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决策理论与方法 DecisionMakingTheoryandMethods 第三章多属性决策分析 2 学习目的 掌握多属性决策的步骤 并掌握数据预处理的方法 掌握加权和法与加权积法求解多属性决策问题 掌握TOPSIS方法及其应用 理解三元联系数方法及其应用 理解三角模糊决策方法 了解物元决策方法 3 本讲内容 3 1多属性决策概述3 2多属性决策方法3 3多属性决策应用 4 3 1多属性决策概述 3 1 1多属性决策概念多属性决策 MADM 问题广泛地存在于社会 经济 管理等各个领域中 如投资决策项目评估质量评估方案优选企业选址资源分配科研成果评价人员考评决策者要从具有多个属性的一组备选方案中进行选择 其目的是要从多个备选方案中选择一个相对最优的方案 使该方案的各个属性能最大程度地达到决策者满意 属性是指 目标 或 指标 上述各个备选方案通常都具有多个属性 而各个属性一般具有不同的单位 各个属性之间还有可能存在冲突 多属性决策往往只含有有限个预先制定的方案 满意方案的最后抉择与产生最后决策的属性满足程度有关 最终方案的选择在属性内进行判断与比较完成 5 3 1多属性决策概述 1 多属性决策的含义及特点例 早上起来去上学 发现外面下雨了 这时候需要选择一种出行方式 并选一种雨具使自己不被雨淋 现在有雨衣 雨伞 斗笠三件雨具可供选择 如果骑自行车出门最好选用雨衣 如果开车或者坐车出门最好是选择雨伞 如果步行出门则可以选择斗笠 而开车或者坐车可以最快速的到达目的地 骑自行车比较方便快捷 步行最经济 如果是女孩子出门可能还要考虑是否安全 美观 舒适 出行 不被雨淋湿就是我们的目标 显而易见我们的目标有两个 而出行有不同的雨具和交通工具可供选择 这两者我们称之为方案 快速 方便快捷 经济等这些指标我们称之为属性 或方案属性 像安全 美观 舒适这些是评价目标的指标 我们可以称为目标的属性 6 3 1多属性决策概述 经典多属性决策问题可以描述为 给定一组可能的备选方案 对于每个方案 都需要从若干个属性 每个属性代表不同的评价准则 去对其进行综合评价 决策的目的就是要从这一组备选方案中找到一个使决策者达到最满意的方案 或者对这一组方案进行综合评价排序 且排序结果能够反映决策者的意图 7 3 1多属性决策概述 例如 我国2008年9月25日发射神舟七号载人飞船 它除了要准确控制发射时间和轨道运行路线以外 神七 必须在神舟六号的基础上解决两个比较大的问题 第一是航天员有一个密封舱 在这个舱里穿航天服 离开这个舱就没有了空气 所以航天服本身就必须能供给氧气 第二是没有温度控制时 航天服能保证航天员正常的温度 某地区现有的医院现已无法完全容纳该地区的 甲流 患者 需要扩建其中一家的发热门诊 在扩建时 既要满足患者到医疗水平较好的医院 又要使扩建费用尽可能小 大学生毕业后 通常有几种考虑 考研究生 考公务员 就业 拿考研来说 通常又要考虑学校 城市 专业 研究方向 导师等因素 因此评价一个考研的问题也是典型的多属性决策问题 即使是购物 比如买衣服 总希望物美 品牌 尺寸合适 款式新颖 颜色中意 面料结实 加工质量高等 价廉 8 3 1多属性决策概述 通过多属性决策的涵义和上述例子 不难发现多属性决策问题具有以下四个特点 1 决策问题的目标及目标属性不只一个 例如 一个企业在经营过程中不仅要考虑产量尽可能多 还要考虑成本 产品性能等多个目标及目标属性 2 多属性决策问题的目标间不可公度 non commensurable 即各目标没有统一的计量单位或者衡量标准 因此难以进行比较 例如 本科生可以用学分或绩点来考核其在校期间的学习情况 发电厂可以用年发电量 亿度 年 或装机容量 万千瓦 来描述其发电能力 这两者是没有统一标准的 即不可公度 而某个集装箱的大小只能用容积 立方米 来表述 投资的多少则应该用货币 万元 表示 这两个是有统一标准的 即可公度 9 3 1多属性决策概述 3 各目标间的矛盾性 如果多属性决策问题中 存在一个备选方案能使所有目标都达到最优 也就是说存在最优解 那么目标间的不可公度性就不成问题了 但是这种情况很少出现 换言之 大量存在的现象是各属性之间存在着某种矛盾 即存在着冲突 当采用一种方案改进某一个目标值的同时 很可能使另一个目标值不能够得到改善 甚至会使这个目标值变差 例如 某化工企业想拓展业务领域 意图收购某机械厂 但是拓展领域的同时可能会给企业短期效益带来损害 而且如果收购后经营不善很可能导致企业的亏损甚至倒闭 4 决策者的偏好不同导致决策结果不同 不同的决策者对同一个决策问题会有不同的看法 决策的结果也就有所不同 所谓仁者见仁智者见智 10 3 1多属性决策概述 3 1 2多属性决策分类1 多准则决策多准则决策是指在具有相互冲突 不可公度的有限 无限 方案集中进行选择的决策 它是分析决策理论的重要内容之一 无论是多属性决策问题还是多目标决策问题 都可通称多准则决策问题 multi criteriondecisionmakingproblems 多准则决策的分类 多准则决策问题也可以像单目标决策问题那样按自然状态 这里的自然状态是广义的 分类 确定型多准则决策问题 非确定型多准则决策问题 由于求解手段的限制 现有的求解方法最多只涉及风险型多准则决策问题 多准则决策问题还可以按所涉及的决策者人数来划分 只涉及单个决策人的是一般的多准则决策问题 或称多目标决策问题 若涉及多个决策人 则称为群决策问题 最常用的多准则决策问题的分类法是按决策问题中备选方案的数量来划分 有限方案 无限方案 11 3 1多属性决策概述 1 多属性决策问题 multi attributedecisionmakingproblem 多属性决策也称有限方案多目标决策 是指在考虑多个属性的情况下 选择最优备选方案或进行方案排序的决策问题 它是现代决策科学的一个重要组成部分 这一类决策问题中的决策变量是离散型的 其中的备选方案数量为有限个 这一类问题求解的核心是对各备选方案进行评价后排定各方案的优劣次序 再从中择优 它的理论和方法在工程 技术 经济 管理和军事等诸多领域中都有广泛的应用 这一类问题也是本章研究的重点内容 2 多目标决策问题 multi objectivedecisionmakingproblem 多目标决策是指需要同时考虑两个或两个以上目标的决策 这一类决策问题中的决策变量是连续型的 即备选方案数有无限多个 因此 有些文献也称之为无限方案多目标决策问题 multi objectivedecisionmakingproblemswithinfinitealternative 在实际的经济实践中 如某企业要在几种产品中选择一种产品生产 就既要考虑获利大小 又要考虑现有设备能否生产以及原材料供应是否充足等因素来选择其中一种 只有使这些相互联系和相互制约的因素都能得到最佳的协调 配合和满足 才是最优的决策 12 3 1多属性决策概述 2 多属性决策分类对多属性决策进行分类 主要是针对近年来众多的国内外学者的研究成果进行分析 归纳出以下几个研究方向 1 属性权重完全未知且属性值以实数形式给出的多属性决策问题 对于这类问题的研究 主要的传统方法有 悲观主义 Maxmin 决策准则 乐观主义 Maxmax 决策准则 等可能性 Laplace 准则 最小机会损失准则 折衷主义准则 嫡值法等 2 属性权重完全未知且属性值以区间数形式给出的多属性决策问题 3 属性权重及属性值均以实数形式给出的多属性决策问题 4 属性权重为实数且属性值以区间数形式给出的多属性决策问题 5 只有部分属性权重信息且属性值以实数形式给出的多属性决策问题 6 只有部分属性权重信息且属性值以区间数形式给出的多属性决策问题 7 属性值以模糊语言形式给出的多属性决策问题 13 3 1多属性决策概述 3 两种决策的比较上面讨论的决策变量分别为连续型和离散型的两类多准则决策问题 他们的主要特点与区别可简单地归纳如表3 1 2 14 3 1多属性决策概述 3 1 3求解多属性决策问题的准备工作在介绍各种求解多属性决策问题的具体方法之前 我们先要介绍求解的前期准备工作 包括决策问题的描述 相关信息的采集 即形成决策矩阵 决策数据的预处理和方案的初选 或称为筛选 1 多属性决策的解题步骤用规范化的方法求解一个多属性决策问题的全过程如图3 1 2所示 第一步是提出问题 这时对所要面临的问题的认识是主观而含糊的 所提出的目标也是高度概括的 第二步是明确问题 这时要使目标具体化 要确定衡量各目标达到程度的标准即属性和属性值的可获得性 并且要清楚地说明问题的边界与环境 第三步是构造模型 要选择决策模型的形式 确定关键变量以及这些变量之间的逻辑关系 估计各种参数 并在上述工作的基础上产生各种备选方案 第四步是评价优化 要利用模型并根据主观判断 采集或标定各备选方案的各属性值 并根据决策规则进行排序或优化 第五步是根据上述评价结果 择优付诸实施 以上各步骤的顺序进行只是一种理想的多准则决策流程 从第三步开始 就有可能需要返回前面的策一步进行必要的调整 甚至从头开始 决策问题愈复杂 反复的可能性就愈大 重复的次数也愈多 15 3 1多属性决策概述 16 3 1多属性决策概述 17 3 1多属性决策概述 例3 1 1设某连锁快餐店在某地区现有6个分店 由于无法完全满足该地区用餐 送餐需求 需要扩建其中的一个分店 在扩建时既要满足就近送餐的要求 又要使扩建的费用尽可能小 至于所扩建分店的用餐环境 送餐质量我们稍后再考虑 经过调研 获得如表3 1 4所示的决策矩阵 3 1多属性决策概述 例3 1 2为了客观地评价某城市5个街区 监管部门组织了一次评估 选择其中一个作为示范性街区 由于所评价的街区包括商业街 小型工业园区 城市绿化用地 文化娱乐街 住宅区等 所以有关部门收集了一些数据作为评价标准 对于评选示范性街区 不是单凭绿化面积大或者税收收入多就能当选的 而是要综合考虑各街区的各个属性指标 表3 1 5中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选的四种典型属性和经过调整了的数据 19 3 1多属性决策概述 2 数据预处理数据预处理又称属性值的规范化 主要有如下三个作用 要求 第一 属性值有多种类型 有些指标的属性值越大越好 如人均绿地面积 税收等 称为效益型指标 有些指标的值越小越好 如扩建分店的费用 平均送餐距离等 称为成本型指标 另有一些指标的属性值 既非效益型又非成本型例如表3 1 5中示范性街区的评估中的人均绿地面积 街区绿地面积并不是像城市绿地面积那样越大越好 否则远郊甚至山区就会毋庸置疑的成为示范区了 一个街区所指的是城市里的一条街或者一个小区 其经济贡献的大小往往不容忽视 人均绿地面积过大说明该街区的土地利用率过低 对经济发展贡献较小 而且无人区过大往往会成为暴力犯罪高发场所 治安管理难度较大 人均绿地面积过小则居住过于拥挤 人口密集 居民生活质量较差 商业 工业等较少 财政收入很低 这几类属性放在同一个表中不便于直接从数值大小判断方案的优劣 因此需要对决策矩阵中的数据进行预处理 使表中任一属性下性能越好的方案经过变换后其属性值越大 20 3 1多属性决策概述 第二 非量纲化 多属性决策与评估的困难之一是目标间的不可公度性 即在属性值表中的每一列数的单位 量纲 都不相同 即使对同一属性 采用不同的单位计量 表中的数值就会不同 在用多属性决策方法进行分析评价时 需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响 这就是非量纲化 或者说是设法消去 而不是简单删除 量纲 即仅用数值的大小来反映属性值的优劣 第三 归一化 属性值表中不同属性的属性值的数值大小差别很大 如街区税收即使已经以万元为单位 其数量级还是成百上千 而在住宅商品房面积 交通事故死亡率的数量级是个位数或小数 为了直观 更为了便于采用各种多属性决策方法进行评价 需要把属性值表中的数值进行归一化 即把表中数均变换成0 1的区间上 在大部分情况下 数据预处理的本质是要给出某个属性的属性值在决策人评价方案优劣时的实际价值 下面我们介绍几种常用的数据预处理方法 21 3 1多属性决策概述 22 3 1多属性决策概述 23 3 1多属性决策概述 24 3 1多属性决策概述 25 3 1多属性决策概述 26 3 1多属性决策概述 27 3 1多属性决策概述 28 3 1多属性决策概述 向量规范化 29 3 1多属性决策概述 30 3 1多属性决策概述 31 3 1多属性决策概述 数量化在进行定性比较时 各对方案间的属性值应该比较接近 否则定性定量分析没有多大意义 如果个别情况下属性值之间相差过大时 应该把 过大的 分解 过小的 聚合 当比较的属性值比较接近时 通常人们的判断习惯用相等 当 较好 好 很好和最好这类语言表达 类似地有较差 差 很差和最差共9个定性等级 心理学家G A Miller经过试验表明 在某个属性上对若干个不同物体进行辨别时 普通人能够正确区别的等级在5级至9级之间 所以 推荐定性属性量化等级取5至9级 可能时尽量用9个等级 定性属性必然由于关系错综复杂 才不能形式化 所以通过人的比较判断得到的量化值 大多用于序数标度 任何单调变换都是允许的保序变换 少数情况能达到区间标度 亦可以进行任何的线性变换 因此量化后的数值范围取在实数轴的任一个区间均可 为了习惯与方便 推荐取0 10间的整数 其对应关系如表3 1 11所示 极端值0和10通常不用 留给极特殊的情况使用 32 3 1多属性决策概述 表3 1 11定性等级量化表 3 1多属性决策概述 3 方案筛选当方案集X中方案的数量太多时 在使用多属性决策或评价方法进行正式评价之前就应当尽可能筛除一些性能较差的方案 以减少评价的工作量 常用的方案预筛选方法有三种 34 3 1多属性决策概述 35 3 1多属性决策概述 36 3 1多属性决策概述 37 3 1多属性决策概述 2 确定权的常用方法多属性决策问题的特点 也是求解的难点在于目标间的矛盾性和各目标的属性值不可公度 其中不可公度性可通过属性矩阵的规范化部分解决 但这些规范化方法无法反映目标的重要性 解决各目标属性之间的矛盾性则需要引入权 weight 这一概念 权是目标重要性的度量 即衡量目标重要性的手段 权这一概念暗含下列几重因素 决策人对目标属性的重视程度 各目标属性值的差异程度 各目标属性值的可靠程度 权应当综合反映三种因素的作用 而且通过权 可以通过各种方法将多属性决策问题化为单属性问题求解 如前所述 权是目标重要性的数量化表示 但在目标较多时 决策人往往难于直接确定每个目标的权重 因此 通常的做法是让决策人首先把各目标做成对比较 这种比较可能不准确 也可能不一致 例如 决策人虽然认为第一个目标的重要性是第二个目标重要性的3倍 第二个目标的重要性是第三个目标重要性的2倍 但他并不认为第一个目标的重要性是第三个目标重要性的6倍 因此 需要用一定的方法把目标间的成对比较结果聚合起来确定一组权 常用的有如下两种方法 38 3 1多属性决策概述 39 3 1多属性决策概述 40 3 1多属性决策概述 41 3 1多属性决策概述 42 3 1多属性决策概述 43 3 1多属性决策概述 44 3 1多属性决策概述 45 3 1多属性决策概述 3 最低层目标权重的计算复杂的多属性决策问题的目标往往具有层次结构 根据不同层次的目标之间的关系 可以把多层次的目标体系分成两种 一种是树状结构 如图3 1 4 a 所示 其中较低层次的目标只与上一层目标中的一个目标相关联 另一种是网状结构 如图3 1 4 b 所示 其中较低层次的某些目标与上一层目标的两个或两个以上的目标相关联 46 3 1多属性决策概述 47 3 1多属性决策概述 48 3 1多属性决策概述 49 3 1多属性决策概述 50 3 2多属性决策方法 51 3 2多属性决策方法 52 3 2多属性决策方法 加权和法由于其简单 直观 明了 成为人们最经常使用的多属性决策评价方法 采用加权和法的关键在于确定指标体系 并且设定各最低层指标的权重系数 有了指标体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表 有了权重系数 具体的计算和排序就相当简单了 但是以往的各种实际评估 决策过程中总要用相当大的精力和时间用来确定指标体系和设定权 53 3 2多属性决策方法 但是 加权和法常常被人们不适当地使用 这是因为许多人并不清楚使用加权合法意味着承认如下假设 指标体系为树状结构 每个属性的边际价值是线性的 优劣与属性值大小成比例 每两个属性价值都是相互独立的 属性间的完全可补偿性 一个方案的某个属性无论多差都可用其他相对较好的属性来补偿事实上 以上这些假设往往不成立 首先 指标体系通常是网状的 其次 属性的边际价值常常是局部线性的 甚至有时最优值为给定区间 或点 属性间的价值也极难满足其独立性条件 即使是满足独立性 有时也极难验证其满足 属性间通常只是部分的 有条件的可补偿 因此 使用加权和法要十分谨慎 对网状指标体系可以用层次分析法中的权重设定法 网状指标权重递推法来设定最低层权重 如果属性的边际价值函数为非线性的 需要用其他的数学方法进行数据预处理 通过适当处理 属性间的不完全补偿性也可得到改善 本章不作介绍 我们只需要认识到加权和法本身存在着种种局限性 需要采取相应的补救措施 那时加权和法仍是一种简明且有效的多属性评价决策方法 54 3 2多属性决策方法 2 层次分析法 AHP 层次分析法的求解步骤如下 步骤1由决策人利用表3 1 11或表3 1 12构造矩阵A 步骤2用本征向量法求和w 步骤3矩阵A的一致性检验 若最大本征值大于表3 1 13中给出的同阶矩阵相应的时则不能通过一致性检验 应该重新估计矩阵A 直到小于通过了一致性检验时 求得的w才有效 55 3 2多属性决策方法 步骤4对各方案排序 各备选方案各属性值已知时 可以根据指标的大小排列出方案i i 1 m 的优劣次序 各备选方案在各目标下属性值难以量化的时候 可以通过在各目标下优劣的两两比较 仍利用表3 1 11或3 1 12 求得每个目标下各方案属性的权重 再计算各方案的总体权重 根据总体权重的大小排出方案优劣次序 56 3 2多属性决策方法 例3 2 1设国际奥委会拟从五个候选城市 巴黎 伦敦 莫斯科 纽约和马德里 中选一个城市成为2012年奥运会主办城市 2012年夏季奥运会奥运会主办城市评选共有12个程序 我们称之为属性 为了便于分析我们从中选择3个候选城市 伦敦 莫斯科 纽约 和6个属性 这6个属性是 政府的支持 财政 法律保证和公众意见 安全 运动场馆 奥运村 关于这六个属性的重要性 国际奥委会设定的属性重要性矩阵A为 3 2多属性决策方法 58 3 2多属性决策方法 用上述近似算法求得例3 2 1中矩阵A的 6 453 小于6阶矩阵的临界值 6 62 可以通过一致检验 这是的本征向量为由于在本示例中 每个候选城市的属性值无法量化 只能采用上述方案排序法之 通过在各属性下各方案对优劣的比较求得每个属性下各方案的权 三个候选城市伦敦 莫斯科 纽约分别记作X Y Z 设在各属性下比较的结果 称为比较矩阵 59 3 2多属性决策方法 60 3 2多属性决策方法 61 3 2多属性决策方法 3 加权积法 1 基本思路与运算在使用一般加权和法或层次分析法求解多属性决策问题时 都默认了各目标属性值之间的线性可补偿性 而事实上 很多属性决策问题中的属性值之间是不可补偿的 即使在一定范围内是可以补偿的 但这种补偿往往是非线性的 我们先看一个例子 图3 2 1所示为可持续发展评价指标体系框架 62 3 2多属性决策方法 63 3 2多属性决策方法 在设定第二层各目标的权重wj并由下层目标或属性值求得各目标的评价指数ej后 可继续用适当方法求解区域可持续发展能力的总的评价指数 由于经济 社会 环境和资源各目标之间的不完全可补偿性 显然不宜用加权和法 而可以用加权积的方法计算方案i的综合评价指数Ci 即 3 2 5 式中 j 1 2 3 4分别表示经济 社会 环境和资源四个分目标 再按Ci 的大小确定方案的优劣 为了避免加权积法算出的综合评价指数数值太小 ej的最优值可以取10或100 也可以采用随后将介绍的式 3 2 7 和式 3 2 8 计算 考虑到经济与社会这两个分目标之间有一定的可补偿性 环境和资源之间也有一定的可补偿性 经济 社会与环境 资源之间没有可补偿性 则也可以用加权和与加权积的混合算法计算综合评价指数 3 2 6 64 3 2多属性决策方法 2 加权积与加权和法的对比下面举一个例子 双重属性的决策问题 比较一下加权积法与加权和法评价结果的差异 这两个属性的权重相同 即w1 w2 0 5 属性值ei1和ei2分别简记为e1和e2 加权和法用式 3 2 1 来计算方案i的综合评价指数Ci 即Ci w1 w2 加权积法用式 3 2 5 来计算的综合评价指数 即Ci w1e1 w2e2计算 规范化的属性e1和e2分别在0 1之间取不同数值 用两种方法计算的综合评价指数排列在表3 2 3中 表中每一格中加权和法的计算结果放在逗号前面 加权积法的计算结果在逗号后面并加粗 65 3 2多属性决策方法 3 2多属性决策方法 67 3 2多属性决策方法 由式 3 2 9 可知 当即时 加权积法与加权和法的综合评价指数相等 评价指数w1e1与w2e2之差越大 加权和法与加权积法的综合评价指数之间的差别也就越大 在表3 2 4中 当e1 e2时 即在对角线上的各项 加权积法与加权和法的综合评价指数相同 w1e1与w2e2之差越大 加权积法评价结果比加权和法得到的指标小得越多 而这也正是采用加权积法的初衷 如果多属性决策问题中某些属性对方案的总体性能都不可或缺时 那么这些属性之间的补偿都是有条件的 甚至优势是完全不可补偿的 68 3 2多属性决策方法 虽然上面讨论的只是两个属性 n 2 的情况 推广到一般时以上结论仍然成立 因为加权和法实际上是用加权属性的 算术平均值 的n倍作为评价指数 而用式 3 2 7 和式 3 2 8 所计算的加权积法的评价指数是加权属性的 几何平均值 的n倍 而算术平均值不小于 大于或等于 几何平均值 所以加权和法不小于加权积法的可补偿性 69 3 2多属性决策方法 3 加权积法属性值表的规范化由于加权积法的特殊性质 在对决策矩阵规范化时应该选用线性变换式 3 1 3 和 3 1 3 一般不采用式 3 1 4 是因为在用式 3 1 4 计算以后 成本型属性j最差的方案i的指标eij为0 其上一级的综合评价指数Ci 也为0 则该方案必将被淘汰 70 3 2多属性决策方法 3 2 2TOPSIS方法与双基点方法1 TOPSIS法的求解思路TOPSIS法是逼近理想解的排序方法 TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution 的英文缩写 它借助多属性问题的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序 设一个所属性决策问题的备选方案集为 衡量方案优劣的属性向量为Y 这时方案集X中的每个方案的n个属性值构成的向量是 它作为n维空间中的一点 能唯一地表征方案 71 3 2多属性决策方法 理想解x 是一个方案集X中并不存在的虚拟的最佳方案 它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好的值 而负理想解x0则是虚拟的最差方案 它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最差的值 在n维空间中 将方案集X中的各备选方案xi与理想解x 和负理想解x0 的距离进行比较 既靠近理想解又远离负理想解的方案就是方案集X中的最佳方案 并可以据此排定方案集X中各备选方案的优先序 用理想解求解多属性决策问题的概念简单 只要在属性空间定义适当的距离测度就能计算备选方案与理想解 TOPSIS法所用的是欧氏距离 至于既用理想解又用负理想解是因为在仅仅使用理想解时有时会出现某两个备选方案与理想解的距离相同的情况 为了区分这两个方案的优劣 引入负理想解并计算这两个方案与负理想解的距离 与理想解的距离相同的方案离负理想解远者为优 72 3 2多属性决策方法 TOPSIS法的思路可以用图3 2 2来说明 图3 2 2表示两个同性的决策问题 f1和f2为加权的规范化属性 均为效益型 方案集X中的六个方案x1到x6根据它们的加权规范化属性值标出了在图中的位置 并确定理想解x 和负理想解x0 图中的x4与x5与理想解x 的距离相同 引入它们与负理想解x0的距离后 由于x4比x5离负理想解远 就可以区分两者的优劣了 73 3 2多属性决策方法 解对理想解的相对接近度 若为理想解 则若为负理想解 则愈接近1 则相应的方案愈应排在前面 74 3 2多属性决策方法 75 3 2多属性决策方法 76 3 2多属性决策方法 3 TOPSIS法示例用TOPSIS法求解例3 1 2 第一步 对表3 1 6所示属性值向量规范化 所得属性矩阵见表3 1 9 第二步 设权向量仍为w 0 2 0 3 0 4 0 1 得加权的向量规范化属性矩阵如下 第三步 由上表和式 3 2 12 式 3 2 13 得理想解为 0 1939 0 2000 0 2782 0 01655 负理想解为 0 00692 0 0000 0 01592 0 06482 77 3 2多属性决策方法 78 3 2多属性决策方法 与加权和法相比 方案与的排序有较大不同 也许最广为人知和广泛使用的多属性决策方法是加权和法 这种方法如此简单 以至于一些决策者不愿接受TOPSIS法的结果 TOPSIS法使用属性的基数偏好信息 需要属性的权重集 它的解依赖于决策者赋权方法 幸好已有一些可靠的确定权重的方法可以增强TOPSIS法的实用性 此外 TOPSIS法假设每个属性具有单调递减的效用 这个单调性的要求是合情合理的 非单调性的效用是很少见的 例如房子中最优房间数或身体中血糖数目等 这些情况的最优效用处于属性值域的中间 79 3 2多属性决策方法 4 双基点法及其分析 80 3 2多属性决策方法 81 3 2多属性决策方法 82 3 2多属性决策方法 83 3 2多属性决策方法 3 2 3物元决策方法1 物元概念物元决策方法 matter elementmethod 是基于物元分析法的一种多属性决策方法 物元理论包括物元可拓性和物元变换 物元理论的核心就是研究物元的可拓性 物元的变换以及物元变换的性质 物元分析是用来处理在某些情况下 用通常的方法无法达到预期目标的不相容问题的一种分析方法 物元分析 matter elementanalysis 是在可拓集合论的基础上研究解决矛盾问题的规律和方法 它是系统科学 思维科学 数学交叉的边缘学科 是贯穿自然科学和社会科学的应用较广的横断学科 它可以将复杂问题抽象为形象化的模型 并利用这些模型研究基本理论 提出相应的应用方法 84 3 2多属性决策方法 2 物元分析法的基本步骤利用物元分析方法可以建立事物多属性多等级的性能参数的质量评定模型 能以定量的数值来表示评定结果与各等级集合的关联度大小 并可据此判断待评物元的所属级别 从而能够较完整地反映事物质量的综合水平 并易于用计算机进行规范化处理 物元分析法的具体评价步骤如下 1 建立物元矩阵在物元分析中 把事物N及其特征c和特征的量值x的三元有序组合足R N c x 称为物元 如果事物N需要用n个特征c1 c2 cn和对应量值x1 x2 xn来描述 则称为n维物元 并用矩阵表示为 3 2 29 85 3 2多属性决策方法 2 经典域和节域物元矩阵当N0为标准事物关于特征ci的量值范围voi aoi boi 时 经典域的物元矩阵可表示为 3 2 30 式中Noj为事物的第j个等级 j 1 2 m ci为事物第j个等级的第i个特征 xoij为Noj关于ci的量值范围 即各等级关于对应特征的经典域 将标准事物No和可转化为标准的事物所组成的物元Rp称为节域物元 而xpi 为节域物元关于特征ci的比相应标准扩大了的最值范围 节域物元矩阵表示为 3 2 31 式中P为事物等级的全体 Xpi为P关于ci的量值范围 显然 86 3 2多属性决策方法 3 确定待评物元 3 2 32 式中Pk为待评事物 k 1 2 l xi为Pk关于ci的量值 即各特征的实际数据 4 关联函数及关联度计算关联函数表示物元的量值取值为实轴上一点时符合要求的范围程度 将有界区间x0 a b 的模定义为 3 2 33 则某一点到区间x0 a b 的距离为 3 2 34 87 3 2多属性决策方法 令关联函数为 3 2 35 式中表示点xi与有限区间x0 a b 的距离 表示点xi与有限区间xpi api bpi 的距离 则待评事物Pk关于第j个等级的关联度为 3 2 36 式中ai为权系数 88 3 2多属性决策方法 5 权系数计算采用层次分析法确定各个特征的权系数 1 2 n 必须满足 3 2 37 6 评价等级及标准根据最大隶属原则 在Yj Pk 中寻求最大关联函数值 3 2 38 则待评事物应归属于第j个等级 89 3 2多属性决策方法 3 2 4三角模糊数决策方法1 三角模糊数之间的距离的定义 1 先定义三角模糊数之间的算术运算规则 设为两个三角模糊数 则有 其中为实数 3 2 39 为之间的距离 90 3 2多属性决策方法 2 设一个项目可以分解成m个评价指标 在各个评价指标下的评价指标下的评价值分别为v1 v2 vm m个评价指标的权重分别为u1 u2 um 则综合评价值 在此 考虑把各个评价指标的权重一级评价指标下项目的评价值表达成三角模糊数 使决策者以及评价对象本身所具有的模糊性有效地利用起来进行综合评价 设评价指标i下的模糊评价值为 评价指标i的模糊权重为 i 1 2 m 显然 一般情况下 各评价指标下模糊权重的和为模糊数 即 考虑到模糊权重 应满足统计学上权重的要求 即 在此定义附加这一限制条件的m个评价指标模糊权重向量 91 3 2多属性决策方法 92 3 2多属性决策方法 93 3 2多属性决策方法 94 3 2多属性决策方法 95 3 2多属性决策方法 96 3 2多属性决策方法 一般地 若所有决策方案在属性sj下的评价值差异越小 说明该属性对方案决策与排序所起的作用越小 反之 如果属性sj能使所有决策方案的评价值有较大偏差 则说明其对方案决策与排序将起重要作用 因此 从对决策方案进行排序的角度考虑 方案评价值偏差越大的属性应该赋予较大的权重 特别地 若所有决策方案在属性sj下的评价值无差异 则属性sj对方案排序将不起作用 可令其权重为零 属性评价值的差异可以用标准差来衡量 设 3 2 47 表示属性sj j 1 2 n 下各个方案的平均评价值 则 3 2 48 97 3 2多属性决策方法 表示在属性sj下各决策方案评价值的标准差 其中可利用式 3 2 39 求得 根据上面的分析 属性权重向量的选择应使得在所有属性下各个决策方案评价值的加权标准差之和最大 为此 令则求解权重向量 的问题就等价于求解下列规划问题 3 2 49 计算出最优属性权重之后 就可以根据三角模糊数的加权平均求出各个方案的对所有属性的综合评价值 然后利用三角模糊数的排序方法对其排序 最优所对应的方案即为最优方案 98 3 2多属性决策方法 3 2 5基于三元联系数多属性决策方法1 三元联系数集对是指具有一定联系的两个集合组成的对子 集对分析则是对两个集合的特性作出对立同一分析 主要数学工具是三元联系数 定义3 2 2给定两个集合A和B 它们组成集对H A B 在某一具体问题背景W下 对集对H的特性展开分析 设集对H所具有的特性总数为N 其中在S个特性上为两个集合所共同具有 在P个特性上两个集合相互对立 在其余F N S P个特性上两个集合既不相互对立又不为这两个集合所共同具有 称 3 2 50 为集对H A B 在问题背景W下的三元联系数 令 可将简记为 a bi cj 3 2 51 式中 a为同一度 表示两个集合的同一程度 b为差异度 不确定度 表示两个集合的差异不确定程度 c为对立度 表示两个集合的对立程度 a b c 0 1 为实数 且满足归一化条件a b c 1 i为差异度系数 i 1 1 有时i仅起标记的作用 j为对立度系数 规定其恒取值 1 有时j也仅起标记的作用 99 3 2多属性决策方法 式 3 2 51 具有以下性质 1 2 a c相对确定 b相对不确定 3 是系统的 例如 三元联系数可用 投票模型 解释 假设投票10人 其中有6人赞成 3人弃权 1人反对 100 3 2多属性决策方法 101 3 2多属性决策方法 步骤1根据下面的定义3 2 3计算每个方案的加权平均广义同一度k 1 2 n 3 2 52 定义3 2 3设 a bi cj为三元联系数 根据 顺势取值法 令i同时取a b c 即将b分成 ab bb 和 cb 三个部分 其中 ab