《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第九章答案.pdf

第九章第九章 内积空间和希尔伯特空间内积空间和希尔伯特空间 例题选讲 例 1 Hilbert是X可分的充分必要条件X存在一个可数的完全规范正交系 n e 证明 若X是可分的 设 n x是X的一个可数稠密子集 不妨设 n x是线性无关的 用GramSchmidt 方法 存在可数的完全规范正交系 n e 使span 1 n eeL 1 n span xxL 这样 因此 n e是完全的 反 之 若 n e是X的 一 个 完 全 规 范 正 交 系 则span n e在X中 稠 密 0 1 1 2 3 n kkkkk k Xaibe abQ N L是X中的可数稠密子集 因此 X是可分的 证毕 例 2 求证 P是Hilbert空间X上的投影算子的充分必要条件是 2 PP 且 PP 证明 设P是X中相对应与闭线性子空间Y的投影算子 对任意x X 存在 1 xY 2 x Y 使 12 xxx 1 Pxx 对于 1 x 1 x 1 0 x 其中 1 xY 0Y 因 此 11 Pxx 即 2 1 P xPxPx 因此 2 PP 设 x yX 12 xxx 12 yyy 其 中 11 xyY 22 xyY 这 样 1121112 Px yxyyxyxxPyx Py 这就证明了 PP 反之 若P满足 PP PP 令 Yx Pxx 则Y是X中的线性子空间 Y 还是闭的 事实上 若 n xY 0 lim n n xx 则 00 limlim nn nn PxPxxx 故 0 xY 因此Y是闭的线性子空间 我们要证明P是Y上的投影算子 设xX 则 xPxxPx 由于 2 PP 因此PPxPx 即PxY 又 IPIP 因此 对任意的y Y 有 0 xPx yxIP yx yy 即xPxY 由 xPxIP x 其中Px Y IP xY 而这种分解是唯一的 可得P是X到Y上的投影算子 证毕 例 3 设T是Hilbert空间X上有界线性算子 若存在X上的一个稠密线性子空间 0 X 使 对任意的 0 xX 成立Txx 且T的值域在X中稠密 求证 T是酉算子 证明 由 5 节定理 5 只要证明T是映射到上的保范算子 设x X在X中稠密 必有 0n xX lim n n xx 于是limlim nn nn TxTxxx 因此T是保范的 我们再证明T是映射到上的 因为T的值域在X中稠密 因此对任意yX 存在 n xX 使lim n n Txy 由 于 n Tx收 敛 因 此 n Tx柯 西 列 又 nmnmnm xxT xxTxTx 因此 n x也是柯西列 设 0 lim n n xx 则y lim n n Tx 0 Tx 因此T是映射到上的 这样 由 5 节定理 5 T是酉算子 证毕 习题解答 1 设 n x是内积空间X中点列 若 n xx n 且对一切yX 有 n xy xy n 证明 n xx n 证明 222 0 nnnnnn xxxxxxxxxxxx n 因此 n xx n 2 设 12n XXXLL 是一列内积空间 令 2 nnnn XxxXx n 1 当 n x n yX 时 规定 nnnn xyxy 其中 是数 1 nnnn i xyxy 证明 X是内积空间 又当 n X都是Hilbert空间 证明 X也是Hilbert空间 证明 1 若0 nn x x 则 1 0 nn n x x 因此对任意n 0 nn x x 1 2 3n L 即 0 n x 2 11 nnnnnnnnnn nn xyzxyxy z z z 3 这就证明了X是n维线性空间 又由第七章第 22 题 X是完备的 在 22 题中取 p 2 因此X是Hilbert空间 3 设X是n维线性空间 12 L n e ee是X的一组基 证明 x y成为X上内积的 充分必要条件是存在 n n uv正定方阵使得 11 1 0 nnn uuv vuvuv uvu v x xx ex ex x 证明 必要性 若 x y是X上内积 设 uv uv e e 对任意 1 n u u u xx e 1 n uvuv u v x x x x0 且当0 x时 1 n uvuv u v x x x x 0 因此 uv正定 方阵 充分性 若 uv正定方阵 则对任意 11 nn u uu u uu xx eyy e x y 1 n uvuv u v x y 下证 x y是X中内积 1 x x 1 n uvuv u v x x因 uv正定方阵 可得 x x0 且当 x x0 时 0 x 2 1 n v uvuu u v xy zxyz 11 nn uvuv uuvuv u vu x z ey zx zy z 3 因 uv正定 uv uv 这样 1 n uvuv u v x yx y 1 1 nn uv uvuvuv u vu v x yx yy x 因此 x y是X上内积 证毕 4 设设X是实内积空间是实内积空间 若若 222 xyxy 则则xy 当当X是复内是复内 积空间时积空间时 这个结论是否依然成立这个结论是否依然成立 解解 当当X是 实 内 积 空 间 且是 实 内 积 空 间 且 222 xyxy 时时 由由 222 2 xy xyxyxyx y 得得 0 x y 即即xy 在复内积空间上此结论不成立在复内积空间上此结论不成立 例如例如0 xyix 1x 2 xyxix xix 2222 xyi x xi x xxy 但但 x yx ixi 0 5 证明证明 内积空间内积空间X中两个向量中两个向量 x y垂直的充要条件是垂直的充要条件是 对一切对一切 成立成立xy x 证明证明 若若xy 则任意复数则任意复数 有有 222222 xyx xx yy xy yxyx 因此因此xyx 若对一切数若对一切数 xyx 不妨设不妨设0y 令令 2 1 2 x y y 则则 由由 2222 xyxyx y 2 x yx 得得 22 2 42 11 0 42 x yyx y yy 即即 22 4 x yx y 此可得此可得 0 x y 即即xy 证毕证毕 6 设X是Hilbert空间 MX 并且 M 证明 M 是X中包含M的最 小闭子集 证明 X中包含M的最小X闭子集是Y 若yY 则存在 n xspanM 使 n xy 设xM 则 y x lim 0 n n xx 因此 yM 即 YM 又Y是X中 闭子空间 且MY 则Y M 从而 MY Y 所以 YM 证毕 7设 n e是 2 L a b中 的 规 范 正 交 系 说 明 两 元 函 数 列 1 2 3 nm ex eyn m L是 2 La ba b 中的规范正交系 若 n e完全 则两 元函数列 1 2 3 nm ex eyn m L也是完全的 证明 对任意 n m和 n m nm nm ex eyex ey bb nm nmnnmm aa ex ex dxey ey dy 因此 nm ex ey是规范正交系 若 2 fL a ba b 则几乎处处 xa b 2 fx yL a b 因此若记 b mm a axfx y ey dy 则 由 于 1m m ey 是 完 全 的 必 有 2 b m a ax 2 1 nm n b 其中 bbb nmmnmn aaa bax ex dxdxfx y ey ex dy 这样 2 2 22 11 1 bbbb mmnm aaaa nnm n dxfx ydyaxdxaxdxb 由于 nm b是关于 nm ex ey的傅立叶系数 因此我们就证明了 Parseval 等式成 立有第 3 节定理 3 nm ex ey完全的 因此 nm ex ey是完全规范正交系 证毕 8 设 12 n e eeL为内积空间X规范正交系 证明 X到 12 n span e eeL的投影算子P 为 1 n vv v Pxx e exX 则Y是X的闭子空间 XYY 对任意xX 12 xxx 其中 12 xY xY 因 1 n i i e 是Y的完全的规范正交系 因此 1 1 n vv v xx e e 由投影算子定义 1 1 n vv v Pxxx e e 证毕 9 设X为可分为Hilbert空间 证明X中任何规范正交系至多为可数集 证明 倘若X的一个规范正交系 e 可数不是可数集 则任意 222 2eeee X是可分的 则存在X的可数稠密子集 1 n n x 因 不可数 则必有某 N x 及 使 2 2 N xe 2 2 N xe 这样2 NN eexexe 此与2ee 矛盾 证毕 10 设X是内积空间 X 是它的共轭空间 z f 表示 上线性范函 z fxz 若若X到到X 的映射 的映射 z Fzf 是一一到上的映射是一一到上的映射 则则X是是Hilbert空间空间 证明证明 设设 1 n n z 是是X中柯西列中柯西列 有有 nm zznmnm ffxxzzxzz 可知可知 1 n z n f 是是X 中柯西列 中柯西列 因因X 是完备的 是完备的 因此有因此有xX 使使 n z fxn 设设 z xf 其中其中 zX 设设sup n n zM 则则 2 nmnm nnnzznnzz zzzzzzffzzzzff 0 nm zz Mzffn 这就证明了这就证明了X是完备的内积空间是完备的内积空间 即即 为为Hilbert空间空间 证毕证毕 11 设设X和和Y为为Hilbert空间空间 A是是X到到Y中的有界线性算子中的有界线性算子 A和和 A 分别表示算子分别表示算子A的零空间和值域的零空间和值域 证明证明 A A A A AA AA 证明证明 设设 xA 则则0Ax 这样若这样若yY A yA 必有必有 0 x A yAx y 所以所以x A 设设x A 则对任意则对任意yY 0Ax yx A y 由由y的任意性可的任意性可 推得推得0Ax 即即 xA 以 上 证 明 了以 上 证 明 了 AA 用用A 代 替代 替A可 得可 得 AAA 同时同时 AA 以下证明以下证明 AA 首先首先 由由 AA 可知可知 AA 从而从而 AA A 又设又设 yA 12 yyy 其中其中 12 yAyA 对任意对任意xX 22 0A yxyAx 所 以所 以 2 0A y 即即 2 yA 这 样这 样 21222 0 y yyyyy 即即 2 0y 于是于是 1 yyA 这样我们就证明了这样我们就证明了 AA 用用A 代替代替A又可得又可得 AA 证毕证毕 12 设设T是是Hilbert空间空间X中的有界线性算子中的有界线性算子 1T 证明证明 x Txx x T xx 证明证明 若若Txx 则则 2 xTx xx T x x T x 2 x 因此因此 x T xx T x 由第一节引理由第一节引理 1 T x 与与x线性相关线性相关 设设 T xx 由由 x T xx x 可 得可 得1 即即T xx 这 样这 样 x Txxx T xxx Txxx Txx 即即 x Txx x T xx 证毕证毕 13 设设H为为Hilbert空间空间 M是是H的闭子空间的闭子空间 0 xH 证明证明 00 minmax 1xxxMxyyMy 证明证明 设设 012 xxx 其中其中 1 xM 2 xM 因为因为 1 xM 所以所以 又又 对任意对任意xM 22 012 xxxxx 222 122 xxxx 所以所以 02 minxxxMx 这就证明了这就证明了 0 minxxxM 2 x 又对任意的又对任意的yM 1y 01222 xyxyxyxyx 若若 2 0 x 则则 02 max 10 xyyMyx 若若 2 0 x 则 令则 令 2 2 1 x yy x 22 0122 22 xx xyxxx xx 因 此 又 有因 此 又 有 02 max 1xyyMyx 即即 0 max 1xyyMy 0 minxxxM 证毕证毕 14 设设H是是Hilbert空间空间 M是是H的闭子空间的闭子空间 则则M为为H上某个非零连上某个非零连 续线性范函的零空间的续线性范函的零空间的 充要条件是充要条件是M 是一维子空间 是一维子空间 证明证明 若若M是非零连续线性范函的零空间是非零连续线性范函的零空间 则存在则存在yH 0y 对对 每个每个xM 使使 0fxx y 因此因此 My 即即 Mspan y 是是 一维子空间一维子空间 反之反之 若若M 是由非零元是由非零元y生成的一维子空间生成的一维子空间 令令 fxx y 则则 fx 0的充要条件是的充要条件是xy 即即 xMM 所以所以M是非零连是非零连 续线性范函续线性范函f的零空间的零空间 证毕证毕 15 设T为Hilbert空间X上正常算子 TAiB 为T的笛卡儿分解 证明 1 2 22 TAB 2 2 2 TT 证明 1由 22 TTTT AB i 及T TTT 得 22 44 TTTTTTTT ABTT 所以 2 22 ABT TT 2 22 4 222 TTTT TT 即 22 TT 证毕 16 证明 A是实内积空间X上的自伴算子时 0A 的充要条件是对所有xX 成立 0Ax x 证明 0A 时 显然对任意 x yX 由y的任意性 0Ax 又由x的任意性 0A 证毕 17 设U是Hilbert空间 2 0 2L 中如下定义的算子 2 0 2 it Ufte f tfL 证明 U是酉空间 证明 对任意 2 0 2f gL 有 2 0 it