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皮克公式的证明 例题 如下图所示四边形 请求出它的面积 解 法一S 1 2 4 3 3 2 3 1 2 4 1 31 2 法二 记a为四边形内所含的网格点数 b为边界上的网格点数 则a 14 b 5S a b 2 1 31 2 皮克公式 如果一个多边形的顶点全是网格的交叉点 格点 即此多边形为网格多边形 记多边形内部的格点数为a 边界上的格点数为b 则面积s a b 2 1 想一想 皮克公式该如何证明呢 首先探索矩形中的情况如下图 观察得 即 又有 即 综上可得 则 故皮克公式对于矩形成立 由皮克公式在矩形中成立 下证在直角三角形中皮克公式也成立如下图 对于直角三角形ABC 可以构造出矩形ABCD 记边AC上有格点数L 边AB长为M BC长为N 因为矩形内格点数a M 1 N 1 则三角形ABC内有格点数a1 M 1 N 1 L 2边界上的格点数为 b1 M N 1 L三角形ABC的面积s1 M N 2故s1 a1 b1 2 1因此皮克公式成立在上图中 L 0 带入公式显然成立 下证对于一般三角形皮克公式成立 对于普通三角形AEF 过其三个顶点作矩形ABCD 如下图所示 记矩形的边长为M N 设 于是有 S S1 S2 S3 M N a a1 a2 a3 b 3 M 1 N 1 b b1 b2 b3 2 b 2 M N 则 2得 s a b 2 s1 a1 b1 2 s2 a2 b2 s3 a3 b3 3 1又因为三角形ADE CEF ABF为直角三角形 所以 中的式子的值都等于 1因此有s a b 2 1 即一般三角形中皮克公式也成立 最后证明对于一般形式的具有n个格点的多边形 皮克公式成立由于任一个n个格点的多边形都可以分割成许多个格点三角形 且每个格点三角形都满足皮克公式 综上所述 皮克公式对于任意边格点多边形都成立 练习题运用皮克公式解下列格点形的面积 解 六边形的内格点数a 4 边界上的格点数b 8面积s a b 2 1 4 8 2 1 7答 六边形的面积为7 回顾总结 在本节课探索皮克公式的过程中 从矩形直角三角形一般三角形n边格点形 最终我们证出了皮克公式 这就是一个从特殊到一般的过程 我们还补充了数学归纳法这一证明
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