高等数学下总复习.pdf

第十二章1 第第8章章 0224 03102 0123 1 的位置关系的位置关系 与与 zyx zyx zyx L C 直线在平面上直线在平面上垂直垂直 不垂直不垂直相交相交平行 平行 DC BA 复习全部概念复习全部概念 第十二章2 1 求的定义域 求的定义域 2 22 3arcsin yx yx yxf 解解 0 13 2 22 yx yx 2 22 42 yx yx 所求定义域为所求定义域为 42 222 yxyxyxD 第第9章章 2 yxfyxyyxyxf则则 2 2 xyx 2 第十二章3 1 1 y x y z 1 x xyz 1 3 1 已知已知 则 则 1 1 0 arcsin x fxyyxf则则 2 已知已知 cos sin arctan 4 dt dz tytxxyz 则则 tt t 22 cossin1 2cos 第十二章4 5 1 在点在点 1 2 处的全微分处的全微分 22 ln 2 yxz yxzd 5 2 d 5 1 d 2 1 1 1 1 处的全微分处的全微分在在 x y ez dydx 3 的全微分的全微分 zy e y xu 2 sin 解解 ud xd1 y y d cos 22 1 zey zy d zy ez 第十二章5 32 32sin 2 1 6 y z x z yxzzzyxzyx 求求 确定确定设设 1 3 y z x z yxfzxyze z 求求所确定所确定 022 4 y z x z xyzzyx 求求 ln 2 y z x z yxfz y z z x 求求确定确定设设 z x F F x z z y F F y z zx z 2 zxy z 第十二章6 5 设设04 222 zzyx 求 求 2 2 x z 解 令解 令 4 222 zzyxzyxF 则则 2xFx 42 zFz 2z x F F x z z x 两边对两边对 x 求偏导求偏导 2 2 2 z x xx z 2 2 2 z x z xz 3 22 2 2 z xz 第十二章7 y y x fu tsf du 7 1 设函数设函数 其中其中 一阶偏导数 则一阶偏导数 则 具有连续的具有连续的 1 1 f y dx 2 f 1 2 f y x dy 2 y z y x z xyxzz xyzfdttfxf z xy 则 则 确定确定可微 方程可微 方程设设 0 3 22 y yxf x yxf yxyxyxf 则则 yx 第十二章8 4 设设f x y 具有连续偏导数具有连续偏导数 0 z y z x f yx zz 求求 已知方程已知方程 z x F F x z 解解 z y z x fzyxF 令令 z y F F y z 21 2 fyfx fz 21 1 fyfx fz z f 1 1 1 f 2 z x 2 f 2 z y z f 1 2 2 2 2 1 z y f z x f 则则 第十二章9 6 已知已知 z y z x 可微函数 求可微函数 求 y z y x z x z 7 2 2 yx z f gyxfxyxgz 求 求具有二阶连续导数具有二阶连续导数 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设 22212 2 2gxyggxf yx z 5 2 x y fxz 2 x y f x z 2 x y fx f f x y 2 2 2 x y 第十二章10 8 dufxyzxyxfu可微 求可微 求 解将三个中间变量按顺序编号为解将三个中间变量按顺序编号为1 2 3 则 则 dz z u dy y u dx x u du dxfyzfyf 321 dyfxzfx 32 dzfxy 3 第十二章11 多元 关系多元 关系 偏导数存在偏导数存在 可微可微 偏导数连续偏导数连续 连续连续 第十二章12 yxfz yx y z x z 8 1 在点在点 该点的偏导数该点的偏导数 A 充分条件充分条件 B 充要条件充要条件 C 必要条件必要条件 D 不是充分条件也不是必要条件不是充分条件也不是必要条件 存在的存在的 可微分是在可微分是在 yxfz yx y z x z yxfz 2 在点的偏导数在点的偏导数存在是存在是 A 充分条件充分条件 B 充要条件充要条件 C 必要条件必要条件 D 不是充分条件也不是必要条件不是充分条件也不是必要条件 在该点可微的在该点可微的 C A 3 yxfz A 有定义 有定义 B 极限存在 极限存在 C 连续 连续 D 可微 可微 在点在点 x y 处偏导数存在的必要条件是处偏导数存在的必要条件是 它在点它在点 x y 处处 A 第十二章13 zyxF53 222 zyx 1 1 1 zyxZyx FFFn 2 2 6 53 zyx 11 3 1 zy x 切平面方程 切平面方程 法线方程 法线方程 解 设解 设 53 222 zyx9 1 求椭求椭球球面面 的切平面的切平面及及法线方程分法线方程分别别为为 在点在点 1 1 1 处处 1 1 1 2 3 2 法平面方程为法平面方程为 的切线方程为的切线方程为在点在点曲曲线线 tz ty tx 3 1 2 1 1 1 zyx 632 zyx 第十二章14 3 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 3 的切向量为的切向量为 在点在点 则曲线 则曲线 附近有定义 且附近有定义 且在在设设 f y yxfz f fyxf y x 1343 1 1 1 23 4 2 baazyx bazyx 则则方程为方程为 点的切平面点的切平面在在要使曲面要使曲面 3 031 5 切平面方程是切平面方程是 的的上平行于平面上平行于平面曲面曲面 zyxxyz 0 1 2 3 zyxDzyxC zyxBzyxA A 第十二章15 1 22 yxz 6 旋转抛物面旋转抛物面 的切平面为的切平面为 在点在点 2 1 4 处处 0624 zyx xmzmxy 22 2 000 zyx 2 1 1 00 zy m 7 曲曲线线在点在点 处的切处的切向向量为量为 bz ay ax sin cos 0 0 a 8 求求螺旋螺旋线线 在点在点 处的切线处的切线及及法平面方程法平面方程 azby ax 0 bzay 第十二章16 9 求求3 xyze z 在点在点 2 1 0 处的切平面处的切平面 解解 3 xyzezyxF z 所以曲面在点所以曲面在点 2 1 0 处切平面方程为处切平面方程为 2 1 x 042 yx即即 法线方程法线方程 012 zyx 1 2 y0 0 0 z 120 令令 0 1 2 0 1 2 zyx FFFn 0 2 1 0 1 2 y x1 z e 即即 0 2 1 1 2 z yx 第十二章17 上求一点上求一点 使该点处的法线垂直于使该点处的法线垂直于 10 在曲面在曲面 yxz 093 zyx并写出该法线方程并写出该法线方程 提示提示 设所求点为设所求点为 000 zyx则法线方程为则法线方程为 000 zzyyxx 利用利用 1 1 31 00 xy 得得3 1 3 000 zyx 平面平面 0 y 0 x 1 000 yxz 法线垂直法线垂直于于平面平面 点在点在曲曲面上面上 1 3 3 1 1 3 zyx 故故法线方程法线方程 第十二章18 yxf 00 yx 00 Ayxf xx 00 Byxf xy Cyxf yy 00 yxf 00 yx 0 0 2 AACB0 0 2 AACB 0 0 2 AACB0 0 2 AACB 10 1 设函数设函数在驻点在驻点 的某领域内连续 且有二阶连续偏导数 记的某领域内连续 且有二阶连续偏导数 记 则 则 在驻点在驻点处取得极大值的充分条件为处取得极大值的充分条件为 B C D D A 第十二章19 xyyxxz933 2323 0 1 2 1 0 3 2 3 2 函数函数的极大值点是的极大值点是 B C D A D 0 1 33 3yxxz 3 点点是函数是函数 A 驻点驻点 B 极小值点极小值点 C 极大值点极大值点 D 最小值点最小值点 的一个的一个A 第十二章20 01 2 zxy 222 zyxd 222 zyxs 1 22 xyyxs 02 yxsx 02 xys y 1 0 0 zyx 解 解 问题问题可可归结归结为在为在约束约束条件条件 下下求求距离距离函数函数 它它等价于等价于在在同样同样条件条件下下求函数求函数 的的最小值最小值 令令 解解得得 即即为所求为所求 的的最小值最小值 01 2 zxy11 1 曲曲面面上上距离原距离原点点最近最近的点为的点为 第十二章21 xyz 1 22 yxD 2 求 求在区域在区域上的最值上的最值 x y z 0 0 0 z 上的上的情形情形 再考虑再考虑边边界曲界曲线线12 22 yx 1 22 yx xy yxF 设设 01 02 02 22 yxF yxF xyF y x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 z 2 1 2 1 2 1 z 得驻得驻点点 0 0 令令 得驻得驻点点 或或或或或或 所求所求最大值最大值为为 最小值最小值为为 y x z 解解 1先考虑内先考虑内部部驻驻点的函数点的函数值值 第十二章22 0 4 2 3 22 2222 上的最值上的最值 在在求求 yyxyxD yxyxyxf 0 0 0 8 2 0 ff最小值最小值最大值最大值 第十二章23 22 yxz 4 求旋转抛物面求旋转抛物面与平面与平面 之间的最短距离之间的最短距离 提示提示 22 6 1 zyxd 设为设为抛物抛物面上面上任任一点 一点 则则 P zyxP 22 yxz 的的距离距离为为022 zyx 问题归结问题归结为为 min 22 2 zyx 约束约束条件条件 0 22 zyx 目标目标函数函数 22 zyx 作拉格朗日作拉格朗日函数函数 22 222 yxzzyxzyxF 到到平面平面 64 7 第十二章24 1 设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 且且 0 y a a a a a D dr r ddr r dD dr r dC dr r dB dr r dA dxdyxy ayayxyx 则则 D 第十二章28 D yx de 22 1 22 yxD 2 0 1 0 2 dred r 2 0 1 0 2 4 dred r 2 0 1 0 2 2 rdred r 2 0 1 0 2 rdred r 将 其中将 其中 系系下下的二的二次积次积分 其分 其形式形式为为 B C D D 化化为极为极坐标坐标 A 第十二章29 2 0 3 22 1 x x dyyxfdxI sec2 0 3 4 drrrfdI xyx x D yx 3 20 sec20 34 r D r 解解 xy xy3 0 2 x y D 化为极坐标形式的二重积分化为极坐标形式的二重积分 第十二章30 4 交换下列积分顺序交换下列积分顺序 3 1 0 e e y dxyxfdy ex dyyxfdx 1 ln 0 2 1 2 2 2 2 xx x dyyxfdx 1 0 11 2 2 y y dxyxfdy 1 2 1 4 1 2 1 4 1 0 y y y dxyxfdydxyxfdy dyyxfdx x x 2 2 1 0 第十二章31 1 1 5 22 所所围围和和锥锥面面 zyxz zdydxzd 4 1 提示提示 11 0 2 0 zdzddzdydxzd 34 2 2222 所所围围和和zyxyxz zdydxzd 4 13 提示提示 2 2 4 3 3 0 2 0 zdzddzdydxzd 第九章32 3 1 0 2所围 所围和抛物面和抛物面xyyyzz zdydxxzd 提示提示 y D xzdzdxdyzdydxxzd xy 0 y x xzdzdydx 0 11 1 2 0 第九章33 4 1 0 1 22 所所围围 yxzz vdx 提示提示 0 1 22 1 1 yx D dzxdxdyzdydxdx xy xy D dxdyyxx 1 1 22 xy D dxdyyx 1 22 drr d 1 0 2 2 0 3 第九章34 如图如图 为由为由 5 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd 22 xyx2 22 0 0 0 yaazz 所围所围 解解 在柱面坐标系下在柱面坐标系下 cos2 0 2 d dcos 3 4 2 0 3 2 a cos20 2 0 az 0 及平面及平面 2 a x y z o 2 0 d a zz 0 d zzddd 2 原式原式 2 9 8 a 柱面柱面 cos2 成半圆柱体成半圆柱体 xy D 第十二章35 解法一 解法一 22 6yxz 22 yxz 4 22 yx 4 22 yxD dyxyxV D 6 2222 3 32 2 0 2 0 2 6 rdrrrd 6 6 2222 所所围围的的体积体积和和由由yxzyxz 3 32 第十二章36 解法二 解法二 dvV xy D 2222 6yxzyx 22 22 6yx yx dz xy D dxdy 4 22 yx 2 0 d 2 0 rdr 2 6 r r dz 3 32 2 0 2 0 2 6 rdrrrd 第十二章37 1 7 表示为表示为 二重积分二重积分则该曲面的面积可以用则该曲面的面积可以用投影域为投影域为 上的上的在坐标平面在坐标平面 光滑曲面 光滑曲面 D xoyyxfz 1 22 dxdyff D yx 0 2 2222222 内内的面的面