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文档简介

隔板法 隔板法又称隔墙法 插板法 是处理名额分配 相同物体的分配等排列组合问题的重要方法 隔板法就是在n个元素间的 n 1 个空中插入若干个 b 个板 可以把n个元素分成 b 1 组的方法 应用隔板法必须满足三个条件 1 这n个元素必须相同 2 所分成的每一组至少分得一个元素 3 分成的组别彼此相异 一 将n件相同物品 或名额 分给m个人 或位置 每人 或位置 必须有物品问题例如 某校组建一球队需16人 该校共10个班级 且每个班至少分配一个名额 共有几种情况 解 C 16 1 10 1 C 15 9 1816214400种 归纳 练习 将20个优秀学生名额分给18个班 每班至少1个名额 有多少种不同的分配方法 二 将n件相同物品 或名额 分给m个人 或位置 允许若干个人 或位置 为空的问题 例2 将10个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子 允许有盒子为空 但球必须放完 有多少种不同的方法 分析 本题中的小球大小形状完全相同 故这些小球没有区别 问题等价于将小球分成三组 允许有若干组无元素 用隔板法 归纳 练习 把8个相同的球放入4个不同的盒子 有多少种不同方法 应用 1 1 12个相同的小球放入编号为1 2 3 4的盒子中 问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种 2 12个相同的小球放入编号为1 2 3 4的盒子中 每盒可空 问不同的放法有多少种 3 12个相同的小球放入编号为1 2 3 4的盒子中 要求每个盒子中的小球数不小于其编号数 问不同的放法有多少种 解 1 将12个小球排成一排 中间有11个间隔 在这11个间隔中选出3个 放上 隔板 这样每一种隔板的插法 就对应了球的一种放法 即每一种从11个间隔中选出了3个间隔的组合对应于一种放法 所以不同的放法有C 11 3 165 种 2 由隔板法可知 C 15 3 455种 3 解法一 用 1 的处理问题的方法 将1个 2个 3个小球放入编号为2 3 4的盒子中 将余下的6个小球放在4个盒子中 每个盒子至少一个小球 据 1 有C 5 3 10 种 解法 2 用 2 的处理问题的分法 将1个 2个 3个 4个小球分别放在编号为1 2 3 4的盒子中 将余下的2个小球放在四个盒子中 每盒允许有空盒 据 2 有C 5 3 10 种 隔板法 1 4个相同的球放入3个不同的盒子中 不允许出现空盒有多少种不同的方法 2 某市从8个中学的篮球队中选12人组成该市的中学生篮球代表队 每校至少一人参加 名额分配方案共有多少种 3 从5个学校选出8名学生组成代表团 每校至少有一人的选法种数是多少 4 变式 多面手问题 例 翻译8人 其中3人只会英语 2人只会日语 还有3人英语 日语都会 现从这8个人中选取3名英语 2名日语翻译 有多少种不同的选法 练习 在10名工人中
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