线性代数 (同济四版) 习题参考答案.pdf

线性代数 同济四版 习题参考答案 黄正华 Email huangzh 武汉大学 数学与统计学院 湖北 武汉 430072 Wuhan University 目录 第一章行列式1 第二章矩阵及其运算17 第三章矩阵的初等变换与线性方程组33 第四章向量组的线性相关性48 第五章相似矩阵及二次型70 i ii目录 第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 fl fl fl fl fl fl fl fl 201 1 4 1 183 fl fl fl fl fl fl fl fl 2 fl fl fl fl fl fl fl fl abc bca cab fl fl fl fl fl fl fl fl 3 fl fl fl fl fl fl fl fl 111 abc a2b2c2 fl fl fl fl fl fl fl fl 4 fl fl fl fl fl fl fl fl xyx y yx yx x yxy fl fl fl fl fl fl fl fl 解 1 fl fl fl fl fl fl fl fl 201 1 4 1 183 fl fl fl fl fl fl fl fl 2 4 3 0 1 1 1 1 8 0 1 3 2 1 8 1 4 1 24 8 16 4 4 2 fl fl fl fl fl fl fl fl abc bca cab fl fl fl fl fl fl fl fl acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 3 fl fl fl fl fl fl fl fl 111 abc a2b2c2 fl fl fl fl fl fl fl fl bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 a b b c c a 4 fl fl fl fl fl fl fl fl xyx y yx yx x yxy fl fl fl fl fl fl fl fl x x y y yx x y x y yx y3 x y 3 x3 3xy x y y3 3x2y 3y2x x3 y3 x3 2 x3 y3 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 1 1 2 3 4 2 4 1 3 2 3 3 4 2 1 4 2 4 1 3 5 1 3 2n 1 2 4 2n 6 1 3 2n 1 2n 2n 2 2 解 1 逆序数为0 2 逆序数为4 4 1 4 3 4 2 3 2 3 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1 2 1 4 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 5 逆序数为 n n 1 2 1 2第一章 行列式 3 2 1个 5 2 5 4 2个 7 2 7 4 7 6 3个 2n 1 2 2n 1 4 2n 1 6 2n 1 2n 2 n 1 个 6 逆序数为n n 1 3 2 1个 5 2 5 4 2个 7 2 7 4 7 6 3个 2n 1 2 2n 1 4 2n 1 6 2n 1 2n 2 n 1 个 4 2 1个 6 2 6 4 2个 2n 2 2n 4 2n 6 2n 2n 2 n 1 个 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 由定义知 四阶行列式的一般项为 1 ta1p1a2p2a3p3a4p4 其中t为p1p2p3p4的逆序数 由于p1 1 p2 3已固定 p1p2p3p4只能形如13 即1324或1342 对应的逆序数t分别为 0 0 1 0 1 或0 0 0 2 2 所以 a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求 4 计算下列各行列式 1 fl fl fl fl fl fl flfl flfl 4124 1202 10520 0117 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 2141 3 121 1232 5062 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 3 flfl flfl flfl flfl abacae bd cdde bfcf ef fl fl fl fl fl fl fl fl 4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a100 1b10 0 1c1 00 1d fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 解 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 4124 1202 10520 0117 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r1 r2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1202 4124 10520 0117 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r2 4r1 r3 10r1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1202 0 72 4 0 152 20 0117 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r2 r4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1202 0117 0 152 20 0 72 4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r4 7r2 r3 15r2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1202 0117 001785 00945 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 17 9 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1202 0117 0015 0015 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 0 线性代数 同济四版 习题参考答案3 2 注意到r1 r2 r4 所以原行列式值为0 3 fl fl fl fl fl fl fl fl abacae bd cdde bfcf ef fl fl fl fl fl fl fl fl adf fl fl fl fl fl fl fl fl bce b ce bc e fl fl fl fl fl fl fl fl adfbce fl fl fl fl fl fl fl fl 111 1 11 11 1 fl fl fl fl fl fl fl fl r2 r1 r3 r1 adfbce fl fl fl fl fl fl fl fl 111 002 020 fl fl fl fl fl fl fl fl adfbce fl fl fl fl fl 02 20 fl fl fl fl fl 4abcdef 4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a100 1b10 0 1c1 00 1d fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl r1 ar2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 01 aba0 1b10 0 1c1 00 1d fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 按第1列 展开 1 1 2 1 fl fl fl fl fl fl fl fl 1 aba0 1c1 0 1d fl fl fl fl fl fl fl fl c3 dc2 fl fl fl fl fl fl fl fl 1 abaad 1c1 cd 0 10 fl fl fl fl fl fl fl fl 按第3行 展开 1 1 3 2 fl fl fl fl fl 1 abad 11 cd fl fl fl fl fl abcd ab cd ad 1 5 证明 1 fl fl fl fl fl fl fl fl a2abb2 2aa b2b 111 fl fl fl fl fl fl fl fl a b 3 证明 fl fl fl fl fl fl fl fl a2abb2 2aa b2b 111 fl fl fl fl fl fl fl fl c2 c1 c3 c1 fl fl fl fl fl fl fl fl a2ab a2b2 a2 2ab a2b 2a 100 fl fl fl fl fl fl fl fl 1 3 1 fl fl fl fl fl ab a2b2 a2 b a2b 2a fl fl fl fl fl b a b a fl fl fl fl fl ab a 12 fl fl fl fl fl a b 3 2 fl fl fl fl flfl flfl ax byay bzaz bx ay bzaz bxax by az bxax byay bz fl fl fl fl fl fl fl fl a3 b3 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl 证明 fl flfl flfl flfl fl ax byay bzaz bx ay bzaz bxax by az bxax byay bz fl fl fl fl fl fl fl fl 按第1列 分裂开 a fl fl fl fl fl fl fl fl xay bzaz bx yaz bxax by zax byay bz fl fl fl fl fl fl fl fl b fl fl fl fl fl fl fl fl yay bzaz bx zaz bxax by xax byay bz fl fl fl fl fl fl fl fl 再次 裂开 a2 fl fl flfl flfl flfl xay bzz yaz bxx zax byy fl fl fl fl fl fl fl fl 0 0 b2 fl fl fl fl fl fl fl fl yzaz bx zxax by xyay bz fl fl fl fl fl fl fl fl 再次 裂开 a3 flfl flfl flfl flfl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl b3 fl fl fl fl fl fl fl fl yzx zxy xyz fl fl fl fl fl fl fl fl a3 flfl flfl flfl flfl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl b3 1 2 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl a3 b3 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl 4第一章 行列式 此题有一个 经典 的解法 fl fl fl fl fl fl fl fl ax byay bzaz bx ay bzaz bxax by az bxax byay bz fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl axayaz ayazax azaxay fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl bybzbx bzbxby bxbybz fl fl fl fl fl fl fl fl a3 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl b3 fl fl fl fl fl fl fl fl yzx zxy xyz fl fl fl fl fl fl fl fl a3 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl b3 1 2 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl a3 b3 fl fl fl fl fl fl fl fl xyz yzx zxy fl fl fl fl fl fl fl fl 这个解法 看上去很美 实则是一个错解 我们强调 行列式不能作这种 形 式 上的加法 fl fl fl fl fl fl fl fl a11 a1n an1 ann fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl b11 b1n bn1 bnn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a11 b11 a1n b1n an1 bn1 ann bnn fl fl fl fl fl fl fl fl 3 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a2 a 1 2 a 2 2 a 3 2 b2 b 1 2 b 2 2 b 3 2 c2 c 1 2 c 2 2 c 3 2 d2 d 1 2 d 2 2 d 3 2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 0 证明 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a2 a 1 2 a 2 2 a 3 2 b2 b 1 2 b 2 2 b 3 2 c2 c 1 2 c 2 2 c 3 2 d2 d 1 2 d 2 2 d 3 2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl cj c1 j 2 3 4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a22a 14a 46a 9 b22b 14b 46b 9 c22c 14c 46c 9 d22d 14d 46d 9 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl c3 2c2 c4 3c2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a22a 126 b22b 126 c22c 126 d22d 126 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 两列成比例 0 4 flfl flfl flfl flfl flfl 1111 abcd a2b2c2d2 a4b4c4d4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a b a c a d b c b d c d a b c d 证明 flfl flfl flfl flfl flfl 1111 abcd a2b2c2d2 a4b4c4d4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl cj c1 j 2 3 4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1000 ab ac ad a a2b2 a2c2 a2d2 a2 a4b4 a4c4 a4d4 a4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 展开r1 flfl flfl flfl flfl b ac ad a b2 a2c2 a2d2 a2 b2 b2 a2 c2 c2 a2 d2 d2 a2 fl fl fl fl fl fl fl fl 线性代数 同济四版 习题参考答案5 b a c a d a fl fl fl fl fl fl fl fl 111 b ac ad a b2 b a c2 c a d2 d a fl fl fl fl fl fl fl fl c2 c1 c3 c1 b a c a d a fl fl fl fl fl fl fl fl 100 b ac bd b b2 b a c2 c a b2 b a d2 d a b2 b a fl fl fl fl fl fl fl fl 展开r1 b a c a d a c b d b fl fl fl fl fl 11 c2 bc b2 a c b d2 bd b2 a d b fl fl fl fl fl a b a c a d b c b d c d a b c d 5 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x 10 00 0 x 1 00 000 x 1 anan 1an 2 a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl xn a1xn 1 an 1x an 证明 方法一 设法把主对角线上的x变为0 再按第一列展开 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x 10 000 0 x 1 000 000 x 10 000 0 x 1 anan 1an 2 a3a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl cn 1 xcn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x 10 000 0 x 1 000 000 x 10 000 00 1 anan 1an 2 a3x2 a1x a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl cn 2 xcn 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl flfl flfl x 10 000 0 x 1 000 000 0 10 000 00 1 anan 1an 2 x3 a1x3 a2x a3x2 a1x a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl cj xcj 1 flfl flfl flfl flfl flfl flfl flfl flfl 0 1 00 00 00 00 10 00 0 1 xn a1xn 1 an 1x anxn 1 a1xn 2 an 2x an 1 x2 a1x a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 6第一章 行列式 xn a1xn 1 an 1x an 1 n 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 00 0 00 0 10 0 0 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n 1 n 1 xn a1xn 1 an 1x an 1 n 1 1 n 1 xn a1xn 1 an 1x an 方法二 设法把 1全部变为0 得到一个下三角矩阵 若x 0 则Dn an 等式成立 若x 6 0 则 Dn c2 1 xc1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x00 00 0 x 1 00 000 x 1 anan 1 an x an 2 a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl c3 1 xc2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x00 00 0 x0 00 000 x 1 anan 1 an x an 2 an 1 x an x2 a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x00 00 0 x0 00 000 x0 anan 1 an x an 2 an 1 x an x2 P2P1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 这里 P2 a2 a3 x a4 x2 an xn 2 P1 x a1 a2 x a3 x2 an xn 1 得到下三角阵 所以 Dn xn 1 P1 xn a1xn 1 an 1x an 方法三 用递归法证明 记 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x 10 00 0 x 1 00 000 x 1 anan 1an 2 a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 线性代数 同济四版 习题参考答案7 则 Dn 展开c1 x fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x 1 00 00 x 1 an 1an 2 a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl an 1 n 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 10 00 x 1 00 00 x 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl xDn 1 an 1 n 1 1 n 1 xDn 1 an 所以 Dn xDn 1 an 由此递归式得 Dn xn a1xn 1 an 1x an 方法四 按最后一行展开 先看an i的代数余子式 因为 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 anan 1an 2 an i 1 an ian i 1 a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 划掉an i所在的行和所在的列 左上角是i i的方块 右下角是 n i 1 n i 1 的方块 余下全为0 则an i的 代 数 余 子 式为 注意到an i处在第n行 i 1列 1 n i 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x 1 x 1 x 1 x fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl i i fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 x 1 x 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n i 1 n i 1 xi 所以 Dn按最后一行展开 得到 Dn an an 1x an 2x2 an ixi a2xn 2 x a1 xn 1 xn a1xn 1 an 1x an 方法五 针对c1作变换 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x 10 00 0 x 1 00 00 x 00 000 x 1 anan 1an 2 a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 8第一章 行列式 c1 xc2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 0 10 00 x2x 1 00 00 x 00 000 x 1 an an 1xan 1an 2 a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl c1 x2c3 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 0 10 00 0 x 1 00 x30 x 00 000 x 1 an an 1x an 2x2an 1an 2 a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 0 10 00 0 x 1 00 00 x 00 000 x 1 Pan 1an 2 a2x a1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 这里 P an an 1x an 2x2 a1xn 1 xn 再按第一列展开 得 Dn xn a1xn 1 an 1x an 6 设n阶行列式D det aij 把D上下翻转 或逆时针旋转90 或依副对角线翻转 依次得 D1 fl fl fl fl fl fl fl fl an1 ann a11 a1n fl fl fl fl fl fl fl fl D2 fl fl fl fl fl fl fl fl a1n ann a11 an1 fl fl fl fl fl fl fl fl D3 fl fl fl fl fl fl fl fl ann a1n an1 a11 fl fl fl fl fl fl fl fl 证明D1 D2 1 n n 1 2 D D3 D 证明 D1 fl fl fl fl fl fl fl fl an1 ann a11 a1n fl fl fl fl fl fl fl fl n 1次行的相邻互换 使rn换到第一行 1 n 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a11 a1n an1 ann a21 a2n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n 2次行的相邻互换 使rn换到第二行 1 n 1 1 n 2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a11 a1n a21 a2n an1 ann a31 a3n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 n 1 1 n 2 1 fl fl fl fl fl fl fl fl a11 a1n an1 ann fl fl fl fl fl fl fl fl 1 1 2 n 2 n 1 D 1 n n 1 2 D 线性代数 同济四版 习题参考答案9 同理可证 D2 1 n n 1 2 fl fl fl fl fl fl fl fl a11 an1 a1n ann fl fl fl fl fl fl fl fl 1 n n 1 2 DT 1 n n 1 2 D D3 1 n n 1 2 D2 1 n n 1 2 1 n n 1 2 D 1 n n 1 D D 7 计算下列各行列式 Dk为k阶行列式 1 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl a1 1a fl fl fl fl fl fl fl fl 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0 解 方法一 将cn作n 2次列的相邻对换 移到第二列 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a0 01 0a 00 00 a0 10 0a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 n 2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a0 01 10 0a 0a 00 00 a0 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 再将rn作n 2次行的相邻对换 移到第二行 Dn 1 n 2 1 n 2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a10 0 1a0 0 00a 0 000 a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a1 1a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a 0 0 a fl fl fl fl fl fl fl fl n 2 n 2 a2 1 an 2 方法二 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a0 01 0a 00 00 a0 10 0a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 展开c1 a fl fl fl fl fl fl fl fl a a fl fl fl fl fl fl fl fl n 1 n 1 1 1 n 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 0 01 a 00 0 a0 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n 1 n 1 展开r1 an 1 n 1 1 1 n 1 1 fl fl fl fl fl fl fl fl a a fl fl fl fl fl fl fl fl n 2 n 2 an an 2 2 Dn flfl flfl flfl flfl flfl fl xa a ax a aa x fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 10第一章 行列式 解 方法一 将第一行乘 1 分别加到其余各行 得 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl xaa a a xx a0 0 a x0 x a 0 a x00 x a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 再将各列都加到第一列上 得 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x n 1 aaa a 0 x a0 0 00 x a 0 000 x a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x n 1 a x a n 1 方法二 将各列都加到第一列得 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x n 1 aa a x n 1 ax a x n 1 aa x fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x n 1 a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1a a 1x a 1a x fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 再将第一行乘以 1 分别加到其余各行 得 Dn x n 1 a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1aa a 0 x a0 0 00 x a 0 000 x a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x n 1 a x a n 1 方法三 升阶法 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1aa a 0 xa a 0ax a 0aa x fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n 1 n 1 ri r1 i 2 3 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1aa a 1x a0 0 10 x a 0 100 x a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n 1 n 1 若x a 则Dn 0 若x 6 a 则将 1 x acj 加到c1 j 2 3 n 1 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 a x an aa a 0 x a0 0 00 x a 0 000 x a fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n 1 n 1 1 na x a x a n x n 1 a x a n 1 线性代数 同济四版 习题参考答案11 3 Dn 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl an a 1 n a n n an 1 a 1 n 1 a n n 1 aa 1 a n 11 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 提示 利用范德蒙德行列式的结果 解 从第n 1行开始 第n 1行经过n次相邻对换 换到第1行 第n行经 n 1 次对换换到第2 行 经n n 1 1 n n 1 2 次行交换 得 或者直接由题6的结论 Dn 1 1 n n 1 2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 11 1 aa 1 a n an 1 a 1 n 1 a n n 1 an a 1 n a n n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 此行列式为范德蒙德行列式 对照范德蒙德行列式的写法知 这里的a x1 a 1 x2 a n 1 xn a n xn 1 则 xi a i 1 xj a j 1 所以 Dn 1 1 n n 1 2 Y n 1 i j 1 x i xj 1 n n 1 2 Y n 1 i j 1 a i 1 a j 1 1 n n 1 2 Y n 1 i j 1 i j 1 n n 1 2 1 n n 1 1 Y n 1 i j 1 i j Y n 1 i j 1 i j 或者 把原行列式逆时针旋转180 即作两次逆时针旋转90 由题6的结论 易知 Dn 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 11 1 a na n 1 a a n n 1 a n 1 n 1 an 1 a n n a n 1 n an fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 对照范德蒙德行列式的写法知 x1 a n x2 a n 1 x3 a n 2 xi a n i 1 所 以xi xj i j 得 Dn 1 Y n 1 i j 1 x i xj Y n 1 i j 1 i j 4 D2n fl fl fl fl fl fl fl fl fl flfl flfl flfl flfl an0bn 0 a1b1 c1d1 0 cn0dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 12第一章 行列式 解 方法一 将c2n作2n 2次列的相邻对换 移到第二列 再将r2n作2n 2次行的相邻对换 移到 第二行 D2n 1 2n 2 1 2n 2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl anbn cndn an 1bn 1 a1b1 c1d1 cn 1dn 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl andn bncn D2 n 1 又n 1时D2 fl fl fl fl fl a1b1 c1d1 fl fl fl fl fl a1d1 b1c1 所以 D2n andn bncn a1d1 b1c1 n Y i 1 aidi bici 这个方法与教材P 15的例11相同 本题的第 1 小题也用到了此方法 方法二 D2n 展开r1 an fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl an 10bn 10 0 a1b1 c1d1 0 cn 10dn 10 0 0dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 2n 1bn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 0an 10bn 1 0 a1b1 c1d1 0 0cn 1dn 1 cn000 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 展开r2n 1 andnD2n 2 bncnD2n 2 由此得递推公式 D2n andn bncn D2n 2 即D2n n Y i 2 aidi bici D2 而D2 fl fl fl fl fl a1b1 c1d1 fl fl fl fl fl a1d1 b1c1 得D2n n Y i 1 aidi bici 方法三 用Laplace定理展开 最简单 此处略 5 Dn det aij 其中aij i j 解 由aij i j 得 Dn det aij fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 0123 n 1 1012 n 2 2101 n 3 n 2n 3n 4n 5 1 n 1n 2n 3n 4 0 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 线性代数 同济四版 习题参考答案13 ri ri 1 i 1 2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1111 1 1 111 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 n 1n 2n 3n 4 0 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl cj c1 j 2 3 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1000 0 1 200 0 1 2 20 0 1 2 2 2 0 n 12n 32n 42n 5 n 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 n 1 n 1 2n 2 6 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 a11 1 11 a2 1 11 1 an fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 其中a1a2 an6 0 解 升阶法 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 111 1 01 a11 1 011 a2 1 011 1 an fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n 1 n 1 ri r1 i 2 3 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 111 1 1a10 0 10a2 0 100 an fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n 1 n 1 c1 1 a1c2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 1 a1 11 1 0a10 0 10a2 0 100 an fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n 1 n 1 c1 1 ajcj 1 j 2 3 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1 1 a1 1 a2 1 an 11 1 0a10 0 00a2 0 000 an fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl n 1 n 1 a1a2 an 1 n X i 1 1 ai 14第一章 行列式 8 用克莱姆法则解下列方程组 1 x1 x2 x3 x4 5 x1 2x2 x3 4x4 2 2x1 3x2 x3 5x4 2 3x1 x2 2x3 11x4 0 解 D fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1111 12 14 2 3 1 5 31211 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1111 01 23 0 5 3 7 0 2 18 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1111 01 23 00 138 00 514 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1111 01 23 00 1 54 000142 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 142 D1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 5111 22 14 2 3 1 5 01211 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 51 1 10 05 5 18 2 3528 0100 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 5 1 10 0 5 18 2528 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 5 1 10 4010 230 22 fl fl fl fl fl fl fl fl 142 D2 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1511 1 2 14 2 2 1 5 30211 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1511 0 7 23 0 12 3 7 0 15 18 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1511 0 132 002311 003931 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1511 0 132 00 1 19 000 284 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 284 D3 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1151 12 24 2 3 2 5 31011 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 426 D4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1115 12 1 2 2 3 1 2 3120 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 142 所以 x1 D1 D 1 x2 D2 D 2 x3 D3 D 3 x4 D4 D 1 2 5x1 6x2 1 x1 5x2 6x3 0 x2 5x3 6x4 0 x3 5x4 6x5 0 x4 5x5 1 解 系数行列式 D5 5 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 56 156 156 156 15 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 展开c1 5D4 4 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 6000 1560 0156 0015 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 5D4 4 6 fl fl fl fl fl fl fl fl 560 156 015 fl fl fl fl fl fl fl fl 5D4 4 6D3 3 由递归式D5 5 5D4 4 6D3 3知 D3 3 5D2 2 6D1 1 5 25 6 6 5 65 D4 4 5D3 3 6D2 2 5 65 6 19 211 线性代数 同济四版 习题参考答案15 D5 5 5D4 4 6D3 3 5 211 6 65 665 又 D