件数的均值较秋季的为多 51 临界闪烁频率 cff 是人眼对于闪烁光源能够分辨出它在闪烁的最高频率 以赫计 超过cff的频率 即使 光源实际是在闪烁的 而人看起来是连续的 不闪烁的 一项研究旨在判定cff的均值是否与人眼的虹膜颜色 有关 所得数据如下 试在显著性水平0 05下 检验各种虹膜颜色相应的cff的均值有无显著的差异 设各个总体服从正态分布 且方 差相等 样本之间相互独立 解解 将棕色 绿色 蓝色虹膜的cff均值分别记作 本题要求在水平下检验假设 不全相等 现在 的自由度分别为 经计算的方差分析表如下 而 故拒绝 认为有显著差异 52 下面列出