§3 柯西积分公式及其推广.doc

第三章 复变函数的积分(II)3-3 柯西公式【教材P36-42】(一) 单连通区域中的柯西公式柯西公式： 设复变函数在闭单连通区域（）中解析(是区域的边界线)， 则在区域内任一点 的值可由沿边界线的积分确定（积分路径沿区域边界线的正方向进行）: ， ，柯西公式说明： 解析函数在其解析区域内任一点的函数值可由函数在该区域边界上的值来确定。这是解析函数的重要性质之一。证明： 对于任意固定的，由前面的例子知: 两边乘以，得: , 因此只要证明: ，即得: ，这就证得柯西积分公式。 作为的函数在内除点外均解析。以为圆心，很小的为半径，作圆周。由复连通区域的柯西定理，得: ，上式表明右边的积分是与的半径无关的，所以:而 当时，（），由于是连续的，则: ，。从而 。，。 例1：利用柯西公式证明: ，为以为圆心，为半径的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向）。证明：设, 则例2：设代表圆周，计算积分。（为圆周内的任意点， ）解： 由柯西积分公式： ， 得： 例3： 计算 (沿圆周正向)解： 由柯西公式, 得: 例4: 计算 (沿圆周正向)解： 由柯西积分公式 , 得： 例5: 设，证明积分a. 当是圆周时，等于；b. 当是圆周时，等于；c. 当是圆周时，等于。证明：的奇点为及。a. 当是圆周时，及均在圆外，在圆内解析。由柯西定理: 。b. 当是圆周时，仅在圆内。由柯西积分公式得: 。c. 当是圆周时，仅在圆内。由柯西积分公式得：。(二) 复连通区域中的柯西公式 设函数在闭复连通区域中解析，的边界由外边界线和内边界线，组成。 则函数在闭复连通区域内任意一点的函数值可以用它在边界上的值表示出来： ， 说明：在上述积分公式中积分路径包括复连通区域的全部边界，全部积分均沿所有边界线的正方向进行。 （对外边界线，其正方向为沿逆时钟方向； 对内边界线，其正方向为沿顺时钟方向，用等表示.） (三) 无界区域中的柯西公式设 f(z) 在某一闭合曲线C的外部解析，并且当时f(z)一致地趋于零（即与幅角无关，f(z)随模的增大而趋于零），则对于闭合曲线C的外部的任意一点, 有：说明：（1）在闭合曲线C的外部解析；（2）当时一致地趋于零；（3）是闭合曲线C的外部的任意一点；（4）积分应沿闭曲线C的顺时钟方向进行（相对于闭曲线C外部的区域而言，依然为沿区域边界线的正方向进行积分）.3-4 复变解析函数的高阶导数（推广的柯西公式）由柯西公式: ，而，从而被积函数是处处连续的。因此可在积分号下对求导，得一阶导数为（相对于来讲）：，( )为表达清楚起见，积分变量以代替，以代替表示内的任一点，则上式可表为： ， ，求次导数，得：，（），） 这就是推广的柯西积分公式，它表明在区域内解析的函数可以求导任意多次，其任意阶导数均可以写成沿区域边界线的积分的形式。说明： （1）解析函数在其解析的区域内可以求导任意多次（即任意阶导数都存在），这是解析函数的又一重要特点。（2）对复连通区域，高阶导数公式依然成立（积分沿内、外边界线的正方向进行）。（3）高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分。（求导运算比积分运算要简单的多）。例1： 设代表圆周：. 计算积分。解：由推广的柯西积分公式: ,得： ，令, ， , 得例2：计算积分，其中为包围（为任意复数）的任意简单闭曲线。解：根据推广的柯西积分公式: ， 令, , 得:例3: 计算 其中 为正向圆周: 解: 由公式： , 令, , 得: 例4: 由积分之值，证明，为单位圆周。解: 在单位圆周所围区域内解析。由柯西定理得：。 （1）另一方面，在上， （2）因为为的奇函数，所以： 于是由（1）、（2）可得： 。 （3）又 的偶函数， 于是由（2）和（3）得：第三章 习 题1、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中均为圆心在原点，半径为的单位圆周： （1）； （2）。2、计算：（1）； （2）。3、 求积分（为单位圆周）， 从而证明。