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第二部分导数与微分 习题课 一重点与难点1 导数与微分的概念 2 初等函数求导方法 1 函数的和差积商的导数 2 反函数的导数 3 复合函数求导法 4 复合函数求导练习23题 5 分段函数求导 6 参数方程的一 二阶导数 7 隐函数的导数 8 幂指函数的导数 9 求高阶导数 二课堂练习1 选择 4题 2 填空 9题 3 计算 8题 4 计算题解答 第二部分导数与微分 1 导数与微分的概念 1 导数与微分的实质各是什么 它们的关系及区别是什么 它们的区别 从 x y的比值出发得导数概念 从 y的近似值出发得微分概念 导数是函数平均变化率的极限 微分是函数的局部线性化 它们的关系 函数在x点可导 函数在x点可微 例1 设 存在 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例2 若 且 存在 求 解 原式 且 联想到凑导数的定义式 机动目录上页下页返回结束 例3 设 试确定常数a b使f x 处处可导 并求 解 得 即 机动目录上页下页返回结束 是否为连续函数 判别 机动目录上页下页返回结束 设 解 又 例4 处的连续性及可导性 机动目录上页下页返回结束 1 判断是非 是 非 2 判断是非 是 非 4 一元函数y f x 在点x a处 a 有定义b 有极限c 连续d 可导e 可微等五个命题之间有什么关系 将它们的序号填入空格 单向箭头都不可逆 试举反例 d e c a b 0 sinx cscxcotx nxn 1 0 5 导数基本公式练习23题 5 导数基本公式练习23题 chx cosx shx 0 2 初等函数求导法 1 函数的和差积商的导数 2 反函数的导数 3 复合函数求导法 y lnu 链 式法则 2 0 0 4 复合函数求导练习23题 4 复合函数求导练习23题 用定义 写成分段函数再求导 含绝对值符号的函数怎么求导 在分段点处怎么求导 5 分段函数的求导 6 参数方程的一 二阶导数 解 例7 设由方程 确定函数 求 解 方程组两边对t求导 得 故 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 在y y x 的关系下 两边对x求导 7 隐函数的导数 解 对数求导法 两边取对数 两边对x求导 8 幂指函数的导数 解 对数求导法也可用于对多个因子积商的导数 幂指函数的导数 对数求导法 8 解 两边取对数 注 有的学生提出以下问题 幂指函数的导数 对数求导法 8 解 所以第一项不影响结果 当x 5 有 采用同样方法做 结果与上面相同 问题 两边取对数 对第二项 求n阶导数一般公式的方法是什么 1 先求函数前几阶导数 找出规律 写出n阶导数的一般公式 再用数学归纳法给出证明 若前几阶导数很繁 很难找出规律 可先把函数或导函数变形 2 对两个函数的积 可用莱布尼茨公式求n阶导数 9 求高阶导数 9 求高阶导数 莱布尼茨公式 常见错误 见下例 例11 由莱布尼茨公式 例12 且 存在 问怎样 选择 可使下述函数在 处有二阶导数 解 由题设 存在 因此 1 利用 在 连续 即 得 2 利用 而 得 机动目录上页下页返回结束 3 利用 而 得 机动目录上页下页返回结束 二课堂练习1 选择题 ABC ACD D B 2 填空 9题 0 7 奇 偶 2 填空 9题 3 计算题 9 设