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第九章第九章解析几何 9 4 直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 专题 1 直线与圆的位置 关系 2015河北石家庄高三质检二 直线与圆的位置关系 选择题 理 8 若圆 x 5 2 y 1 2 r2 r 0 上有且 仅有两点到直线 4x 3y 2 0的距离等于 1 则实数 r 的取值范围为 A 4 6 B 4 6 C 5 7 D 5 7 解析 利用圆的几何性质求解 因为圆心 5 1 到直线 4x 3y 2 0 的距离为 5 又圆上有且仅 20 3 2 5 有两点到直线 4x 3y 2 0的距离为 1 则 4 rb 0 的两个焦 2 2 2 2 点分别为 F1 F2 设 P 为椭圆上一点 F1PF2的外角平分线所在的直线为 l 过点 F1 F2分别作 l 的垂线 垂足分别为点 R S 当 P 在椭圆上运动时 R S 所形成的图形的面积为 解析 结合椭圆的概念 利用角平分线的对称性求解 延长 F1R 交 F2P 的延长线于点 R 则 F1R RR F1P PR 所以 R F2 R P PF2 F1P PF2 2a 因为 R O 分别是 F1R F1F2的中点 所 以 OR a 同理可得 OS a 因此 R S 的轨迹是以原点 O 为圆心 以 a 为半径的圆 其方程为 x2 y2 a2 故 R S 所形成的图形的面积为 a2 答案 a2 专题 2 椭圆的几何性 质 2015江西师大附中 鹰潭一中 宜春中学高三联考 椭圆的几何性质 选择题 理 11 已知椭圆 C 2 2 1 a b 0 的左右焦点为 F1 F2 若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P 使得 F1F2P 为等腰三角形 2 2 则椭圆 C的离心率的取值范围是 A B 1 3 2 3 1 2 1 C D 2 3 1 1 3 1 2 1 2 1 解析 满足题意的点 P可以是短轴的两个端点 由对称性 考虑点 F1是相应的等腰三角形的顶点 则有 PF1 F1F2 2c PF2 2a 2c PF1 F1F2 PF2 即有 4c 2a 2c且 a 2c 否则 若 a 2c 则满足题意的 点 P 有且仅有两个 因此所求的椭圆的离心率的取值范围是 故选 D 1 3且 1 2 1 3 1 2 1 2 1 答案 D 2015江西九校高三联考 椭圆的几何性质 选择题 理 11 已知椭圆 1 a b 0 上一点 A 关于 2 2 2 2 原点的对称点为点 B F 为其右焦点 若 AF BF 设 ABF 且 则该椭圆离心率 e的取值范 6 4 围为 A B 2 2 3 1 2 2 1 C D 2 2 3 2 3 3 6 3 解析 记椭圆的左焦点为 F1 连接 AF1 BF1 则有四边形 AFBF1是矩形 AF 2csin AF1 2ccos 该椭 圆的离心率 e 2 1 1 sin cos 1 2sin 4 由 得 sinsin e 故 6 4 4 5 12 2 4 6 2 4 1 2 4 3 1 2 2 2 2 3 1 选 A 答案 A 专题 3 直线与椭圆的位置 关系 2015河北保定一模 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 已知椭圆 1 a b 0 的短轴长为 2 离心率为 过右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 P Q 两点 2 2 2 2 2 2 1 求椭圆的方程 2 在线段 OF 上是否存在点 M m 0 使得 0 若存在 求出 m 的取值范围 若不 存在 请说明理由 解 1 由椭圆短轴长为 2得 b 1 又 e a 2 1 2 2 2 所求椭圆方程为 y2 1 2 2 2 假设在线段 OF上存在点 M m 0 0 m 1 使得 0 成立 即 2 2 0 或 当 l x轴时 显然线段 OF 上的点都满足条件 此时 0 m 1 当 l与 x 轴重合时 显然只有原点满足条件 此时 m 0 当 l的斜率存在且不为零时 设直线 l 的方程为 y k x 1 k 0 点 P x1 y1 Q x2 y2 由得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 2 2 2 2 1 x1 x2 x1x2 4 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 x1 m y1 x2 m y2 其中 x2 x1 0 x1 x2 2m y1 y2 x2 1 y2 y1 0 x1 x2 2m x2 x1 y1 y2 y2 y1 0 x1 x2 2m k y1 y2 0 k2 0 2k2 2 4k2 m 0 m k 0 4 2 1 2 2 2 4 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 0 m 1 2 综上所述 当 l x轴时 存在 0 m 1 适合题意 当 l与 x 轴重合时 存在 m 0 适合题意 当 l的斜率存在且不为零时 存在 0 mb 0 的上顶 2 2 2 2 点为 A P是 C 上的一点 以 AP 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F 4 3 3 1 求椭圆 C的方程 2 动直线 l与椭圆 C 有且只有一个公共点 问 在 x轴上是否存在两个定点 它们到直线 l 的距离之积 等于 1 如果存在 求出这两个定点的坐标 如果不存在 请说明理由 解 1 F c 0 A 0 b 由题设可知 0 c2 c 0 4 3 2 3 又点 P 在椭圆 C 上 1 a2 2 16 9 2 2 9 2 又 b2 c2 a2 2 联立 解得 c 1 b2 1 故所求椭圆的方程为 y2 1 2 2 2 当直线 l的斜率存在时 设其方程为 y kx m 代入椭圆方程 消去 y整理得 2k2 1 x2 4kmx 2m2 2 0 方程 有且只有一个实根 又 2k2 1 0 所以 0 得 m2 2k2 1 假设存在 M1 1 0 M2 2 0 满足题设 则 d1 d2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1对任意的实数 k恒成立 所以解得 1 2 1 1 2 0 1 1 2 1或 1 1 2 1 当直线 l的斜率不存在时 经检验符合题意 综上所述 存在两个定点 M1 1 0 M2 1 0 使它们到直线 l 的距离之积等于 1 2015河北衡水中学二模 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 已知椭圆 1 a b 0 的离心 2 2 2 2 率为 且过点 2 2 2 2 1 求椭圆的标准方程 2 四边形 ABCD 的顶点在椭圆上 且对角线 AC BD 过原点 O 若 kAC kBD 2 2 求的最值 求证 四边形 ABCD 的面积为定值 解 1 由题意知 e 1 又 a2 b2 c2 2 2 4 2 2 2 解得 a2 8 b2 4 椭圆的标准方程为 1 2 8 2 4 2 设直线 AB的方程为 y kx m 设 A x1 y1 B x2 y2 联立得 1 2k2 x2 4kmx 2m2 8 0 2 2 2 8 4km 2 4 1 2k2 2m2 8 8 8k2 m2 4 0 1 2 4 1 2 2 1 2 2 2 8 1 2 2 kOA kOB 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y1y2 x1x2 1 2 1 2 2 2 8 1 2 2 2 4 1 2 2 又 y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 k2 km m2 2 2 8 1 2 2 4 1 2 2 2 8 2 1 2 2 2 4 1 2 2 2 8 2 1 2 2 m2 4 m2 8k2 4k2 2 m2 x1x2 y1y2 2 2 2 8 1 2 2 2 4 1 2 2 2 4 1 2 2 4 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 2 2 4 2 当 k 0 此时 m2 2满足 式 即直线 AB 平行于 x轴时 取最小值为 2 又直线 AB 的斜率不存在时 2 的最大值为 2 证明 设原点到直线 AB的距离为 d 则 S AOB AB d x2 x1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 2 4 2 2 8 1 2 2 2 64 2 2 16 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 S四边形 ABCD 4S AOB 8 2 即四边形 ABCD 的面积为定值 2015江西九校高三联考 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 已知椭圆 C1 抛物线 C2的焦点均在 x轴上 从两条曲线上各取两个点 将其坐标混合记录于下表中 x 22 69 y 3 2 1 3 1 求椭圆 C1和抛物线 C2的标准方程 2 过椭圆 C1右焦点 F 的直线 l 与此椭圆相交于 A B两点 若点 P 为直线 x 4 上任意一点 试证 直线 PA PF PB的斜率成等差数列 若点 P 在 x轴上 设 2 1 求 取最大值时的直线 l 的方程 解 1 设抛物线方程为 y2 mx 分别将四个点代入解得 m m 1 m m 1 3 2 6 6 故抛物线方程为 y2 x 点 2 和 9 3 在抛物线上 因此 3 1 两个点为椭圆 C1上两点 设椭圆方程为 1 226 2 2 2 2 将上述两个点坐标代入解得 a2 8 b2 4 故椭圆方程为 1 2 8 2 4 2 证明 设 AB x ty 2 代入 x2 2y2 8 0 消去 x 可得 t2 2 y2 4ty 4 0 y1 y2 y1y2 不妨令 P 4 y0 则有 kPA kPB 4 2 2 4 2 2 0 1 2 1 0 2 2 2 y0 2kPF 4 0 2 0 1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1 2 直线 PA PF PB的斜率成等差数列 且 0 2 4 2 2 2 抛物线 C2 x2 4 y b 过点 F 0 b 1 作 x 轴的平行线 与抛物线 C2在第一象限的交点为 G 且该抛物线 在点 G处的切线经过坐标原点 O 1 求椭圆 C1的方程 2 设直线 l y kx与椭圆 C1相交于 C D 两点 其中点 C 在第一象限 点 A 在椭圆 C1的右顶点 求四边形 ACFD面积的最大值及此时 l 的方程 解 1 由 x2 4 y b 得 y x2 b 令 y b 1 得 x 2 1 4 G点的坐标为 2 b 1 则 y x y x 2 1 1 2 过点 G的切线方程为 y b 1 x 2 即 y x b 1 令 y 0 得 x 1 b 0 b 1 椭圆的方程为 y2 1 2 4 2 依题意有 k 0 设 C xC kxC 由得 1 4k2 x2 4 0 2 4 2 1 xC 2 1 4 2 S四边形 ACFD S CFD S CDA OF 2xC OA 2kxC 2 1 k xC 4 1 2 1 2 4 1 1 4 2 1 2 1 4 2 令 t 1 k k t 1 t 1 0 1 1 则 1 2 1 4 2 1 5 1 2 8 1 4 5 4 当且仅当 t k 时 等号成立 5 4 1 4 S四边形 ACFD 2 四边形 ACFD 面积的最大值为 2 55 此时 l的方程为 y x 1 4 2015江西南昌二模 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 已知圆 C1 x2 y2 r2 r 0 的一条直径是 椭圆 C2 1 a b 0 的长轴 过椭圆 C2上一点 D的动直线 l与圆 C1相交于点 A B 弦 AB长 2 2 2 2 1 3 2 的最小值是 3 1 求圆 C1和椭圆 C2的方程 2 椭圆 C2的右焦点为 F 过点 F 作两条互相垂直的直线 m n 设直线 m 交圆 C1于点 P Q 直线 n 与椭 圆 C2交于点 M N 求四边形 PMQN 面积的取值范围 解 1 当 l垂直于 OD 时 AB 最小 因为 OD 所以 r 2 1 9 4 13 2 13 4 3 2 2 因为圆 C1 x2 y2 r2 r 0 的一条直径是椭圆 C2的长轴 所以 a 2 又点 D在椭圆 C2 1 a b 0 上 2 2 2 2 所以 1 b 1 4 9 4 2 3 所以圆 C1的方程为 x2 y2 4 椭圆 C2的方程为 1 2 4 2 3 2 椭圆 C2的右焦点 F 的坐标是 1 0 当直线 n 垂直于 x轴时 PQ 2 MN 4 3 四边形 PMQN的面积 S 4 3 当直线 n 垂直于 y轴时 PQ 4 MN 3 四边形 PMQN的面积 S 6 当直线 n 不垂直于坐标轴时 设 n 的方程为 y k x 1 k 0 此时直线 m 的方程为 y x 1 1 圆心 O到直线 m 的距离为 d 1 2 1 所以 PQ 2 2 2 2 4 2 3 2 1 将直线 n 的方程代入椭圆 C2的方程得到 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0 MN 1 2 8 2 4 2 3 2 4 4 2 12 4 2 3 所以四边形 PMQN的面积 S PQ MN 4 1 2 64 4 4 2 3 16 2 48 48 2 4 2 3 48 3 6 4 1 4 3 2 1 3 综上 四边形 PMQN 的面积的取值范围是 6 4 3 2015江西赣州高三摸底考试 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 20 已知椭圆 E 1 a b 0 2 2 2 2 的焦距为 2 A 是 E 的右顶点 P Q 是 E 上关于原点对称的两点 且直线 PA 的斜率与直线 QA 的斜率之 积为 3 4 1 求 E 的方程 2 过 E 的右焦点 F作直线与 E 交于 M N 两点 直线 MA NA 与直线 x 3 分别交于 C D 两点 设 ACD 与 AMN的面积分别记为 S1 S2 求 2S1 S2的最小值 解 1 设 P x0 y0 Q x0 y0 则 a2 2 0 2 2 2 0 kPA kQA 依题意有 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 3 4 又 c 1 所以解得 a2 4 b2 3 故 E 的方程为 1 2 4 2 3 2 设直线 MN 的方程为 x my 1 代入 E 的方程得 3m2 4 y2 6my 9 0 设 M x1 y1 N x2 y2 则 y1 y2 y1y2 6 3 2 4 9 3 2 4 直线 MA的方程为 y x 2 1 1 2 把 x 3 代入得 yC 1 1 2 1 1 1 同理 yD 2 2 1 所以 CD yC yD 3 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 所以 S1 CD 1 2 3 2 2 1 S2 AF y1 y2 1 2 6 2 1 3 2 4 令 t t 1 则 m2 t2 1 2 1 所以 2S1 S2 3t 6 3 2 1 记 f t 3t 则 f t 3 0 6 3 2 1 6 3 2 1 3 2 1 2 所以 f t 在 1 上单调递增 所以 f t 的最小值为 f 1 故 2S1 S2的最小值为 3 2 3 2 2015河北石家庄高三质检一 直线与椭圆的位置关系 解答题 理 21 定长为 3 的线段 AB 的两个端 点 A B 分别在 x轴 y轴上滑动 动点 P 满足 2 1 求点 P 的轨迹曲线 C 的方程 2 若过点 1 0 的直线与曲线 C 交于 M N 两点 求的最大值 解 1 设 A x0 0 B 0 y0 P x y 由 2得 x y y0 2 x0 x y 即 2 0 0 2 0 3 2 0 3 又因为 9 所以 3y 2 9 2 0 20 3 2 2 化简得 y2 1 故点 P的轨迹方程为 y2 1 2 4 2 4 2 当过点 1 0 的直线为 y 0 时 2 0 2 0 4 当过点 1 0 的直线不为 y 0 时 可设直线方程为 x ty 1 A x1 y1 B x2 y2 联立化简得 t2 4 y2 2ty 3 0 2 4 2 1 1 则 4t2 12 t2 4 16t2 48 0 恒成立 由韦达定理得 y1 y2 y1y2 2 2 4 3 2 4 所以 x1x2 y1y2 ty1 1 ty2 1 y1y2 t2 1 y1y2 t y1 y2 1 t2 1 t 1 3 2 4 2 2 4 4 4 2 1 2 4 4 2 4 17 2 4 17 2 4 当 t 0时 max 1 4 综上所述 的最大值为 1 4 9 6 双曲线双曲线 专题 1 双曲线的定义与标准 方程 2015江西南昌二模 双曲线的定义与标准方程 填空题 理 16 过原点的直线 l 与双曲线 C 2 2 2 2 1 a 0 b 0 的左 右两支分别相交于 A B 两点 F 0 是双曲线 C 的左焦点 若 FA FB 4 3 0 则双曲线 C 的方程是 解析 如图所示 设双曲线的右焦点为 F2 0 连接 F2A F2B 由双曲线的对称性和 0 知四边形 3 AFBF2为矩形 由 FA FB 4 得 FA AF2 4 又因为 FA AF2 2a 所以 FA 2 a F2A 2 a 由 F2A 2 FA 2 2 a 2 2 a 2 2 2 得 a2 2 b2 1 所以双曲线的方程为 y2 1 3 2 2 答案 y2 1 2 2 专题 2 双曲线的几何性 质 2015河北保定一模 双曲线的几何性质 填空题 理 13 双曲线 2x2 y2 1 的离心率为 解析 由题设知 a2 b2 1 所以 e 1 2 1 2 1 2 3 答案 3 2015河北石家庄二中一模 双曲线的几何性质 选择题 理 11 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 2 2 2 2 右焦点分别为 F1 F2 P 为双曲线上任一点 且的最小值的取值范围是 则该双曲线 1 2 3 4 2 1 2 2 的离心率的取值范围为 A 1 B 2 C 1 D 2 222 命题立意 本题考查双曲线的几何性质 平面向量数量积的坐标运算 难度中等 解析 设 P m n 则 1 即 m2 a2 又 F1 c 0 F2 c 0 所以 c m n c m n 所 2 2 2 2 1 2 2 1 2 以 c m n c m n m2 n2 c2 a2 n2 c2 n2 a2 c2 a2 c2 当且仅当 n 0 时取 1 2 1 2 2 1 2 2 等号 由题意得 c2 a2 c2 c2 即 e2 1 e2 e2 解得 2 e2 4 所以 e 2 故选 B 3 4 1 2 3 4 1 2 2 答案 B 2015河北衡水中学二模 双曲线的几何性质 选择题 理 11 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 2 2 2 2 为 F 2 0 设 A B 为双曲线上关于原点对称的两点 AF 的中点为 M BF 的中点为 N 若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上 直线 AB 的斜率为 则双曲线的离心率为 37 7 A B C 2D 4 35 解析 设点 A x0 y0 在第一象限 原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上 OM ON 又 M N 分别为 AF BF的中点 AF BF 即在 Rt ABF中 OA OF 2 直线 AB 的斜率为 x0 y0 代入双 37 7 7 2 3 2 曲线 1 中得 1 又 a2 b2 4 解得 a2 1 b2 3 双曲线的离心率为 2 故选 C 2 2 2 2 7 4 2 9 4 2 答案 C 2015河北石家庄高三质检二 双曲线的几何性质 填空题 理 13 双曲线 4x2 y2 1 的渐近线方程 为 解析 利用双曲线的基本量求解 因为双曲线 y2 1 a b 1 所以渐近线方程为 y x 2x 即为 2 1 4 1 2 2x y 0 答案 2x y 0 2015江西南昌一模 双曲线的几何性质 选择题 理 7 以坐标原点为对称中心 两坐标轴为对称轴的 双曲线 C的一条渐近线的倾斜角为 则双曲线 C 的离心率为 3 A 2或B 2 或C D 2 3 23 3 23 3 解析 对焦点所在的轴进行讨论 由题意可得双曲线的一条渐近线方程为 y x 当双曲线的焦点在 x 3 轴上时 此时离心率 e 2 当双曲线的焦点在 y 轴上时 3 2 2 2 1 2 3 1 3 此时离心率 e 所以双曲线 C 的离心率为 2 或 故选 B 2 2 2 1 2 1 1 3 23 3 23 3 答案 B 2015江西赣州高三摸底考试 双曲线的几何性质 选择题 理 4 已知双曲线 x2 1 的两条渐近线的 2 夹角为 60 且焦点到一条渐近线的距离大于 则 b 2 2 1 A 3B C D 1 3 3 3 3 解析 双曲线的两条渐近线方程为 y x 设焦点 c 0 到一条渐近线的距离为 1 2 即有 解得 b 1 设过第一 三象限的渐近线的倾斜角为 则 tan 1 所以 45 2 2 1 于是由题意知 60 所以 tan 即 b 3 故选 A 3 答案 A 9 7 抛物线抛物线 专题 1 抛物线的定义与标准 方程 2015河北唐山一模 抛物线的定义与标准方程 选择题 理 3 已知抛物线的焦点 F a 0 a 0 则抛物 线的标准方程是 A y2 2axB y2 4ax C y2 2axD y2 4ax 解析 先通过抛物线的焦点位置 确定抛物线标准方程的形式 然后再求未知参数 p 的值 因为抛物线的 焦点为 F a 0 a0 则 p 2a 所以抛物线的标准方程为 y2 4ax 故选 B 答案 B 专题 2 抛物线的几何性 质 2015河北石家庄一模 抛物线的几何性质 选择题 理 9 已知抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 恰好是双 曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点 两条曲线的交点的连线过点 F 则双曲线的离心率为 2 2 2 2 A B C 1 D 1 2332 解析 因为抛物线的焦点 F恰好是双曲线的焦点 所以 c 根据两条曲线的对称性可知 两条曲线的公 2 共弦是它们公共的通径 而抛物线的通径长度为 2p 双曲线的通径长度为 则 4c 即 c2 a2 2ac 2 2 2 2 所以 e2 2e 1 0 e 1 e 1 故选 D 2 答案 D 2015河北唐山一模 抛物线的几何性质 选择题 理 10 F是双曲线 C 1 a 0 b 0 的右焦点 2 2 2 2 过点 F 向 C的一条渐近线引垂线 垂足为 A 交另一条渐近线于点 B 若 2 则 C 的离心率是 A B 2C D 2 23 3 14 3 解析 由题意得 OA BA 且 2AF BF 过点 F 作 OB 的垂线 垂足为点 C 则 CF AF 在 Rt BCF 中 BF 2CF 所以 CBF 30 则 AOB 60 BOF AOB 30 所以 tan30 则 1 2 3 3 2 2 2 e2 e 故选 C 1 3 4 3 23 3 答案 C 2015河北石家庄高三质检一 抛物线的几何性质 选择题 理 4 已知双曲线 1 a R 的右焦点 2 2 2 4 与抛物线 y2 12x的焦点重合 则该双曲线的离心率为 A B C D 3 5 53 3 5 3 35 5 解析 由题意得抛物线的焦点坐标为 3 0 所以 a2 4 9 解得 a 则双曲线的离心率 e 故选 5 35 5 D 答案 D 专题 3 直线与抛物线的位置 关系 2015江西师大附中 鹰潭一中 宜春中学高三联考 抛物线的几何性质 解答题 理 20 已知抛物线 E y2 2px p 0 的准线与 x 轴交于点 K 过点 K 作圆 C x 2 2 y2 1 的两条切线 切点为 M N MN 42 3 1 求抛物线 E 的方程 2 设 A B是抛物线 E上分别位于 x轴两侧的两个动点 且 其中 O 为坐标原点 9 4 求证 直线 AB必过定点 并求出该定点 Q 的坐标 过点 Q作 AB 的垂线与抛物线交于 G D 两点 求四边形 AGBD 面积的最小值 解 1 由已知得 K C 2 0 2 0 设 MN与 x轴交于点 R 由圆的对称性可知 MR 22 3 于是 CR 2 2 1 3 所以 CK 3 即 2 3 p 2 sin sin 2 故抛物线 E 的方程为 y2 4x 2 证明 设直线 AB的方程为 x my t A B 2 1 4 1 2 2 4 2 联立得 y2 4my 4t 0 则 y1 y2 4m y1y2 4t 2 4 由 y1y2 y1y2 18 或 y1y2 2 舍去 9 4得