最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第三章导数及其应用 (7).pdf

第三章第三章导数及其应用 3 2 导数与函数的单调性 极值 最值导数与函数的单调性 极值 最值 专题 2 导数与函数的极 值 2015甘肃省兰州一中三模 导数与函数的极值 选择题 理 11 函数 f x x a ex在区间 2 3 内没有极 值点 则实数 a 的取值范围是 A 3 4 B 3 4 C 3 D 4 解析 f x x a ex f x x 1 a ex 函数 f x x a ex在区间 2 3 内没有极值点 x 1 a 0 或 x 1 a 0在区间 2 3 内恒成立 即 a x 1 或 a x 1 在区间 2 3 内恒成立 a 3或 a 4 故实数 a 的取值范围是 3 4 答案 A 专题 3 导数与函数的最 值 2015甘肃省兰州一中三模 导数与函数的最值 解答题 理 21 已知函数 f x aln x x2 a 为实数 1 求函数 f x 在区间 1 e 上的最小值及相应的 x值 2 若存在 x 1 e 使得 f x a 2 x 成立 求实数 a 的取值范围 解 1 f x alnx x2的定义域为 1 e f x 2x 当 x 1 e 时 2x2 2 2e2 若 a 2 f x 在 1 e 上非负 仅当 a 2 x 1 时 f x 0 故 f x 在 1 e 上单调递增 此时 f x min f 1 1 若 2e2 a 2 令 f x 0 解得 1 x0 解得 x e 此时 f x 单调递增 f x min fln 若 a 2e2 f x 在 1 e 上非正 仅当 a 2e2 x e时 f x 0 故 f x 在 1 e 上单调递减 此时 f x min f e a e2 综上所述 得 a 2 时 f x min 1 相应的 x 1 当 2e2 a 2 时 f x min ln 相应的 x 当 a 2e2时 f x min a e2 相应的 x e 2 不等式 f x a 2 x可化为 a x lnx x2 2x x 1 e lnx 1 x且等号不能同时成立 lnx0 因而 a x 1 e 令 g x x 1 e 则 g x 当 x 1 e 时 x 1 0 lnx 1 x 2 2lnx 0 从而 g x 0 仅当 x 1时取等号 g x 在 1 e 上是增函数 故 g x min g 1 1 实数 a 的取值范围是 1 3 3 导数的综合应用导数的综合应用 专题 3 利用导数解决不等式的有关问题 2015河南省洛阳市高考数学二模 利用导数解决不等式的有关问题 解答题 理 21 已知函数 f x ax xln a a 1 g x b x2 e 为自然对数的底数 1 当 a e b 5时 求整数 n 的值 使得方程 f x g x 在区间 n n 1 内有解 2 若存在 x1 x2 1 1 使得 f x1 g x2 f x2 g x1 e 成立 求实数 a 的取值范围 解 1 令 F x f x g x ax xlna x2 b 当 a e b 5时 F x ex x x2 5 F x ex 1 3x 当 x 0 时 F x 0 则 F x 在 0 上为增函数 当 x 0 时 F x 0 则 F x 在 0 上为减函数 而 F 0 4 F 1 e 0 F 1 0 又 F x 在 1 2 2 1 上分别连续且单调 F x 在 1 2 2 1 内分别有一个零点 即方程 f x g x 在区间 1 2 2 1 内分别有一个解 综上所述 当 n 1 或 n 2时 方程 f x g x 在区间 n n 1 内有解 2 若存在 x1 x2 1 1 使得 f x1 g x2 f x2 g x1 e 成立 即存在 x1 x2 1 1 使得 f x1 g x1 f x2 g x2 e 即存在 x1 x2 1 1 使得 F x1 F x2 e 即 F x max F x min e 成立 x 1 1 F x axlna lna 3x 3x ax 1 lna 当 x 0 时 由 a 1 得 ax 1 0 lna 0 故 F x 0 当 x 0 时 F x 0 当 x1 得 ax 10 故 F x 1 设 h a a 2lna a 0 则 h a 1 0 当且仅当 a 1时 等号成立 h a 在 0 上为增函数 而 h 1 0 故当 a 1 时 h a h 1 0 F 1 F 1 故 F 1 F 0 e 化简可得 a lna e lne 且易知 m a a lna 在 1 上是增函数 故 a e 即实数 a 的取值范围为 e 2015河南省六市高考数学二模 利用导数解决不等式的有关问题 解答题 理 21 已知函数 f x 其 中 k R e 2 718 28 是自然数的底数 f x 为 f x 的导函数 1 当 k 2时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若 x 0 1 时 f x 0 都有解 求 k 的取值范围 3 若 f 1 0 试证明 对任意 x 0 f x 0 f 1 f 1 在点 1 f 1 处的切线方程为 y x 1 即为 y x 2 解 f x 0 即 0 即有 k 令 F x 由 0 x 1 F x 0 g x e 2 1等价为 1 x xlnx e 2 1 由 h x 1 x xlnx 得 h x 2 lnx 当 0 x0 h x 递增 当 x e 2时 h x 0 时 x 0 x 0 x 0 0 则 x 0时 x ex x 1 0 即 1 即 1 x xlnx e 2 10 f x 恒成立 2015甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟 利用导数解决不等式的有关问题 解答题 理 21 已知函数 f x ln x 1 1 证明 f x 0 2 若当 x 0 f x ax2恒成立 求实数 a 的取值范围 1 证明 由题意得函数的定义域为 1 f x 当 x 1 0 时 f x 0 此时 f x 为增函数 所以 f x min f 0 0 所以 f x 0 在定义域内恒成立 2 解 由已知得 ln x 1 ax2 0 当 x 0 时恒成立 令 h x ln x 1 ax2 x 0 则 h x 2ax 当 a 0 时 显然 h x 0恒成立 所以 h x 在定义域内递增 而 f e 1 lne a e 1 2 a e 1 2 0 故 a 0不符合题意 当 2a 1 即 a 时 因为 x 0 故 x 1 2 1 所以 1 2a x 1 2 0 故此时 h x 0 恒成立 所以 h x 在定义域内递减 所以 h x max h 0 0 所以此时 h x 0 在定义域内恒成立 故此时 f x ax2恒成立 所以 a 符合题意 当 0 a0 当 x 时 h x 0 故此时 h x 递增 当 x 时 h x 0时 f x 1 恒成立 求 a 的取值范围 3 求证 ln x 1 n N 1 解 当 a 时 f x x 1 令 f x 0 可得 x1 得 a x 2 x 2 ln x 1 记 g x x 2 1 ln x 1 则 g x 1 ln x 1 ln x 1 当 x 0 时 g x 0 g x 在 0 递减 又 g x max g 0 2 1 ln1 2 g x 0 a 2 3 证明 由 2 知 ln x 1 1 x 0 ln x 1 取 x 得 ln 即 ln ln ln ln ln 专题 4 定积分在物理中的应 用 2015甘肃省张掖市高考数学 4 月模拟 定积分在物理中的应用 填空题 理 14 设 x y满足约束 条件则 M x y 所在平面区域的面积为 解析 作出不等式组对应的平面区域如图 由