传热学第五版课后习题答案.pdf

1 传热学习题传热学习题传热学习题传热学习题 建工版建工版建工版建工版 V V V V 0 140 140 140 14 一大平板一大平板 高高 3m3m3m3m 宽宽 2m2m2m2m 厚厚 0 2m0 2m0 2m0 2m 导热系数为导热系数为 45W m K 45W m K 45W m K 45W m K 两侧表面温度分别为两侧表面温度分别为 w1w1w1w1 t150 Ct150 Ct150 Ct150 C 及及 w1w1w1w1 t285 Ct285 Ct285 Ct285 C 试求热流密度计热流量 试求热流密度计热流量 解 根据付立叶定律热流密度为 解 根据付立叶定律热流密度为 2 2 2 2 w2w1w2w1w2w1w2w1 21212121 tttttttt285150285150285150285150 qgradt 4530375 w m qgradt 4530375 w m qgradt 4530375 w m qgradt 4530375 w m xx0 2xx0 2xx0 2xx0 2 负号表示传热方向与负号表示传热方向与 x x x x轴的方向相反 轴的方向相反 通过整个导热面的热流量为 通过整个导热面的热流量为 qA3 0 3 7 5 32 1 8 2 2 5 0 W qA3 0 3 7 5 32 1 8 2 2 5 0 W qA3 0 3 7 5 32 1 8 2 2 5 0 W qA3 0 3 7 5 32 1 8 2 2 5 0 W 0 150 150 150 15 空气在一根内经空气在一根内经 50mm50mm50mm50mm 长 长 2 52 52 52 5 米的管子内流动并被加热 已知空气的平均温度为米的管子内流动并被加热 已知空气的平均温度为 85858585 管壁 管壁 对空气的对空气的 h 73 W mh 73 W mh 73 W mh 73 W m k k k k 热流密度 热流密度 q 5110w q 5110w q 5110w q 5110w mmmm 是确定管壁温度及热流量是确定管壁温度及热流量 解 热流量解 热流量 qA q dl 5110 3 140 052 5 qA q dl 5110 3 140 052 5 qA q dl 5110 3 140 052 5 qA q dl 5110 3 140 052 5 2005 675 W 2005 675 W 2005 675 W 2005 675 W 又根据牛顿冷却公式又根据牛顿冷却公式 wfwfwfwf h At hA tt q Ah At hA tt q Ah At hA tt q Ah At hA tt q A 管内壁温度为 管内壁温度为 wfwfwfwf q5110q5110q5110q5110 tt85155 C tt85155 C tt85155 C tt85155 C h73h73h73h73 1 11 11 11 1 按按 20202020 时时 铜铜 碳钢碳钢 1 5 C1 5 C1 5 C1 5 C 铝和黄铜导热系数的大小铝和黄铜导热系数的大小 排列它们的顺序排列它们的顺序 隔热保温材料导隔热保温材料导 热系数的数值最大为多少 列举膨胀珍珠岩散料 矿渣棉和软泡沫塑料导热系数的数值 热系数的数值最大为多少 列举膨胀珍珠岩散料 矿渣棉和软泡沫塑料导热系数的数值 解 解 1 1 1 1 由附录由附录 7 7 7 7可知 在温度为可知 在温度为 20202020 的情况下 的情况下 铜 铜 398 398 398 398W mW mW mW m K K K K 碳钢 碳钢 36W m36W m36W m36W m K K K K 铝 铝 237W m237W m237W m237W m K K K K 黄铜 黄铜 109W m109W m109W m109W m K K K K 所以所以 按导热系数大小排列为按导热系数大小排列为 铜 铜 铝 铝 黄铜 黄铜 钢 钢 2 2 2 2 隔热保温材料定义为导热系数最大不超过隔热保温材料定义为导热系数最大不超过 0 120 120 120 12W mW mW mW m K K K K 3 3 3 3 由附录由附录 8 8 8 8得知 当材料的平均温度为得知 当材料的平均温度为 20202020 时的导热系数为时的导热系数为 膨胀珍珠岩散料膨胀珍珠岩散料 0 0424 0 000137t 0 0424 0 000137t 0 0424 0 000137t 0 0424 0 000137t W mW mW mW m K K K K 0 0424 0 000137 0 0424 0 000137 0 0424 0 000137 0 0424 0 000137 20 0 0451420 0 0451420 0 0451420 0 04514W mW mW mW m K K K K 矿渣棉矿渣棉 0 0674 0 000215t 0 0674 0 000215t 0 0674 0 000215t 0 0674 0 000215t W mW mW mW m K K K K 0 0674 0 000215 0 0674 0 000215 0 0674 0 000215 0 0674 0 000215 20 0 071720 0 071720 0 071720 0 0717W mW mW mW m K K K K 由附录由附录 7 7 7 7 知聚乙烯泡沫塑料在常温下知聚乙烯泡沫塑料在常温下 0 035 0 035 0 035 0 035 0 0 0 0 038W m038W m038W m038W m K K K K 由上可知金属是良好的导热材料 由上可知金属是良好的导热材料 而其它三种是好的保温材料 而其它三种是好的保温材料 1 51 51 51 5厚度厚度 为为 0 1m0 1m0 1m0 1m 的无限大平壁 其材料的导热系数的无限大平壁 其材料的导热系数 100W m100W m100W m100W m K K K K 在给定的直角坐标系中 分 在给定的直角坐标系中 分 2 别画出稳态导热时如下两种情形的温度分布并分析别画出稳态导热时如下两种情形的温度分布并分析 x x x x方向温度梯度的分量和热流密度数值的正或负方向温度梯度的分量和热流密度数值的正或负 1 t 1 t 1 t 1 t x 0 x 0 x 0 x 0 400K 400K 400K 400K t t t t x x x x 600K 600K 600K 600K 2 2 2 2 t t t t x x x x 600K 600K 600K 600K t t t t x 0 x 0 x 0 x 0 400K 400K 400K 400K 解 根据付立叶定律解 根据付立叶定律 tttttttttttt qg r a d tijkqg r a d tijkqg r a d tijkqg r a d tijk xyzxyzxyzxyz x x x x t t t t q q q q x x x x 无限大平壁在无内热源稳态导热时温度曲线为直线 并且无限大平壁在无内热源稳态导热时温度曲线为直线 并且 xx0 xx0 xx0 xx021212121 21212121 tttttttttttttttttd ttd ttd ttd t xd xxx0 xd xxx0 xd xxx0 xd xxx0 xx0 xx0 xx0 xx0 x x x x tttttttt q q q q a a a a 1 1 1 1 t t t t x 0 x 0 x 0 x 0 400K 400K 400K 400K t t t t x x x x 600K 600K 600K 600K时时 温度分布如图温度分布如图 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 所示所示 根据式根据式 a a a a 热流密度热流密度 x x x x q 0q 0q 0q 0q 0q 0q 0 说明说明 x x x x 方向上的热流量流向方向上的热流量流向 x x x x的正方向 的正方向 可见计算值的方向也符合热流量由高温传向低温的方向可见计算值的方向也符合热流量由高温传向低温的方向 1 61 61 61 6 一厚度为一厚度为 50mm50mm50mm50mm 的无限大平壁的无限大平壁 其稳态温度分布为其稳态温度分布为 2 2 2 2 t a bxt a bxt a bxt a bx C C C C 式中式中 a 200a 200a 200a 200 C C C C b 2000b 2000b 2000b 2000 C mC mC mC m 若平板导热系数为若平板导热系数为 45w m k 45w m k 45w m k 45w m k 试求试求 1 1 1 1 平壁两侧表面处的热流密度平壁两侧表面处的热流密度 2 2 2 2 平壁中是否有内热平壁中是否有内热 原 为什么 如果有内热源的话 它的强度应该是多大 原 为什么 如果有内热源的话 它的强度应该是多大 解 方法一解 方法一 由题意知这是一个一维由题意知这是一个一维 tttttttt 0 0 0 0 yzyzyzyz 稳态稳态 t t t t 0 0 0 0 常物性导热问题常物性导热问题 导热微分方程导热微分方程 式可简化为 式可简化为 2 2 2 2 v v v v 2 2 2 2 q q q qd td td td t 0 0 0 0 d xd xd xd x a a a a 因为因为 2 2 2 2 t a bxt a bxt a bxt a bx 所以 所以 图 2 5 1 图 2 5 2 3 d td td td t 2 b x2 b x2 b x2 b x d xd xd xd x b b b b 2 2 2 2 2 2 2 2 dtdtdtdt 2 b2 b2 b2 b d xd xd xd x c c c c 1 1 1 1 根据式 根据式 b b b b 和付立叶定律 和付立叶定律 x x x x dtdtdtdt q2bxq2bxq2bxq2bx dxdxdxdx x 0 x 0 x 0 x 0 q0q0q0q0 无热流量 无热流量 2 2 2 2 x x x x q2b 2 2000 450 05 9000 w m q2b 2 2000 450 05 9000 w m q2b 2 2000 450 05 9000 w m q2b 2 2000 450 05 9000 w m 2 2 2 2 将二阶导数代入式 将二阶导数代入式 a a a a 2 2 2 2 3 3 3 3 v v v v2 2 2 2 d td td td t q2b2 2000 45 180000w mq2b2 2000 45 180000w mq2b2 2000 45 180000w mq2b2 2000 45 180000w m dxdxdxdx 该导热体里存在内热源 其强度为该导热体里存在内热源 其强度为 43434343 1 8 10 w m1 8 10 w m1 8 10 w m1 8 10 w m 解 方法二解 方法二 因为因为 2 2 2 2 t a bxt a bxt a bxt a bx 所以是一维稳态导热问题 所以是一维稳态导热问题 dtdtdtdt 2bx2bx2bx2bx dxdxdxdx c c c c 根据付立叶定律根据付立叶定律 x x x x dtdtdtdt q2bxq2bxq2bxq2bx dxdxdxdx 1 1 1 1 x 0 x 0 x 0 x 0 q0q0q0q0 无热流量 无热流量 2 2 2 2 x x x x q2b 2 2000 45 0 05 9000 w m q2b 2 2000 45 0 05 9000 w m q2b 2 2000 45 0 05 9000 w m q2b 2 2000 45 0 05 9000 w m 2 2 2 2 无限大平壁一维导热时无限大平壁一维导热时 导热体仅在边界导热体仅在边界 x 0 x 0 x 0 x 0 及及 x x x x 处有热交换处有热交换 由由 1 1 1 1 的计算结果知导热的计算结果知导热 体在单位时间内获取的热量为体在单位时间内获取的热量为 inx 0 x areaareainx 0 x areaareainx 0 x areaareainx 0 x areaarea qqA0 2b A qqA0 2b A qqA0 2b A qqA0 2b A inareainareainareainarea 2bA0 2bA0 2bA0 2bA0 0 2 Fo 0 2 Fo 0 2 Fo 0 2 书中只计算了第一项 而忽略了后面书中只计算了第一项 而忽略了后面 的项 即的项 即 2 0 2 1 1 1 1Fo FoFoFo 1 1 1 1 1 1 1 1 111111111111 sinsinsinsin x x x x x x x x coscoscoscos sincossincossincossincos e e e e 2 2 2 2 现在保留前面二项 即忽略第二项以后的项 现在保留前面二项 即忽略第二项以后的项 0 x x x x I x 6h II x 6h I x 6h II x 6h I x 6h II x 6h I x 6h II x 6h 其中其中 2 2 1 1 1 1Fo FoFoFo 1 1 1 1 1 1 1 1 111111111111 sinsinsinsinx x x x I x 6h cosI x 6h cosI x 6h cosI x 6h cos sincossincossincossincos e e e e 2 2 2 2 2 2Fo FoFoFo 2 2 2 2 2 2 2 2 222222222222 sinsinsinsinx x x x II x 6h cosII x 6h cosII x 6h cosII x 6h cos sincossincossincossincos e e e e 3 3 3 3 以下计算第二项 以下计算第二项II x 6h II x 6h II x 6h II x 6h 根据根据 Bi 2 5Bi 2 5Bi 2 5Bi 2 5查表查表 3 13 13 13 1 2 2 2 2 3 7262 3 7262 3 7262 3 7262 2 2 2 2 sin0 5519sin0 5519sin0 5519sin0 5519 cos3 72620 8339cos3 72620 8339cos3 72620 8339cos3 72620 8339 a a a a 平壁中心平壁中心 x 0 x 0 x 0 x 0 2 2 2 2 2 2Fo FoFoFo 2 2 2 2 2 2 2 2 222222222222 sinsinsinsin0 0 0 0 II 0m 6h cosII 0m 6h cosII 0m 6h cosII 0m 6h cos sincossincossincossincos e e e e 8 2 2 2 2 2 3 72620 223 72620 223 72620 223 72620 22 0 5519 0 5519 0 5519 0 5519 II 0m 6h II 0m 6h II 0m 6h II 0m 6h 3 7262 0 5519 0 8239 3 7262 0 5519 0 8239 3 7262 0 5519 0 8239 3 7262 0 5519 0 8239 e e e e II 0m 6h 0 0124II 0m 6h 0 0124II 0m 6h 0 0124II 0m 6h 0 0124 从 例从 例 3 13 1 中 知 第一 项中 知 第一 项I 0m 6h 0 9I 0m 6h 0 9I 0m 6h 0 9I 0m 6h 0 9 所 以 忽略 第 二项 时所 以 忽略 第 二项 时 和和 的 相 对误 差 为 的 相 对误 差 为 II 0m 6h 0 0124II 0m 6h 0 0124II 0m 6h 0 0124II 0m 6h 0 0124 1 4 1 4 1 4 1 4 I 0m 6h II 0m 6h 0 9 0 0124 I 0m 6h II 0m 6h 0 9 0 0124 I 0m 6h II 0m 6h 0 9 0 0124 I 0m 6h II 0m 6h 0 9 0 0124 0 0 6h I 0 6h II 0 6h 188 0 90 01248 88 C 0 6h I 0 6h II 0 6h 188 0 90 01248 88 C 0 6h I 0 6h II 0 6h 188 0 90 01248 88 C 0 6h I 0 6h II 0 6h 188 0 90 01248 88 C f f f f t 0m 6h 0m 6ht8 88816 88 C t 0m 6h 0m 6ht8 88816 88 C t 0m 6h 0m 6ht8 88816 88 C t 0m 6h 0m 6ht8 88816 88 C 虽说计算前两项后计算精度提高了 但虽说计算前两项后计算精度提高了 但 16 8816 88 C C C C 和例和例 3 13 1 的结果的结果 1717 C C C C 相差很小 说明计算一相差很小 说明计算一 项已经比较精确 项已经比较精确 b b b b 平壁两侧平壁两侧 x x x x 0 5m 0 5m 0 5m 0 5m 2 2 2 2 2 2Fo FoFoFo 2 2 2 2 2 2 2 2 222222222222 sinsinsinsin0 50 50 50 5 II 0 5m 6h cosII 0 5m 6h cosII 0 5m 6h cosII 0 5m 6h cos sincos0 5sincos0 5sincos0 5sincos0 5 e e e e 2 2 2 2 2 3 72620 223 72620 223 72620 223 72620 22 0 5519 0 5519 0 5519 0 5519 II 0 5m 6h 0 8239 II 0 5m 6h 0 8239 II 0 5m 6h 0 8239 II 0 5m 6h 0 8239 3 7262 0 5519 0 8239 3 7262 0 5519 0 8239 3 7262 0 5519 0 8239 3 7262 0 5519 0 8239 e e e e II 0 5m 6h 0 01II 0 5m 6h 0 01II 0 5m 6h 0 01II 0 5m 6h 0 01 从例从例 3 13 1 中知第一项中知第一项I 0 5m 6h 0 38I 0 5m 6h 0 38I 0 5m 6h 0 38I 0 5m 6h 0 38 所以忽略第二项时所以忽略第二项时 和和 的相对误差为 的相对误差为 II 0 5m 6h 0 01II 0 5m 6h 0 01II 0 5m 6h 0 01II 0 5m 6h 0 01 2 6 2 6 2 6 2 6 I 0 5m 6h II 0 5m 6h 0 38 0 01I 0 5m 6h II 0 5m 6h 0 38 0 01I 0 5m 6h II 0 5m 6h 0 38 0 01I 0 5m 6h II 0 5m 6h 0 38 0 01 0 0 5m 6h I 0 5m 6h II 0 5m 6h 188 0 380 0 5m 6h I 0 5m 6h II 0 5m 6h 188 0 380 0 5m 6h I 0 5m 6h II 0 5m 6h 188 0 380 0 5m 6h I 0 5m 6h II 0 5m 6h 188 0 380 013 9 C 013 9 C 013 9 C 013 9 C f f f f t 0 5m 6h 0 5m 6ht3 9811 9 C t 0 5m 6h 0 5m 6ht3 9811 9 C t 0 5m 6h 0 5m 6ht3 9811 9 C t 0 5m 6h 0 5m 6ht3 9811 9 C 虽说计算前两项后计算精度提高了虽说计算前两项后计算精度提高了 但但 11 911 9 C C C C和例和例 3 13 1 的结果的结果 11 811 8 C C C C 相差很小相差很小 说明计说明计 算一项已经比较精确 算一项已经比较精确 4 44 4 一无限大平壁一无限大平壁 其厚度为其厚度为 0 3m0 3m 导热系数为导热系数为 k mw4 36 平壁两侧表面均给定为第平壁两侧表面均给定为第 三 类 边 界 条 件 即三 类 边 界 条 件 即 k mw60h 2 1 C25tf1 k mw300h 2 2 C215t f2 当平壁中具有均匀内热源 当平壁中具有均匀内热源 35 v m W102q 时 时 试计算沿平壁厚度的稳试计算沿平壁厚度的稳 9 态温度分布态温度分布 提示 取 提示 取 x 0 06mx 0 06m 方法一方法一 数值计算法数值计算法 解 这是一个一维稳态导热问题 解 这是一个一维稳态导热问题 1 1 取步长取步长 x 0 06mx 0 06m 可以将厚度分成五等份可以将厚度分成五等份 共用六个节点共用六个节点 123456123456123456123456 t t t t t tt t t t t tt t t t t tt t t t t t 将平板划将平板划 分成六个单元体分成六个单元体 图中用阴影线标出了节点图中用阴影线标出了节点 2 2 6 6 所在的单元体所在的单元体 用热平衡法计算每个单元的换热量用热平衡法计算每个单元的换热量 从而得到节点方程 从而得到节点方程 节点节点 1 1 因为是稳态导热过程所以因为是稳态导热过程所以 从左边通过对流输入的热流量从左边通过对流输入的热流量 从右边导入的热流量从右边导入的热流量 单元体内热单元体内热 源发出的热流量源发出的热流量 0 0 即 即 21212121 1f11v1f11v1f11v1f11v ttttttttx x x x h A ttAAq0h A ttAAq0h A ttAAq0h A ttAAq0 x2x2x2x2 节点节点 2 2 从左 右两侧通过导热导入的热流量从左 右两侧通过导热导入的热流量 单元体内热源发出的热流量单元体内热源发出的热流量 0 0 1232 323232 v v v v tttttttttttttttt AAAX q0AAAX q0AAAX q0AAAX q0 XXXXXXXX 节点节点 3 3 从左 右两侧通过导热导入的热流量从左 右两侧通过导热导入的热流量 单元体内热源发出的热流量单元体内热源发出的热流量 0 0 2343234323432343 v v v v tttttttttttttttt AAAX q0AAAX q0AAAX q0AAAX q0 XXXXXXXX 节点节点 4 4 从左 右两侧通过导热导入的热流量从左 右两侧通过导热导入的热流量 单元体内热源发出的热流量单元体内热源发出的热流量 0 0 3454345434543454 v v v v tttttttttttttttt AAAX q0AAAX q0AAAX q0AAAX q0 XXXXXXXX 节点节点 5 5 从左 右两侧通过导热导入的热流量从左 右两侧通过导热导入的热流量 单元体内热源发出的热流量单元体内热源发出的热流量 0 0 4565456545654565 v v v v tttttttttttttttt AAAX q0AAAX q0AAAX q0AAAX q0 XXXXXXXX 节点节点 6 6 从左边导入的热流量从左边导入的热流量 从右边通过对流输入的热流量从右边通过对流输入的热流量 单元体内热源发出的热流量单元体内热源发出的热流量 0 0 即 即 10 56565656 2f26v2f26v2f26v2f26v ttttttttx x x x h A ttAAq0h A ttAAq0h A ttAAq0h A ttAAq0 x2x2x2x2 将将 k mw4 36 k mw60h 2 1 C25tf1 k mw300h 2 2 C215t f2 35 v m W102q 和和 x 0 06mx 0 06m 代入上述六个节点并化简得线性方程组 代入上述六个节点并化简得线性方程组 组组 1 1 12121212 t0 91t11 250t0 91t11 250t0 91t11 250t0 91t11 250 132132132132 tt2t19 780tt2t19 780tt2t19 780tt2t19 780 243243243243 tt2t19 780tt2t19 780tt2t19 780tt2t19 780 354354354354 tt2t19 780tt2t19 780tt2t19 780tt2t19 780 465465465465 tt2t19 780tt2t19 780tt2t19 780tt2t19 780 56565656 t1 49t8 410t1 49t8 410t1 49t8 410t1 49t8 410 逐步代入并移相化简得 逐步代入并移相化简得 12121212 t0 91t 11 25t0 91t 11 25t0 91t 11 25t0 91t 11 25 23232323 t0 9174t 28 4679t0 9174t 28 4679t0 9174t 28 4679t0 9174t 28 4679 34343434 t0 9237t 44 5667t0 9237t 44 5667t0 9237t 44 5667t0 9237t 44 5667 45454545 t0 9291t 59 785t0 9291t 59 785t0 9291t 59 785t0 9291t 59 785 56565656 t0 9338t 74 297t0 9338t 74 297t0 9338t 74 297t0 9338t 74 297 66666666 t0 6453t 129 096t0 6453t 129 096t0 6453t 129 096t0 6453t 129 096 则方程组的解为则方程组的解为 1 1 1 1 t417 1895t417 1895t417 1895t417 1895 2 2 2 2 t446 087t446 087t446 087t446 087 3 3 3 3 t455 22t455 22t455 22t455 22 4 4 4 4 t444 575t444 575t444 575t444 575 5 5 5 5 t414 1535t414 1535t414 1535t414 1535 6 6 6 6 t363 95t363 95t363 95t363 95 若将方程组若将方程组组组 1 1 写成 写成 12121212 t0 91t 11 25t0 91t 11 25t0 91t 11 25t0 91t 11 25 213213213213 1 1 1 1 ttt19 78ttt19 78ttt19 78ttt19 78 2 2 2 2 324324324324 1 1 1 1 ttt19 78ttt19 78ttt19 78ttt19 78 2 2 2 2 435435435435 1 1 1 1 ttt19 78ttt19 78ttt19 78ttt19 78 2 2 2 2 546546546546 1 1 1 1 ttt19 78ttt19 78ttt19 78ttt19 78 2 2 2 2 65656565 t0 691t77 757t0 691t77 757t0 691t77 757t0 691t77 757 可用迭代法求解 结果如下表所示 可用迭代法求解 结果如下表所示 迭代次迭代次 数数 节点节点 1 1 1 1 1 1 t t t t 节点节点 2 2 2 2 2 2 t t t t 节点节点 3 3 3 3 3 3 t t t t 节点节点 4 4 4 4 4 4 t t t t 节点节点 5 5 5 5 5 5 t t t t 节点节点 6 6 6 6 6 6 t t t t 0 0200 000200 000300300 000000300300 000000300300 000000300300 000000200200 000000 1 1284 250284 250260 000260 000310 000310 000310 000310 000260 000260 000278 478278 478 2 2247 85247 85307 125307 125294 89294 89294 89294 89304 129304 129257 417257 417 3 3290 734290 734310 898310 898308 898308 898309 400309 400286 044286 044281 250281 250 4 4294 167294 167309 706309 706320 039320 039307 361307 361305 215305 215269 142269 142 5 5293 082293 082316 993316 993318 401318 401322 517322 517298 142298 142281 976281 976 6 6299 714299 714315 635315 635329 645329 645318 162318 162312 137312 137277 244277 244 11 7 7298 478298 478324 570324 570326 789326 789330 781330 781307 593307 593286 608286 608 8 8306 609306 609322 524322 524337 566337 566327 081327 081318 585318 585283 567283 567 9 9304 747304 747331 978331 978334 693334 693337 966337 966315 214315 214290 285290 285 1010313 350313 350329 61329 61344 862344 862334 844334 844324 016324 016288 667288 667 从迭代的情况看 各节点的温度上升较慢 不能很快得出有效的解 可见本题用迭代法求解不好从迭代的情况看 各节点的温度上升较慢 不能很快得出有效的解 可见本题用迭代法求解不好 2 2 再设定步长为再设定步长为 0 03m0 03m x 0 03mx 0 03m 将厚度分成十等份将厚度分成十等份 共需要共需要 1111 个节点个节点 和上述原理相同和上述原理相同 得出线性方程组得出线性方程组组组 2 2 12121212 t0 9529t 3 534t0 9529t 3 534t0 9529t 3 534t0 9529t 3 534 213213213213 1 1 1 1 ttt4 945ttt4 945ttt4 945ttt4 945 2 2 2 2 324324324324 1 1 1 1 ttt4 945ttt4 945ttt4 945ttt4 945 2 2 2 2 435435435435 1 1 1 1 ttt4 945ttt4 945ttt4 945ttt4 945 2 2 2 2 546546546546 1 1 1 1 ttt4 945ttt4 945ttt4 945ttt4 945 2 2 2 2 657657657657 1 1 1 1 ttt4 945ttt4 945ttt4 945ttt4 945 2 2 2 2 768768768768 1 1 1 1 ttt4 945ttt4 945ttt4 945ttt4 945 2 2 2 2 879879879879 1 1 1 1 ttt4 945ttt4 945ttt4 945ttt4 945 2 2 2 2 9810981098109810 1 1 1 1 ttt4 945ttt4 945ttt4 945ttt4 945 2 2 2 2 10911109111091110911 1 1 1 1 ttt4 945ttt4 945ttt4 945ttt4 945 2 2 2 2 1110111011101110 t0 8018t44 6054t0 8018t44 6054t0 8018t44 6054t0 8018t44 6054 同理求得的解为 同理求得的解为 1 1 1 1 t402 9256t402 9256t402 9256t402 9256 2 2 2 2 t419 13t419 13t419 13t419 13 3 3 3 3 t430 403t430 403t430 403t430 403 4 4 4 4 t436 746t436 746t436 746t436 746 5 5 5 5 t438 135t438 135t438 135t438 135 6 6 6 6 t434 6t434 6t434 6t434 6 7 7 7 7 t426 124t426 124t426 124t426 124 8 8 8 8 t412 706t412 706t412 706t412 706 9 9 9 9 t394 346t394 346t394 346t394 346 10101010 t371 05t371 05t371 05t371 05 11111111 t342 11t342 11t342 11t342 11 上述划线的节点坐标对应于步长为上述划线的节点坐标对应于步长为 0 06m0 06m 时的六个节点的坐标 时的六个节点的坐标 3 3 再设定步长为再设定步长为 0 015m0 015m x 0 015mx 0 015m 将厚度分成将厚度分成 2020 等份等份 共需要共需要 2121 个节点个节点 和上述原理相和上述原理相 同 得到新的节点方程为 同 得到新的节点方程为 12121212 t0 9759t 1 026t0 9759t 1 026t0 9759t 1 026t0 9759t 1 026 213213213213 1 1 1 1 ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363 2 2 2 2 324324324324 1 1 1 1 ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363 2 2 2 2 435435435435 1 1 1 1 ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363 2 2 2 2 12 546546546546 1 1 1 1 ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363 2 2 2 2 657657657657 1 1 1 1 ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363 2 2 2 2 768768768768 1 1 1 1 ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363 2 2 2 2 879879879879 1 1 1 1 ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363 2 2 2 2 9810981098109810 1 1 1 1 ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363ttt1 2363 2 2 2 2 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8875 24 20 53535353 求得的解为 求得的解为 1 1 1 1 t401 6 Ct401 6 Ct401 6 Ct401 6 C 2 2 2 2 t410 5 Ct410 5 Ct410 5 Ct410 5 C 3 3 3 3 t418 1 Ct418 1 Ct418 1 Ct418 1 C 4 4 4 4 t424 5 Ct424 5 Ct424 5 Ct424 5 C 5 5 5 5 t429 7 Ct429 7 Ct429 7 Ct429 7 C 6 6 6 6 t433 6 Ct433 6 Ct433 6 Ct433 6 C 7 7 7 7 t436 3 Ct436 3 Ct436 3 Ct436 3 C 8 8 8 8 t437 8 Ct437 8 Ct437 8 Ct437 8 C 9 9 9 9 t438 0 Ct438 0 Ct438 0 Ct438 0 C 10101010 t437 0 Ct437 0 Ct437 0 Ct437 0 C 11111111 t434 8 Ct434 8 Ct434 8 Ct434 8 C 12121212 t431 4 Ct431 4 Ct431 4 Ct431 4 C 13 13131313 t426 7 Ct426 7 Ct426 7 Ct426 7 C 14141414 t420 7 Ct420 7 Ct420 7 Ct420 7 C 15151515 t413 3 Ct413 3 Ct413 3 Ct413 3 C 16161616 t404 6 Ct404 6 Ct404 6 Ct404 6 C 17171717 t394 7 Ct394 7 Ct394 7 Ct394 7 C 18181818 t383 5 Ct383 5 Ct383 5 Ct383 5 C 19191919 t371 2 Ct371 2 Ct371 2 Ct371 2 C 20202020 t357 6 Ct357 6 Ct357 6 Ct357 6 C 21212121 t342 4 Ct342 4 Ct342 4 Ct342 4 C 方法二 分析法 方法二 分析法 参看教材第一章第四节 参看教材第一章第四节 微分方程式为 微分方程式为 2 2 2 2 v v v v 2 2 2 2 q q q qd td td td t 0 0 0 0 dxdxdxdx 1 1 边界条件 边界条