论数学实验的教学价值.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 论数学实验的教学价值 276300 山东沂南教育局 李树臣 全日制义务教育 数学课程标准 实验稿 以下 简称 标准 指出 有效的数学学习活动不能单纯地依 靠模仿与记忆 动手实践 自主探索与合作交流是学生 学习数学的重要方式 可见 改进学生的数学学习方式 是 标准 所倡导的改革目标之一 数学教学应该倡导积 极主动 勇于探索的学习方式 长期的教学实践证明 合 理设计数学实验 可以较好地帮助我们实现这一目标 本文就数学实验的有关问题谈谈笔者的看法 以促进教 师更好地进行数学教学改革 1 对数学实验的一些认识 数学实验是教师根据表现某一数学问题的各种元 素创设的一个问题情境 在这一情境下 学生通过观察 操作 实践 试验等活动 自己发现问题 提出问题 验证 问题 总结新结论 显然数学实验是数学学习的一种方 式 这种学习方式 不是让学生被动地接受教科书上或 教师讲授的现成结论 而是让学生从自己已有的 数学 经验 出发 通过动手 动脑去获得新的数学经验 逐步 构建并完善 发展自己的数学认知结构 数学实验有四个显著特点 1 数学实验追求的不仅仅是对数学命题的逻辑论 证 更重要的是理解命题的形成过程 2 数学实验追求的是对知识的再发现和创新过 程 3 数学实验追求的是解决问题的数学精神 4 数学实验追求的是求实和创新精神 2 数学实验的教学价值 标准 指出 学生的数学学习内容应当是现实的 有意义的 富有挑战性的 这些内容要有利于学生主动 地进行观察 实验 猜测 验证 推理与交流等数学活 动 这就要求我们在具体的教学过程中 重视数学实验 教学 下面结合具体案例的分析 就加强数学实验教学 的价值进行概括与总结 2 1 运用实物模型深化对数学概念的理解 数学来源于实践 数学概念是对现实世界中的数量 关系和空间形式的概括和反映 有些数学概念是从现实 生活 生产实际中抽象出来的 对于这些概念的教学要 通过一些感性材料 创设抽象与概括的情景 引导学生 提炼数学概念的本质属性 案例1 数轴概念的教学 教科书七 上 第二章第 2节 温度计是数轴的实物原型之一 教科书七年级上册 第二章第2节 数轴 就是从标有刻度的温度计来表示 温度这一情境出发 用 实验与探究 栏目引导学生通过 与温度计类比 对数轴有一个形象的感知 从而认识数 轴 利用温度计模型建立数轴概念分两步 一是要求学 生在水平放置的温度计上填写温度数 二是进一步抽象 用直线代替温度计填写温度数 进而建立数轴的概念 由温度计上的0点 单位和方向类比出数轴上的原点 单位长度和方向 给出数轴的定义 温度计必须有0 类似地 数轴上规定一个点为原点 温度计上0 以上为 正 0 以下为负 类似地 数轴上规定从原点向右为正 方向 相反方向为负方向 温度计上每小格都是均匀刻 画的 类似地 数轴上选择适当的长度为单位长度 创设这类数学概念形成的问题情境一定要遵循认 知规律 从感性到理性 从具体到抽象 通过学生熟悉的 实际例子 恰当地设计一些问题 引导学生进行思考与 探索 让他们经过比较 分类 抽象等思维活动 从中找 出一类事物的本质属性 最后通过概括得出新的数学概 念 2 2 通过实验操作体验知识的形成过程 传统的数学教学基本模式是 复习 引入新课 重 难点讲解 练习巩固 布置作业 认为教材内容就是 知识发生发展的全过程 在研究教材时 没有对教材内 容前后的本质联系进行系统的整理 导致的教学过程就 是照本宣科 这样的教学掩盖 湮没了数学发现 数学创 造 数学真实应用的思维活动 抑制了学生的探索 发 现 创新思想的形成 学生学到的只能是死的数学知识 标准 在刻画数学知识技能时除使用了 了解 认 识 理解 掌握 灵活运用 等目标性动词外 还首次使 用了 经历 感受 体验 体会 探索 等刻画数学活动 水平的过程性动词 这足以说明数学教学重视知识形成 过程的重要性和必要性 教师应设法把教学内容进行深 加工 通过二次改造 按照 问题情境 建立模型 求 解 应用和拓展 的思路去指导学生进行积极的探索 让 同学们在经历观察 试验 猜测 验证 推理与交流的过 程中 体验数学知识的形成过程 1 教学论坛 2009年第11期 初中版 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 案例2 确定圆的条件的探索过程 教科书九 上 第四章第2节 对于知识 不在同一条直线上的三个点确定一个 圆 教科书是引导学生通过实验操作得到的 具体操作 要求如下 1 在纸上作出一个点A 经过点A作圆 你能作出 多少个 2 在纸上作出两个点A与B 经过点A B作圆 你 能作出多少个 这些圆的圆心在哪里 3 在纸上作出三个点A B C 如果A B C三点不 在同一直线上 那么经过这三点能作出一个圆吗 如果 能 怎样作出经过这三点的圆 经过这三点的圆的圆心 在哪里 经过这三点可以作出多少个圆 图1 图2 图3 学生在动手操作 1 时得到的结论是经过一个点可 以作出无数个圆 如图1 学生在动手操作 2 时得到的结论是经过两个点可 以作出无数个圆 如图2所示 这些圆的圆心在同一条 直线上 即图2中的虚线所在的直线 这条直线就是过 已知两点构成的线段的垂直平分线 发现这一点非常重 要 为解决问题 3 做了铺垫 学生在研究第 3 个问题时 可能有一定的困难 教 师可用下面的问题进行提示引导 师 假如经过不在同一直线上的三点A B C的 O 已经作出 则圆心O到A B C三点的距离是怎样的 生 相等 师 到A B两点的距离相等的点在哪里 生 在线段AB的垂直平分线上 师 到B C两点的距离相等的点在哪里 生 在线段BC的垂直平分线上 师 怎样确定出经过A B C三点的圆的圆心 生 先作出线段AB的垂直平分线 再作出线段BC 的垂直平分线 其交点就是圆心 至此 学生已经能独立作出经过不在同一直线上的 A B C三点的圆 而且发现这个圆是唯一的 如图3所 示 这样的实验过程恰好经历了确定圆的条件的探索 过程 学生在实验的同时也经历了知识的形成过程 对 其理解深刻 记忆长久 真正明确了知识的 来龙去脉 学生通过实验获得知识远比教师直接教授给他们的知 识要有意义得多 也符合 标准 的理念 正如布鲁纳提 出的那样 我们教一门科目 并不是希望学生成为该科 目的一个小型书库 而是要他们参与获得知识的过程 学习是一种过程 而不是结果 学会学习 本身比 学 会什么 更重要 2 3 通过实验操作概括数学知识 有些数学知识 可通过数学实验直接获得 学生在 动手实验的基础上 既能从中发现数学原理 还能体验 到问题的结论和方法之间的精彩过程 以已有的知识和 经验为基础进行积极 和谐 的建构过程 把新的学习内 容正确地纳入到已有的认知结构中去 案例3 等腰三角形的性质 教科书八 上 第一章 第4节 等腰三角形的性质是在学习了轴对称图形 线段和 角的对称性的基础上安排的 教科书是让学生通过下面 的实验得到的 如图4 用纸剪一个等腰三角形ABC 将三角形对 折 使它的两腰AB与AC重合 记痕迹与底边BC的交点 为D 把纸展开后铺平 思考下面的问题 图4 1 等腰三角形ABC是轴对 称图形吗 2 BAD与 CAD相等吗 为什么 3 B与 C相等吗 为什 么 4 折痕所在直线AD与底边 BC有什么位置关系 5 线段BD与线段CD的长相等吗 6 你能总结一下折痕所在直线AD具有的性质吗 学生通过剪纸 折叠 观察 思考等探究活动 在以 上6个问题的引导下 自主发现并概括出等腰三角形的 轴对称性及 两个底角相等 三线合一 等重要性质 这是今后证明角相等 线段相等及两条直线互相垂直的 重要依据 案例4 不等式性质的发现 教科书八 上 第六章 第1节 关于不等式的三条性质 教科书都是通过提供一些 能引导学生进行观察 尝试 思考 概括 交流等活动的 实验素材得到的 对于不等式的性质1 教科书是这样引 2 2009年第11期 初中版 教学论坛 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 导的 观察不等式5 3和 4 b a b都是正 数 如图5所示 分别画两条 线 段AB和CD 使AB a厘米 CD b厘米 延长AB 到E 延长CD到F 使BE和DF都等于c厘米 这时线 段AE和CF的长分别是多少厘米 这两条线段中哪条 较长 这说明了什么 学生在具体的操作过程中 通过观察和思考上面的 问题 顺利地概括出不等式的基本性质1 基本性质 2和3也是这样安排的 不等式的性质是学生经过自己 的实验得到的 在概括出性质的同时 他们能体验到学 习的成功 从而提高学习的积极性 激发其探索的欲望 再如 三角形中位线 梯形中位线定理等都可以通 过实验获得 类似这样的一些数学知识 教师千万不要 把知识直接 塞 给学生 否则 就会出现 教师抛得快 学生忘得更快 的情形 因此 学习数学的最好方法是做 数学 让学生经历数学知识的形成与应用过程 这样既 发展了学生的思维能力 理解能力与创造能力 又能将 新知识与已有知识有机的结合起来 还能发现新的解 证 题思路 增强学生学习的主动性和创新性 2 4 通过实验操作发现和验证数学规律 标准 在阐述关于学习内容的要求时指出 能通过 观察 实验 归纳 类比等获得数学猜想 并进一步寻求 论据 给出证明或举出反例 这就告诉人们数学实验能 加强对学生推理能力的训练 在数学教学中 可以将某 些知识 如多边形的内 外角和公式等 的教学过程设计 为实验探索的过程 让学生自己发现这些规律 在设计 时 注重合情推理 遵循从特殊到一般 从简单到复杂的 规律 案例5 有趣的 切饼问题 教科书九 下 第五章 第7节 切饼问题是一个有趣的问题 安排在学习完二次函 数的图象和性质及二次函数解析式的内容之后 为引导 学生利用已经学过的有关知识自己探索得到相应的结 论 可以设计下面的问题 让学生去实验 1 如图6 一块烙饼切一刀可以切成两块 切两刀 最多可以切成4块 切三刀最多可以切成7块 图6 如果切四刀 切五刀 最多能切成几切 切n刀呢 用S表示切n刀最多可以切成的块数 请完成下表 n012345 S 2 以表中的对应数据为坐标点 描出S与n之间 的函数关系所对应的图象 生 如图7 建立直角坐标系 横轴表示切的刀数n 纵轴表示最多可切成的块数S 描出表中的各点 0 1 1 2 2 4 3 7 4 11 5 16 显然 经过这些点的图象是一条抛物线的一部分 图7 3 猜想S与n之间的函 数关系是怎样的 生 S是n的二次函数 4 求出S与n之间的函 数关系式 生 设S与n之间的函数 关系式为S an 2 bn c 把图 象上的三点 0 1 1 2 2 4 分别代入该式 可以求出c 1 a 1 2 b 1 2 所以S与n之间的函数关系式为 S 1 2 n 2 1 2 n 1 n为正整数 5 其它的n与S的对应值是否满足这个解析式 呢 你能举例验证吗 生 取n 4时 把n 4代入上式 得S 7 符合规 律 n 5时也符合 教师总结 事实上 当n 4时 切的刀数和最多可 以切成的块数也满足上述规律 至于严格的证明 同学 们将会在今后的学习中得到解决 大部分数学规律都有直观的背景 教师通过设置一 定的问题情境 引导学生进行数学实验 他们在具体的 实验过程中 能了解到规律的形成与发展 以及与其他 问题的联系 学生多经历这种先通过合情推理探索到数 学结论 再运用演绎推理加以证明的实验过程 对培养 他们的数学能力是非常有益的 这样安排也是符合课程 改革理念的 2 5 通过实验操作获得重要的数学定理 数学定理是用数学推理的方法证明其正确性的真 3 教学论坛 2009年第11期 初中版 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 命题 他们在数学学习中有着广泛的应用 通过实验操 作获得数学定理的教学价值是非常大的 案例6 勾股定理的发现过程 教科书八 上 第五 章第2节 勾股定理不仅有着广泛的应用 还导致了无理数的 产生 勾股定理及无理数的发现都是人类文化遗产中宝 贵的一部分 对于这个定理我们可以用下面的问题引导 学生进行实验探究 1 用硬纸板剪8个如图8所示的同样大小的直角 三角形 设直角三角形的直角边分别为a和b 斜边为c 2 如图9和10所示 在白纸上画出两个边长均为 a b 的正方形 3 如图9所示 将已经剪出的4个直角三角形 摆 放在第一个正方形内 4 如图10所示 将另外的4个直角三角形 摆放 在第二个正方形内 图8 图9 图10 观察图9与10 图中小正方形 的面积之间 有什么关系 同学们都能得到下面的结论 a 2 b 2 c 2 这个结论 就是通常所说的勾股定理 显然 这个定理是同学们通 过实验操作自己发现的 而且在探索的过程中 还感受 到了数形结合的思想 获得数学活动的经验 这个定理 的逆定理也可以通过实验操作得到 2 6 通过实验操作形成学生的估算意识 现实生活与社会生产中存在的大量数据并不都是 严格意义下的精确计算 更多的是属于估算与近似计算 的范畴 因此 估算在日常生活与数学学习中有着广泛 的应用 培养学生的估算习惯 提高学生的估算能力 让 学生具备良好的数感 对于学生数学素养的提高 有着 重要的意义 案例7 估算能力的培养 七年级上册7 1节 为了引出 估算 的概念 感受到学习估算的必要 性 逐步培养他们的估算意识 我们借助实验操作创设 问题情境 引发学生思考与探索 用 实验与探究 栏目 引导学生进行折纸活动 取一张报纸 将它对折 再对折 你估计最多能将它 折几次 并提出两个问题让学生思考与探究 1 你能将它对折8次吗 为什么 2 如果能将一张报纸连续对折30次 你估计它的 厚度是多少 教科书中列式子估计出将一张报纸连续对折30次 后的厚度将是100千米 这个厚度将超过珠穆朗玛峰的 海拔高度11倍之多 这显然是不可能的 3 数学实验教学的一般过程 从以上的几个案例可以看出 数学实验教学的一般 过程可以分为以下几个阶段 3 1 实验设计 教师针对要学习的内容 提出一