4高等数学第四章不定积分章节教案.pdf

高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第四章 不定积分第四章 不定积分 一 本章的教学目标及基本要求一 本章的教学目标及基本要求 1 理解原函数与不定积分概念及其相互关系 知道不定积分的主要性质 弄清不定积 分与求导数的关系 即求导与不定积分互为逆运算 已知曲线在一点的切线斜率 会求该 曲线的方程 2 熟记基本积分公式 能熟练地利用基本积分公式及积分的性质 第一换元积分法和 分部积分法计算不定积分 掌握第二换元积分法 对于复合函数求不定积分一般用第一换元 积分法 凑微分法 记住常见的凑微分形式 3 掌握化有理函数为部分分式的方法 并会计算较简单的有理分式函数的积分 三角 有理式的积分 无理式的积分 二 本章各界教学内容及学时分配二 本章各界教学内容及学时分配 第一节 不定积分的概念与性质 2 学时 第二节 换元积分法 4 学时 第三节 分部积分法 2 学时 第四节 有理函数的积分 2 学时 三 本章教学内容的重点和难点 三 本章教学内容的重点和难点 1 重点 不定积分和定积分的概念及性质 不定积分的基本公式 不定积分 定积分 的换元法与分部积分法 2 难点 不定积分和定积分的概念及性质 凑微分法 有理分式函数的积分 三角有 理式的积分 无理式的积分 四 本章内容的深化和拓广 四 本章内容的深化和拓广 1 了解不定积分在现代数学发展史上的重要意义 2 初步了解不定积分的实际意义 为后面定积分的学习及定积分的应用做好一定的铺 垫 3 简介不定积分在建立数学模型中的重要意义 五 本章教学方式及教学过程中应注意的问题 五 本章教学方式及教学过程中应注意的问题 1 以讲课方式为主 留一个课时的时间讲解习题中的难点和容易犯错误的地方 2 教学中应注意教材前后内容之间的联系 突出重点和难点 3 本章主要以计算题为主 要强调本章内容本今后学习的重要性 鼓励学生细致 耐 心地完成作业 防止学生只抄教材后的答案 六 本章的思考题和习题六 本章的思考题和习题 第一节 习题 4 1 第 1 2 3 4 题 第二节 习题 4 2 第 1 2 1 33 第 2 34 40 题 第三节 习题 4 3 第 1 22 题 第四节 习题 4 4 第 1 22 题 写本章的总结 第四章 不定积分 第 1 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第一节 不定积分的概念与性质 讲稿内容 第一节 不定积分的概念与性质 讲稿内容 前面已经介绍了微分学 从本章开始我们讲积分学 积分学分为不定积分和定积分两 部分 不定积分是作为函数导数的反问题提出的 而定积分是作为微分的反问题引进的 两者概念不完全相同 却有紧密联系 本章讲不定积分的概念 计算方法 1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 一 原函数与不定积分的概念一 原函数与不定积分的概念 定义定义 1 xI 有或 F xf x dF xf x dx 则称函数为 F x f x在区间I上 的一个原函数 例 2 sinx 2 2cosx 2 sinxC 在 内是sin2x的原函数 ln x在内是 0 1 x 的原函数 因 1 ln x x ln x 在 内是 0 1 x 的原函数 因 1 ln x x 我们要问我们要问 是否任何函数均有原函数呢 如果不是 那么具备什么条件的函数才有原函数 呢 原函数既然不唯一 那么两个原函数之间有什么关系呢 例例 函数在 1 0 sgn0 0 1 0 x f xxx x a 0 tt 0 ss 解 因为 ds v dt at 即找的原函数 故at s t 2 1 2 satdtatC 2 这个运动规律概括了物体以初速度为 的速度vat 运动的规律 我们所要找的函数必 在其中 我们需要在其中找出满足条件 0 tt 时 0 ss 的那个函数 为此将条件时 0 tt 0 ss 代入上式 得 2 00 1 2 satC 2 00 1 2 Csat 将此常数C代入 2 得 2222 000 111 222 0 satsata tts 例例 5 某厂生产某种产品 每日生产的产品的总成本y的变化率 即边际成本 是日产 量x的函数 25 7y x 已知固定成本为1000元 求总成本与日产量yx的关系 解 因为 25 7y x 故 25 7 750ydxxxC x 又已知固定成本为1000元 即当时0 x 1000y 代入上式的得C 1000 所以总成本与 日产量 y x的关系为7501000yxx 0 x 二 积分与微分的关系 二 积分与微分的关系 设的原函数为 xf xF 则 dxxfdxxfdxfxFCxFdxxf 即 CxFxdFCxFdxxfdxxF 即 由此可见 若不计常数C 则积分号与微分符号不论先后 只要它们连在一起就互相 抵消 这说明 积分与微分在不计任意常数时互为逆运算 三 基本积分表三 基本积分表 由积分与微分的关系容易得到下列基本积分公式 具体解释如何由微分公式得积分公 第四章 不定积分 第 4 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 式 如何验证公式的正确性 见教材 例例 求 1 dx x x 例例 求 2x x a dx 例例 设 f x的一个原函数为 求 21x e fx 解 因 2121 2 xx f xee 所以 21 4 x fxe 例例 设 f x是积分曲线族sin xdx 中过点 1 6 的曲线 求 f x 解 由 f x sin xdx cosxC 过点 1 6 得 3 1 2 C 即 3 1 2 C 故 f x 3 cos1 2 x 四 不定积分的性质四 不定积分的性质 性质性质 1 函数和的不定积分等于不定积分之和 即 f xg x dxf x dxg x d x 3 或 1212 nn f xfxfx dxf x dxfx dxfx d x 性质性质 2 是常数 dxxfkdxxkf k0k 利用基本积分表以及不定积分的性质 我们可以求出一些简单函数的不定积分 例例 7 3 2cos2 x exx dx 应注意两点 1 在分项积分后 每个不定积分的结果都含有任意常数 但由于任意 常数之和仍是任意常数 因此只在式子后写出一个任意常数就行了 2 检验积分结果是否正确 只要把结果求导 看它的导数是否等于被积函数 例例 22 tan sec1 tanxdxxdxxxC 例例 8 求 2 2 1 1 xx dx xx 解 基本积分表中没有这种类型 把被积函数变形 化为已有的积分公式 逐项积分 第四章 不定积分 第 5 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 22 222 1 1 11 1 1 1 xxxx dxdxdx xxxxxx 2 11 arctanln 1dx dxxxC xx 例例 9 求 4 2 1 x dx x 解 被积分函数为假分式 恒可化为多项式加真分式 一般有两种方法 加项减项法 或多项式的除法 44 22 1 1 11 xx dxdx xx 2 2 1 1 1 xdx x 2 2 1 1 1 x dxdxdx x 例例 22 222 3111 33 1 3 arctan 111 xx dxdxdxxxC xxx 例例 10 2 1 sin 1cos 22 x dxx dx 11 1cos sin 22 dxxdxxxC 例例 11 1 1 x xx e edxe dxdx xx 2 x exC 例例 12 22 cos2 cossin x dx xx 22 22 cossin cossin xx dx xx 22 11 sincos dxdx xx cottanxxC 例例 14 22 1 sincos dx xx 22 22 cossin sincos xx dx xx 22 11 cossin dxdx xx tancotxxC 例例 17 设 cos0 10 xx f x xx 求 f x dx 解 当时 0 x cosf xx 1 sinf x dxxC 当时 0 x 1f xx 2 2 2 x f x dxxC 由于原函数必在处连续 故0 x 2 12 00 lim sin lim 2 xx x xCx C 得 12 CC 故 f x dx 2 sin0 1 0 2 xCx xxCx 例例 设 求 sin 0 0 xx f x xx f x dx 解解 因 f x在 连续 所以 f x的原函数存在 F x 第四章 不定积分 第 6 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 1 2 2 cos 0 2 xCx f x dx xCx0 同时在 也必须连续 可导 所以必有 F x 12 1CC 故 1 22 1 cos 0cos 0 2 1 02 1 0 xCxxCx f x dx xCxxCx 例例 已知 求 1 0 0 x ex f x xx 公式 6 cscxdx 公式 2 sincos sin 1 cos 1 cos xdx dx xx x 解 11 csc sin2sin 2 cos 2 xdxdxdx xxx 第四章 不定积分 第 9 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 2 2 1sec tan2cos22tan22 2xxx dd xxx 1 tan 2 ln tan tan 2 2 x dx x C 因为 2 sin22sin 2 1 cos tancsccot 2cos2sinsin xxxx xx xxx 所以cscxdx ln tan ln csccot 2 x Cxx C 公式 7 11 sec cos2 sin 2 xdxdxd x x x ln csc cot 22 xxC ln sectan xxC 公式 例例 3 求下列积分 1 2 cos xdx 1cos21 cos2 22 x dxdxxdx 11 sin2 24 xxC 同样可得 2 sin xdx 4 sin xdx 2 322 sinsincos 1 cos cosxdxxdxx dx 同理可得 5 cos xdx 等 3 25 sincosxxdx 222 sin 1sin sin xxdx 357 121 sinsinsin 357 xxxC 4 33 sincosxxdx 5 2446 sincos coscos xxdxxx dx 降次 倍半角公式 6 3 sin cos x dx x 2 1cos cos cos x dx x 1 cos cos cos xdx x 2 1 cosln cos 2 xxC 7 5342222 tansectansecsec sec1 secsecxxdxxxdxxxdx 8 4 sincos 1sin xx dx x 22 22 111 sin arctansin 221 sin dxx x C 9 cos3 cos2xxdx 1 coscos5 2 xx dx 11 sinsin5 210 xxC 第四章 不定积分 第 10 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 注意 1 coscos cos cos 2 10 642 secsectan 1tan tanxdxxdxx dx 例例 4 计算下列积分 1 2 1 x x e dx e 2 1 arctan 1 xx x d eeC e 2 cossin cossin xx dx xx 1 cossin ln cossin cossin dxxxxC xx 3 11 1 ln ln 1 ln 1 ln 1 ln dxdxxC xxx 例例5 设 2 4 1 1fx x 求 f x 解1 令 则ux 2 22 11 1 1 1 f uf uduu uu C u 即 f x 1 xC x 解2 因 2 4 1 1fx x 故 222 4 1 1 fx d xd x x 即 22 2 1 f xxC x 即 f x 1 xC x 从前面所讲的例子一看 求积分比求微分要难得多 因此我们必须熟练掌握基本积分 公式 多练题 以掌握求积分的基本技巧 第四章 不定积分 第 11 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 用凑微分法的题型归类如下 用凑微分法的题型归类如下 fxx dxfx dx 实际上是将第一换元公式中的 x 具体化 1 duuf a baxdbaxf a dxbaxf 1 1 例 dxxdxedxbaxdx x x31 21 cos 23 1 等 2 2 1 222 baxdbaxf a dxbaxxf 例 1 1 2cos 2 2 2 dx x x xx dx dxxxdxxex 3 ln 1 badbaf a dxbafa xxxx 特别地 bedbefdxbefe xxxx 例 11 111 x xx e dxdxdx eee x 化为第一种 或 11 11 xx xx ee dxdx ee 1 cos 2 xx xxdx eedx ee 4 ln ln ln 1 bxdbxfdxbxf x 例 lncos 1 ln32 1 ln 1 xdx x dx xx dx xx 5 dxxxfxdxxfxdxxf tansec sin cos cos sin 2 等 例 sin cossin cossin cos sin cos 3 3 dxxedx xx xx dx x x x 6 arcsin arcsin arcsin 22 a x d a x f xa dx a x f arctan arctan 1 arctan 22 a x d a x f aax dx a x f等 例 dx xx x xx dx dx xx x 2 2 22 1arcsin ln arcsin arcsin1 1 arctan 第四章 不定积分 第 12 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 7 dxxnmxnmnxdxmx sin sin 2 1 cossin 等 利用积化和差公式 8 降次 倍半角公式 xdxxdx 42 sin sin 9 拆项法 dx xx xx dx xx x 1 1 1 21 22 22 22 2 10 加项减项法 dx x x dx x x dx x x 2 4 2 3 2 2 1 1 1 22 22 lnln1 1 1 ln 1 ln xx dxdx xxxx 11 同乘或同除因式法 dx x x dx x x dx x 22 cos sin1 sin1 sin1 sin1 1 如 1 1 x x dx xxe 11 ln 1 11 xxx x xxxxx xeexe dxd xeC xexexexexe 第四章 不定积分 第 13 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 二 第二换元法二 第二换元法 第二换元法是第一换元法的相反情形 第一换元法 dxxxf ux uxf u du 第二换元法 f x dx xtftt d t 找出原函数 变量代回 定理定理 2 设 1 xt 是单调 可导函数 并且 0t 2 ftt 具有原函数 t 则 1 x 是 f x的一个原函数 其中 1 x 是 xt 的反函数 即有换元公式 f x dx 1 xC 1 tx ftt dt C 证 令 利用复合函数的求导法则及反函数的导数公式 得到 1 F xx F x 1 ddt fttftf dtdxt x 即是 F x f x的原函数 有 f x dx F xC 1 xC 1 tx ftt dt 对于形如 2222 RaxdxRxadx 的无理函数的积分 可用第二换元法求解 主要用 222 sincos1 1tansec2xxx x消去根式 例例 1 计算下列积分 1 22 ax d x 解 设sinxat 22 t 满足定理条件 于是arcsin x t a 从而有 22 ax dx 22 sincoscoscosxatat atdtatd t 2 2 1cos21 sin2 222 ta adtttC 2 sin cos 2 a tttC 于是 22 ax dx 2 22 1 arcsin 22 ax x axC a 公式 2 22 1 dx ax 解 可以利用来化去根式 令 2 1tansect 2 ttanxat 22 t x 22 ax t a 图4 2 2 解 可考虑三角函数公式sec化去根式 22 1tantt 设secxat 0 2 t n 解 设 22 1 n u xa 利用分部积分法 得 dvdx 2 22221 dx 2 n nn xx In xaxa 222 22221 2 nn xxaa dx n xaxa 2 222222 22 nn xdxd nna xaxaxa 1n x 2 1 22 22 nn n x nIna I xa 移项 整理得 1 2222 12 2 2 nn n xn1 II naxana 用代替 从而用代替 上式可改写成 n1n 1n n 1 22212 12 2 1 2 1 nn n xn3 II naxana 式称为递推公式 每用一次 就降一次 最后出现的积分是的情形 n1n 此时 22 1 dx ax 1 arctan x C aa 从而问题得到解决 例例 9 已知有原函数 求 xfxexsin 2 dxxxf 解 由已知得 22 sin 2 sincos xx f xexexxx 且 2 sin x f x dxexC 所以 xfx dxxdf xxf xf x dx 2 2 sincos x xexxx Cxex sin 2 例例 10 如 求 xef x 1 xf 解 1 xxx fe d ex d e 第四章 不定积分 第 19 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 即 1 xxx ex e e dx 1 xxx x eeCxeC f 所以 lnf xxxC 注意积分技巧 注意积分技巧 2 1 arctanarctan 1 2 xxdxxd x 22 1 ln 1 ln 1 1 2 xxdxxd x 2 1 ln 1 ln 1 1 2 xdxxd x 2 2 arctan1 arctan 1 2 x xx x e dxe d e e 问题问题 2 11cos cotsinsinsin1cot01 sinsinsin x xdxdxxxdxxdx xxx 第四章 不定积分 第 20 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 一 内容要点一 内容要点 1 分部积分法 由不定积分的意义引入不定积分的分部积分公式 教材上的例 1 例 7 说明分部积分法的基本方法及其特性 教材上的例 8 例 10 说明应注意分部积分法应与其它的方法结合使用 2 有理式的积分 有理式分解的最后形式和分解方法 有理式分解后每一部分的积分法 例 分解 65 3 2 xx x 及 2 1 1 xx 说明分解的步骤 二 二 教学要求和注意点教学要求和注意点 教学要求教学要求 了解分部积分法的意义及证明方法 掌握分布积分法的基本步骤和适应函 数 了解有理式积分的基本思想及有理式分解的基本方法 第四章 不定积分 第 21 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 第四节 几种特殊类型函数的积分举例 讲稿内容 第四节 几种特殊类型函数的积分举例 讲稿内容 一 有理函数的积分 两个多项式的商所表示的函数叫做有理函数 即形如 1 011 1 011 nn nn mm mm a xa xaxaP x Q xb xb xbxb 我们总可假设之间没有公因式 xQxP 当 xQ xP mn 称为假分式 由多项的除法知 一个假分式 必可化为多项式加真分式 因此 我们只讨论真分式的积分 1 如果为实系数多项式 则总可分解为一些 实系数的一次因子与二次因子的乘幂之积 1 011 mm m Q xb xb xbxb m Q x 因为 0在复数范围内有个根 则 Q xm 012 m Q xb xxx 如 i 是重根 则有因子 k Q x k i x 如 0 x 是 0的复根 则 Q x 0 x也是 0的根 于是中一定有因子 Q x Q x 2 000000 2 xxxxxxxxx xxpxq 为二次质因子 即 2 4pq 0 即 22 0 Q xb xaxbxpxqxrxs 1 其中 都是自然数 2 40pq 2 4rs0 2 如果的分解式如 1 式 则有理真分式 Q x P x Q x 可以唯一地分解成为简单分式 或部分分式 的和 P x Q x 12 1 AAA xaxaxa 12 1 B BB xbxbxb 1122 2212 M xNM xNM xN xpxqxpxqxpxq 1122 2212 R xS R xSR xS xrxsxrxsxrxs 2 第四章 不定积分 第 22 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 其中等都是常数 我们将从下面的例子看到 这些常数可由待定系 数法求得 iiiii AB MNR S i 我们从 2 式中应注意到下列两点 分母中如果有因子 Q x k xa 那么分解后有下列个部分分式之和 k 12 1 k kk AAA xaxaxa 其中都是常数 特别地 如果 12 k AAA1k 那么分解后有 A xa 例 1例 1 求 2 5 1 2 x dx xx 解 设 22 5 12 1 2 2 xABC xxxxx A B C为待定系数 2 2 2 1 1 2 1 2 A xB xC xx xx 5 两端去分母以后 有 2 2 1 1 2 A xB xC xxx 因为这是恒等式 等式两端x的系数和常数必须分别相等 于是有 0 4 42 AC ABC ABC 1 5 解此方程组 得 22 1 33 ABC 或取特殊的x值 如取得1x 2 3 A 取2x 得1B 取0 x 得 2 3 c 所以 2 5 1 2 x dx xx 2 21121 3132 2 dxdxdx xxx 212 ln 1 ln 2 323 xxC x 122 ln 231 x C xx 分母中如果有因子 Q x 2 kxpxq 其中 2 4pq0 1 1 1 nn AA dxC nxaxa 2 n MxN xpxq 2 4pq 22 2 nn p 2 M tN MxN dxdt xpxqta 2222 21 22 nn MtMp dtNdt tata 22122 111 212 nn MMp Nd ntata t 而积分 22 1 n dt ta 在上一节中已经讲过 例 6 求积分 2 22 2213 2 1 xx dx xx 解 设 2 22222 2213 2 2 1 1 1 xxABxCDx xxxxx E 222 22 1 2 2 1 2 1 A xBxCxDxE xx xx 去掉分母以后 得 2222 1 2 2 1 2213A xBxC xDxE xxxx 比较x同次幂的系数 得 0 20 22 22 2213 AD DE ABDE BCDE ACE 2 2 解得 1 3 4 1 2 A B C D E 于是 2 22222 2213134 2 2 1 1 xxxx xxxxx 2 1 积分 2 22222222 2213111 342 2 2 1 1 1 11 xxxx dxdxdxdxdxdx xxxxxxx 2 22 311111 ln 2 4 arctan ln 1 2arctan 222211 xxxxC xx 2 22 1 2 34 ln4arctan 212 1 xx xC xx 其中 222 1111 arctan 1 212 dxxC xx 我们可以证明 有理函数的原函数都是初等函数 第四章 不定积分 第 26 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 二 三角函数有理式的积分 二 三角函数有理式的积分 所谓三角函数的有理式三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数 由 于三角函数 不论是正弦 余弦 正切 余切等均可用正切来表示 因此三角函数有理式 的积分 总可作代换xu x utan 2 tan 或等化为有理函数的积分 若令 2 tan x u 则du u dx 2 1 2 2 2 2tan 2 2 sin2sincos 221 sec 2 x xxu x x u 222 2 22 2 222 cossin1tan 1 222 coscossin 221 cossin1tan 222 xxx xxu x xxx u u u x u u x x x 2 1 cot 1 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 2 2 例1 求 1 35cos dx x 解 作代换tan 2 x u 则有 222 2 112 35cos114 35 1 dxdudu xuuu u 1 2tan 121 2 ln ln 424 2tan 2 x u CC x u 例2 求 1sin sin 1cos x dx xx 解 作代换tan 2 x u 则有 2 22 22 2 1 1sin2 1 sin 1cos 211 1 11 u x u dxdu xxuuu uu 第四章 不定积分 第 27 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 2 111 1 2 2ln 22 2 uduuuuC u 2 11 tantanln tan 42222 xxx C 例 2 2 111 ln sintan224 dxu duuuC xxu 令tan 2 x u 例 x dx 2 sin3 解 作代换tan 2 x u 则 du uu u du u u u x dx 222 2 22 2 2 4 1 3 1 2 1 2 1 2 3 1 sin3 积分繁 另解 du u u u xudx xx dx 2 2 22 1 1 1 1 7 2 tan 2cos7 2 sin3 3 tan2 arctan 32 1 43 2 C x u du 三角函数有理式的积分 虽可作三角代换化为有理函数的积分 但不一定是最简做法 如该题再解 再解 x xd dx xx x x dx 222 2 2 tan43 tan tansec3 sec sin3 3 tan2 arctan 32 1 C x 又如 x xd dx x x sin1 sin sin1 cos 显然比用三角代换简单 例5 求 42 1 sincos dx xx 解 作代换 或 tanu xcotux 2 secduxdx 42 1 sincos dx xx 22 4 424 4 1 1 1tan cos tan sincostan cos x x dxdx xxx x 22 442 1 12 1 u dudu uuu 33 112112 tan 33tantan uCxC uxux 一般地 凡形如 22 sin cos Rxx dx 的积分 都可以运用这个代换 这是因为当设 tan xu 时 便有 22 222 22 tan sintancos 1tan1 xu xxx xu 第四章 不定积分 第 28 页 共 31 页 高等数学 课程教案 张谋 高等数学 课程教案 张谋 2 2 1 cos 1tan1 x 2 1 xu 2 1 du dx u 三 简单无理函数的积分 三 简单无理函数的积分 无理函数的积分指被积分函数含有根式的积分 这里主要讨