应用泛函答案.pdf

3 在 1 R上定义 arctan d x yxy 问 1 R d是不是距离空间 证明 非负性 arctan0d x yxy 严格正 0arctan0d x yxyxy 对称性 arctanarctan d x yxyyxd y x 再证明三角不等式 设 0 时 有arctan arctanarctan 1 下面我们证明 1 式成立 设 所以arctan arctanarctanarctan0 再用微分中值定理 12 22 12 11 0 0 11 因为 12 故 1 式成立 由上面的结论可得 arctanarctan arctanarctan xyxzzyxzzy 故 d x yd x zd z y 故是距离空间 4 在n维 Euclid 空间 n R中 对于 11 nn xxxyyy 定义 1 n iii i d x yxy 其中 1 n 是 n 个整数 证明 d 是 n R中的距离 并且按 距离收敛等价于按坐标收敛 证明 1 证明 d 是 n R中的距离 非负性 1 n iii i d x yxy 因为 1 n iii i d x yxy 故 0d x y 严格正 1 0 0 n iii i d x yxy 因为0 i 所以 0 ii xy 即 有 ii xyxy 对称性 11 nn iiiiii ii d x yxyyxd y x 三角不等式 设 111 nnn xxxyyyzzz 故有 iiiiiiiiiiiiiii xyxzzyxyxzzy 111 nnn iiiiiiiii iii xyxzzy 即有 d x yd x zd z y 故R是 n R中距离 2 证明按距离收敛等价于按坐标收敛 2 1 2 11 nn mmm iiikkk ik xxxxd xx 2 1 2 11 1 n mmmm kkknn k d xxxxxxxx 故有 0 m d xx 等价于 1 2 m ii xxmin 11 令 21 lim 2 T TT Xx tx td tt T 在 X 上定义距离 1 2 2 1 lim 2 T TT d x yx ty tdt T 证明 X d是不可分的距离空间 证明 1 21 lim1 2 T iat TT aRedt T 故 iat eX a bR ab 有 2 2 1 lim 2 2 T iatibtiatibt TT d eeeedt T 定义 iat AeaR 则AX A与R一一对应 故A不可数 且A中任意两个不同的元素之间都是2 2 设X可分 则存在可数稠密子集E 根据稠密性 令0 1 1 0 1 0 1 iatiatiat eAxE st d exeB x 同时因为inf d x yyA 连 续 故 f x连续 则存在 f x满足命题 14 设 X 按照距离 d 为距离空间 AX 非空 令 inf y A f xd x yxX 证明 f x 是 X 上的连续函数 证明 zx 有in f d z xd z yyz f x inf d x y yA in f d x zd z yyzd x zf z 故 f xf zd x z 同理 f zf xd z xd x z 故 f xf zd z x 故 0 当 d x z 时 有 f xf zd x z 时 有 11 22 nmnm d xxd yy 根据三角不等式 y y nnnmmmmn nnmmnmmn d xd xxd xyd yy d xd xyd xxd yy 同理 y mmnnnmmn d xd xyd xxd yy 故 y mmnnnmmn d xd xyd xxd yy 时 有 nmnmnm d x x sup x x sup x x i 所以 nm sup x x 所以max nm xx 闭区间上连续函数的最值存在 因为 c 0 1 d 是完备的距离空间 故 x t n 是 c 0 1 d 中的 Cauchy 列 存在 0 1 0 n n x tcst d x tx t 且 n x t 一致收敛于 x t ii 同 理 讨 论 n x t nm sup x x 故max nm x x 故 n x t 是 c 0 1 d 中的Cauchy列 由完备性 则存在 0 1 0 n n y td xy 且 n x t 一致收敛于 y t iii 下面讨论 x t与 y t关系 lim n n y tx t 则 n n nn d x td x tx t dtdt limlim 所以存在 x t C 0 1 且 nn n d x x sup x x sup x y 0 故 x n 在 D 中收敛 D 是完备的 35 设X是完备的距离空间 T 是 X 上到自身的映射 在闭球 0 BxX d x xr 上 d Tx Tyd x y 且 00 1 d x Txr 其中01 证明 T 在B上有唯一不动 点 证明 0 n n xT x 先证 0 n xBxX d x xr 12111 1000000 1 nnnnnn nn d xxd Tx T xd Tx Txd x Txr 011210 nnnnn d xxd xxd xxd x x 12 1 1 1 1 1 1 n nn rrrrr 0 n d xxr 即 0 n xBxX d x xr 0 BxX d x xr 是完备的距离空间X的闭子集 B d 是完备的 且T是 B d中压缩映射 T 在 B d上存在一个唯一的不动点 36 证明存在闭区间 0 1上的连续函数 x t 使得 1 sin 2 x tx ta t 其中 a t是给定的 0 1上的连续函数 证明 定义映射 T 1 0 1sin 2 x tCx ta t 且 0 1 Cd 是完备的 d Tx Tyd x y 0 1 在完备的距离空间中 先证T是压缩映射 x ty tC 0 1 有 11 maxsin sin 22 dTx Tyx ta ty ta t 1 maxsin sin 2 x ty t 1 maxcos 2 tx ty t 11 max 22 x ty tdx y T 是压缩映射 1 2 0 1 Cd 是完备的 存在唯一的 0 1 x tCstTxx 即结论成立 34 证明L 是不可分的 证明 记 1 01 ni Axxxx 或 AL A中每个x的二进制形式为 123 23 111 222 xxx A 是不可数的 A 中任何两个不同点的距离都为 1 sup1 kk k d x y 于是 以xA 为中心 1 3 为半径 作开球 1 3 B x 则这些小球有不可数个 且互不相交 若M是L 任意的一个稠密子集 则这些不相交的球每一个必含有M的一个元素 从而M 必不可数 L 的任意一个稠密子集都是不可数的L 是不可分的 证毕 第二章 2 设 X是赋范性空间 对于 x yX 令 0 1 xy d x y xyxy 证明 d 是距离 但不是有范数诱导的距离 即不存在 X 上的范数 1 使得 1 d x yxyx yX 证明 d x y是距离 当xy 时 11dxyxyxy d x yxy 1 时 dxyd x y 不存在范数使距离是范数诱导出来的距离 7 设 X 是 0 1上所有连续函数 xx t 的集合 证明 1 1 2 2 0 xx tdt 是 X 上的范数 但 X 在这种范数下不完备 证明 构造X中的一个函数列 11 0 0 2 1 1 1 2 n t n x tt 直线连接 其他 下面证明 n x t是 Cauchy 列 11 22 00 nmnmnm xxxxdtxxdt 其中01 nm xx 则 2 nmnm xxxx n x 是 Cauchy 列 i 若X完备 则存在X中连续函数 y t 1 22 0 0 nn st xyxy dtn 1 0 0 2 1 1 1 2 11 22 n t x tt t 时 0 max k ii nmmn i d ffff 则每个 0 i ik 都有 max ii mn ff 1 则 i n f 是 C a bd 中的 Cauchy 列 i 改空间是完备的 存在 max0 ii inini gC a bst d fgfgn i n fx是一致收敛到 i g x 根据一致收敛的数列的性质 则 0 lim lim i ii inn nn g xfxfxgx 则 1 式中令m 则 0 0 max k ii n i fgn 时 有 1 22 2 n nmnmnm ffffdtffdt 1 1 2 2 nm ffdt 2 1 2 2 nm ffdt 3 nn ff都是 Cauchy 列 在 2 L R中 2 L R是完备的 存在 2 0 fL R 2 0 gL R 使得 1 0 2 2 00 0 nn ffffdt 1 2 2 00 0 nn fgfgdt 定义 00 00 0 0 xx nnn f xfg t dtfxfft dt 则 n fxf xae 引入 几乎处处收敛 0 n fxgxfxfx 在 1 式中令m 则 1 22 2 nn f tf tdtffdt 故 0 0 1 inf1 nn x E d x Exx n X 是有限维赋范空间 且 n x是有界集 n x是列紧的 存在 k n x是 n x的收敛子列 0 k n xx 0 1 1 k n k d xE n 令k 距离是连续函数 00 1d x E 1 0 E 是子空间 0 0E 0 0000 inf01 x E d x Exxx 2 由 1 2 知 00 1d x E 且 0 1x 23 在 2 0 1 L上规定不同的范数 1 1 0 ff tdt 1 1 2 2 2 0 ff dt 1 1 2 2 3 0 1 ftfdt 哪些是等价范数 试说明理由 证明 2 11 222 32 00 1 ftfdtf dtf 32 ff 1 22 111 22 3 000 1 ftfdtf dtt f dt 2 11 22 2 00 2f dtf dtf 32 2ff 2 由 1 2 可知 3 与 2 等价 可证 2 比 1 强 11 2 111 22 12 000 1 ff dtf dtdtf 且C 常数 无法满足 21 nn fn f 则 21 1 n f n 3 2 2 1 n f n 3 1 1 0 0 n t f tn 其他 3 2 211 nnn fnfn f 2 n f 比 1 n f强 第三章 2 设 n x为内积空间 H 中的点列 n xx 且 n xyx yyHn 证明 n xx n 2 2 222222 0 0 n nnnnnnn nnn n n x xx xxn xxxx xxx xx xx xx x xx xx xxxxxxn xxn xx n 证明 因为 所以 即 5 设 x y 是复内积空间 X 中的两个非零元素 则 1 xyxy 当且仅当 y 是 x 的正倍数 2 xyxy 当且仅当 y 是 x 的倍数 3 给定 zXxyxzzy 当且仅当存在 0 1 使得 1zxy 222 2 22 222 1 1 1 2 2 2 2 xykxxykx xyxy xyxy xyxyx yy x xyxyxy x yy xxy xyxy xyxyxy 证明 设y kx k 0 则 故 若 因为 根据Schwatz不等式 有 且等号成立条件为当且仅当y kx k 0 易验证 若 两边平方得 再根据平行四边形法则 2222 2 2 2 0 3 0 1 11 1 1 1 xyxyxy xyxyxyxy k xyx zzy xzzy k k k xzk zyzxy kk k zxy 有 于是可得 所以 故 使得y kx 易验证 若 令 则上式即 根据 1 使得 即 即 取 则 得证 12 若内积空间 X 是实的 则 222 xyxy 蕴含着xy 但若 X 是复空间时 xy 未必成 立 举例说明之 222 2 22 222 222 2 0 y 1 112 1 1 1 0 xyxy xyxy xyx xx yy xy y xx yy x y yi xyii xy xyxy x yiiy 证明 如果x是实的内积空间且 因为 所以 即x垂直与 若x是复的内积空间 则结论不一定成立 取x 则 而 故 但是 即x不垂直于 18 设 M N 是内积空间 H 的子空间 MN LMN 证明 L 是闭子空间的充分必要条件 是 M N 均为闭子空间 充分性部分假定 H 完备 证明 必要性 先证 M 是闭子空间 即 M 中收敛点列 n x的极限属于 M 设 M nn xxxH n 只需证xM 因为 L 是闭子空间 且L M 则 n xL 且 xL 对任意的 yN 根据内积的连续性 有 lim lim 0 nn nn x yxyxy 所以xN 又因为xLMN 所以xM 所以 M 是闭子空间 同理可证 N 也是闭子空间 充分性 设 M N 都是闭子空间 设 nn zL zzH n 只需证zL 因为LMN 所以存在 nn xM yN 使得 nnn z xy 因为 222 nmnmnmnn zzxxyyxy 所以0 0 nmnm xxyym n 即 nn xy是 M N 中的 Cauchy 列 因为 H 是完备的 M N 是闭子空间 所以 M N 也是完备的 所以x M yN 使得0 0 nn xxyyn 则 2222 0 nnnnn zxyxyxyxxyyn 即 n zxy n 有极限的唯一性可知 z x yL 所以 L 是闭的 得证 25 设 eI 是内积空间 H 中的标准正交系 证明对于每个xH x 关于这个标准正交系 的 Fourier 系数 x eI 中最多有可数个不为零 证明 根据 Bessel 不等式 对xH 取 n 个 eI 中的元素排成一列 12 n e e e 则有 2 2 1 n k k x ex 于是在 eI 中 使得 i x exn 成立的 i e只有有限个 记 F n eIx exn 且 1 F n n F 则 F 是可数集 且当 e eIF 时 有 0 x e 所以对xH x 关于这个标准正交系的 Fourier 系数 x eI 最多有可数 个不为零 27 M 是 H 的闭线性子空间 n e与 n e分别是 M 与M 的标准正交基 证明 nn ee 构成 H 的标准正交基 11 11 11 y nn nnnn kk nnn nnn nnnn kk nnnn kk nn xH xyzyM zM ee yy ee zz ee x eyz ey e x eyz ez e xeez ee x eex ee ee 证明 有正交分解定理可唯一分解 其中 由于 分别是M与M的标准正交基 则 且 则 所以 构成标准正交基 31 设 H 为 Hilbert 空间 n e n e是 H 中的两个标准正交基 并且 1 1 kk k ee 证明如果 n e n e中之一是完备的 则另一个也是完备的 证 设 k e是完备的 要证 k e也完备 采用反证法进行正面 假设 k e不完备 则存在 uH u0 且 0 k u ek 则 2 2 2 11 kkk kk uu eu ee 22 222 11 kkkk kk ueeueeu 矛盾 故 k e也完备 得证 第四章第四章 13 对 fL a b 定义 x a Tfxf t dt 证明 1 若 T 为 L a bC a b 的算子 则1T 2 若 T 为 L a bL a b 的算子 则Tba 1 Tmaxmax 1 1 1 1 1 Tmaxmax1 1 2 T b a ttb aaaa t ba t b oo tt oo aaa t ba t b xbx aaa fL a b ffd ffdfdfd T tL a bf ba Tffdd ba T a b ff t dtf t dt dx T L a bL a b f t dt 证明 1 对任意 满足 有 即 另一方面 令f 则 则 对任意fL 有 1 1 0 1 1 1 1 T 1 1 2 bxbb aaaa bbb aaa n xa a n n xab n ba n nn aa xbx nnn aaa ab n aa n dxf t dt dx f t dtdxbaf t dtbaf t Tba fx ffx dxndx fft dtft dt dx n xa dxdx baban n 下面证 考虑 则 且 11 Tsupsup T n n ff TfTfba ba 则 所以 得证 15 设 x tC a bf xx ax b 证明 f 是 C a b上的有界线性泛函 并求f 1 2max 2 2 2 max1 1 1 2 sup 2 2 a t b o oo ooooo o x x tL a b f xx ax bx ax b x ax bx tx f ab x tt abab xxt f xx ax bx ax b ff xf x f 证明 因为 有 所以 另一方面 取 则 且 所以 综上所述 20 设无穷矩阵 jk Aa 满足 1 sup jk j k Ma 对 于 12 xx x 12 yy yl 定 义 线 性 算 子T llxy 其中 1 2 jjkk k ya xj 证明TM 证明 sup supsupsup i i ijjijj iii jj yy a nan M xTM 另一方面sup ij i j Ma 取 0 i使得 0 i j j a 所以 1 sup ij i j TaM 所以TM 证毕 22 设 n T是 1 p LRp 其中 p fLR 证明 n T强收敛与恒等算子I 但是不一致收敛到I 证明 p f xLR 有 1 T 0 n xn T fxfxf xdxn 故有 n TT 强 下证不一致收敛 取 0 1 1 0 else xn n fx 则 1 1 0 1 n n f 且 1 1 1 00 sup 1 10 nn f n n n TTT f xTf x T fxTfxn 所以 n T不一致收敛证毕 25 设 12 E E E都是 Banach 空间 1212 nn T TB E ESSB E E 若 nn TE分别强收敛与 T S 证明 nn S T强收敛与ST 证明 n TT 强 则xE 有lim0 n n T xTx n SS 强 则 1 yE 有lim0 n n S ySy 由于收敛的点列是有界的 则 1 yE 有sup n n S y 有界性 因为 1 E是 Banach 空间 则根据一致有界原则 n S是有界的 设 n SM 因为 111 max 0 nm xxm n nm n 故 n x是 X 中的 cauchy 列 但是 0 0 0 n xX 所以 X 不完备 33 若 是 C a b上的另一完备范数 原范数记为 并且当 0 n xx 时必须有 0 n x tx tta b 则 与 等价 闭图像定理 证明 考虑恒等算子 IC a bC a b 则I是线性一一映射 且 D IC a b 下面证明I是闭算子 即要 证明 如果 nnn xD IC a b xn Ixy 其中 nC a b yC a b 则 xD IC a b 且 n Iy xD IC a b 显然成立 只需证明 n Iy 因为 n xx 故0 n xxn 因为 n Ixy 所以0 0 nn Ixynxyn 题目条件 0 n x ty tnta b 所以 ta b 有 nn x ty tx tx tx ty t 所以 0 nn nn x ty tx tx tx ty t x tx tx ty t 故xy 即Ixy 根据闭算子的等价条件 所以I闭算子 由于 C a b 和 C a b都是 Banach 空间 根据闭图像定理 I是有界线性算子 xa b 有 11 IxMxxMx 再由逆算子定理 1 I 存 在且