线性代数第三章 矩阵的运算 3.4 分块矩阵.pdf

第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 一 分块矩阵的概念一 分块矩阵的概念 二 分块矩阵的运算二 分块矩阵的运算 三 分块对角矩阵三 分块对角矩阵 3 4 分块矩阵分块矩阵 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 一 分块矩阵的概念一 分块矩阵的概念 定义定义设设A是一个矩阵 在是一个矩阵 在A的行或列之间加上一的行或列之间加上一 些线 把这个矩阵分成若干小块 用这种方法被分些线 把这个矩阵分成若干小块 用这种方法被分 成若干小块的矩阵叫做一个成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵分块矩阵 每一小块称每一小块称 为为A的的子块子块 每一个分块的方法叫做 每一个分块的方法叫做A一种一种分法分法 例如例如 31323 11 3 1314 2324 1 4142 5 25 34 434 12 2 35 1 45 22 4 aa aa a a a aaa a aa aa aa a a A a 则则A可记作可记作 21 121 3 1 22 13 2 A A A A AA A 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 1234 5678 4321 8765 1234 5678 4321 8765 如 如 则不是分块矩阵则不是分块矩阵 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 特殊分法特殊分法设矩阵设矩阵 ijs n Aa 按列分块按列分块 12 n AA AA 其中 其中 1 2 j j j nj a a A a 1 2 jn 按行分块按行分块 1 2 s A A A A 其中其中 12 iiiin Aaaa 1 2 is 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 111111 11 qq ppqppq AABB AB AABB 1 加法 加法 设设 A B 是两个是两个m n 矩阵 对它们用矩阵 对它们用 同样的分法分块同样的分法分块 二 分块矩阵的运算二 分块矩阵的运算 111111 11 qq pppqpq ABAB AB ABAB 其中子块其中子块与与为同型矩阵 则为同型矩阵 则 ij A ij B 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 2 数量乘法 数量乘法 设分块矩阵设分块矩阵 111 1 q ppq AA A AA 是是任任意意数数则则 111 1 q ppq AA A AA 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 111 111 1 1 1212 q t ppt ttq iiitjj tj BBAA AB AABB AAABB B 其其中中的的列列数数分分别别等等于于 的的行行数数 那那末末 111 1 1 1 1 q ppq t ijikkj k CC AB CC CA Bip jq 其其中中 3 乘法 乘法 把矩阵把矩阵 ikm skjs p AaBb 分块成分块成 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 11211 12222 12 p p ttpt AAA AAA A AAA 设分块矩阵设分块矩阵 11121 21222 12 t t pppt AAA AAA A AAA 则则 4 转置 转置 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 例例1 设设 10001010 01001201 12101041 11011120 AB AB求求 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 解解分块成分块成把把BA 12 1 10 01 10 0 0 0 1 0 0 1 A 1 EO AE 1010 1201 1041 1120 B 11 2122 BE BB 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 11 12122 EOBE AB AEBB 则则 11 11121122 BE A BBAB 11121 121010 111211 A BB 又又 24 11 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 11 11121122 BE AB A BBAB 于于是是 1010 1401 2433 1131 122 124133 112031 AB 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 1 矩阵的分块运算分两步完成 首先 视子块为元素 矩阵的分块运算分两步完成 首先 视子块为元素 按矩阵的运算法则作第一步运算 然后 在子块的运算按矩阵的运算法则作第一步运算 然后 在子块的运算 中 再进行实质上的矩阵运算中 再进行实质上的矩阵运算 2 在对矩阵进行分块时 必须遵守相应运算的前提条件在对矩阵进行分块时 必须遵守相应运算的前提条件 如如 相加减的矩阵 需采取完全相同的分块方法 相乘时 相加减的矩阵 需采取完全相同的分块方法 相乘时 左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数 同时还须保左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数 同时还须保 证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行数证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行数 小结 小结 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 三 分块对角矩阵三 分块对角矩阵 1 2 s A A A A O O 称为称为分块对角矩阵分块对角矩阵 形式如形式如 i A的分块矩阵 其中的分块矩阵 其中 为为阶方阵阶方阵 i n 1 2 it 定义定义 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 性质性质 1 2 t A A A A O O 1 2 t B B B B O O 1 设分块对角矩阵设分块对角矩阵 A B 阶数相同 并且分法相同阶数相同 并且分法相同 则则 11 22 tt AB AB AB AB O O 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 11 22 tt A B A B AB A B O O 12t AA A A 且且 2 分块对角矩阵分块对角矩阵可逆可逆 1 2 t A A A A O O 1 i Ait 可可逆逆 1 1 1 12 1 t A A A A O O 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 1 500 2031 021 AA 例例 求求 解 解 11 5 5 1 1 500 011 023 A 1 3111 2123 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 例题例题 解解 将将A分块 一 二行 三 四行之间各插入横线 分块 一 二行 三 四行之间各插入横线 在一 二列 三 四列之间各插入竖线 则在一 二列 三 四列之间各插入竖线 则 11 22 33 A AA A 其中其中 112233 2113 1 3242 AAA 所以所以14A 1 10000 02100 03200 0001 73 14 0002 71 14 A 10000 02100 03200 00013 00042 A 求 求 A 及及A 1 设设 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 例例3 设设 A O D C B 零矩阵证明 零矩阵证明 D 可逆 并求其逆 可逆 并求其逆 其中其中 A B 分别为分别为 k 级和级和 r 级可逆矩阵 级可逆矩阵 C为为r k 证证 A O D C B A B 0 D 可逆可逆 设逆阵设逆阵 1 1112 2122 XX D XX 矩阵 矩阵 O是是kr 1112 2122 k r EOXXA O C BXXOE 于是于是 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 即即 11 12 1121 22 k r AXE AXO CXBXO BXE 1 1 111 AO D B CAB 1 11 12 11 21 1 22 XA XO XB CA XB 1 111 1 ACAA CB OBOB 同同理理 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 4 R ABR AR B 例例证证明明两两个个矩矩阵阵的的和和的的秩秩不不超超过过这这两两个个矩矩阵阵的的秩秩 的的和和 即即 1212 11 22 m m mm A BmnA AAB B BABA B AB AB AB AB 设设是是两两个个矩矩阵阵 用用及及 分分别别表表示示 及及 的的行行向向量量 于于是是分分块块为为 证 证 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 11 22 mm AB AB AB AB 则则 1212 mm AB A AAB BB 由由此此看看出出 的的行行向向量量可可以以由由向向量量组组 线线性性表表示示 因因此此 1212 mm R ABR A AAB BB 1212 mm R A AAR B BB R AR B 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 5 min R ABR A R B 例例证证明明矩矩阵阵乘乘积积的的秩秩不不超超过过各各因因子子的的秩秩 1112111121 2122221222 1212 sn sn mmmssssn aaabbb aaabbb AB aaabbb 设设 12 1 2 s s B BBBB B B B B 用用表表示示 的的行行向向量量 那那么么 可可以以表表示示 成成分分块块矩矩阵阵 证证 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 111211 212222 12 s s mmmss aaaB aaaB AB aaaB 则则 1111221 2112222 1122 ss ss mmmss a Ba Ba B a Ba Ba B aBaBa B ABB R ABR B 由由此此看看出出 的的行行向向量量可可以以由由 的的行行向向量量组组 线线性性表表示示 所所以以 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 12 11 s s A AAAA AA AA 用用表表示示 的的列列向向量量 那那么么 可可以以表表示示 成成分分块块矩矩阵阵 11121 21222 11 12 n n s sssn bbb bbb ABA AA bbb 则则 12 111 sss kkkkknk kkk b Ab Ab A ABA R ABR A 说说明明 的的列列向向量量可可以以由由 的的行行向向量量组组 线线性性表表示示 所所以以 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 min R ABR AR B 综综合合以以上上两两方方面面 得得 用数学归纳法 可以把例用数学归纳法 可以把例5的结论推广到多个矩阵的结论推广到多个矩阵 乘积的情形 即乘积的情形 即 1212 min nn R A AAR AR AR A 第三章第三章 矩阵的运算矩阵的运算 123 63 AA 例例 已已知知 级级方方阵阵 按按列列分分块块为为 12132 5 2 34 5 ABB 且且若若 求求 解法一 解法一 113221