矩阵与线性方程组.ppt

第四章矩阵与线性方程组 4 1矩阵的概念 4 2矩阵的运算 4 3矩阵的初等行变换与矩阵的秩 4 4用初等行变换求解线性方程组 4 1矩阵的概念 4 1 1矩阵的定义4 1 2阶梯型矩阵4 1小结 4 1 1矩阵的概念的引例 4 1 1矩阵的定义 4 1 2阶梯型矩阵 4 1小结 4 2矩阵的运算 4 2 1矩阵的加法运算4 2 2矩阵数乘运算4 2 3矩阵的乘法运算4 2 小结 4 2 2数乘矩阵 4 2 3矩阵的乘法运算 4 2小结 矩阵的加法运算注意 只有行数和列数都相同的两个矩阵才能相加 数与矩阵的乘法运算注意 数与矩阵的乘法和数与行列式的乘法运算不同 矩阵与矩阵的乘法运算注意 当且仅当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时 乘法AB才有意义 4 3矩阵的初等变换与矩阵的秩 4 3 1矩阵的初等行变换4 3 2矩阵的秩4 3小结 4 3 1矩阵的初等行变换 4 3 2矩阵的秩 4 3小结 矩阵的初等变换 矩阵的秩的概念 求矩阵秩的方法初等行变换法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 4 4用初等行变换求解线性方程组 4 1非齐次线性方程组的消元解4 2线性方程组解的判定4 小结 设含有 个未知量 有 个方程式组成的方程组 4 4 1非齐次线性方程组的消元解法 其中系数 常数都是已知数 是未知量 也称为未知数 当右端常数项 不全为0时 称方程组 4 4 1 为非齐次线性方程组 当 时 称为齐次线性方程组 即 4 4 1消元法 由个数 组成的一个有序数组 如果将它们依次替代方程组 4 4 1 中的 后 4 4 1 中的每个方程都变成恒等式 则称这个有序数组均为方程组 4 4 1 的一个解 显然由 组成的有序数组是齐次线性方程组 4 4 2 的一个解 称之为齐次线性方程组 4 4 2 的零解 而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时 称之为非零解 4 4 1消元法 非齐次线性方程组 4 4 1 的矩阵表示形式为 4 4 1消元法 4 4 3 称为方程组 4 4 1 的系数矩阵 未知矩阵 为常数矩阵 将系数矩阵和常数矩阵放在一起构成的矩阵 4 4 1消元法 称为方程组 4 4 1 的增广矩阵 齐次线性方程 4 4 2 的矩阵表示形式为 其中 例1写出线性方程组 的增广矩阵和矩阵形式 4 4 1消元法 解 增广矩阵为 方程组的矩阵形式是 即 定理4 1如果用初等行变换将增广矩阵化成 则方程组与是同解方程组 4 4 1消元法 记 则可逆 即存在 说明也是方程组的解 由此可知 方程组与的解相同 即它们是同解方程组 4 4 1消元法 说明也是方程组的解 消元法 高斯消元法 用初等行变换将方程组 4 4 1 的增广矩阵化成阶梯形矩阵 再写出该阶梯形矩阵所代表的方程组 逐步回代 求出方程组的解 因为它们为同解方程组 所以也就得到了原方程 4 4 1 组的解 4 4 1消元法 例2解线性方程组 解先写出增广矩阵 再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵 即 4 4 1消元法 4 4 1消元法 4 4 1消元法 最后一个增广矩阵表示的线性方程组为 将最后一个方程乘 再将项移至等号的右端 得 4 4 1消元法 将其代入第二个方程 解得 再将 代入第一个方程 解得 因此 方程组 4 4 4 的解为 其中可以任意取值 4 4 5 4 4 1消元法 显然 只要未知量任意取定一个值 如 代入表示式 4 4 5 可以得到一组相应的值 从而得到方程组 4 4 4 的一个解 4 4 1消元法 由于未知量的取值是任意实数 故方程组 4 4 4 的解有无穷多个 由此可知 表示式 4 4 5 表示了方程组 4 4 4 的所有解 表示式 4 4 5 中等号右端的未知量称为自由未知量 用自由未知量表示其他未知量的表示式 4 4 5 称为方程组 4 4 4 的一般解 当表示式 4 4 5 中的未知量取定一个值 如 得到方程组 4 4 4 的一个解 如 称之为方程组 4 4 4 的特解 4 4 1消元法 注意 自由未知量的选取不是唯一的 如例2也可以将取作自由未知量 即在 中将最后一个方程乘 再将项移至等号的右端 得 4 4 1消元法 将其代入第二个方程 解出后 再将 代入第一个方程 解出 最后可得方程组 4 4 4 的一般解为 其中是自由未知量 4 4 6 4 4 1消元法 如果将表示式 4 4 5 中的自由未知量取一任意常数 即令 那么方程组 4 4 4 的一般解为 其中为任意常数 4 4 1消元法 用矩阵形式表示为 4 4 7 其中为任意常数 称表示式 4 4 7 为方程组 4 4 4 的全部解 4 4 1消元法 用消元法解线性方程组的过程中 当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后 要写出相应的方程组 然后再用回代的方法求出解 如果用矩阵将回代的过程表示出来 我们可以发现 这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化 使其最终化成一个特殊的矩阵 从这个特殊矩阵中 就可以直接解出或 读出 方程组的解 4 4 1消元法 例如 对例2中的阶梯形矩阵进一步化简 即 4 4 1消元法 上述矩阵对应的方程组为 4 4 1消元法 将此方程组中含的项移到等号的右端 就得到原方程组 9 1 4 的一般解 即 其中是自由未知量 4 4 1消元法 例3解线性方程组 解利用初等行变换 将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵 再求解 即 4 4 1消元法 4 4 1消元法 所以 方程组的一般解为 4 4 1消元法 例4解线性方程组 解因为 4 4 1消元法 阶梯形矩阵的第三行 所表示的方程为 由该方程可知 无论 取何值 都不能满足这个方程 所以 原方程组无解 4 4 1消元法 例5解线性方程组 4 4 1消元法 解因为