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一种新的非线性振动物理模型 吴志根 刘国华 浙江大学水工结构与水环境研究所 杭州 310058 摘要 为建立合理反映损伤的混凝土结构振动控制方程 考虑损伤结构引起的拍振现象 引入弹簧线圈和阻尼线 圈 分别串联组成复刚度弹簧和复阻尼器 建立一种新的非线性振动物理模型 通过构建等效刚度和等效阻尼 给 出一般化振动方程的数学模型和关键参数的物理意义解释 最后通过对单自由度自由振动的能量分析 建立结构 损伤与控制方程关键参数的单调变化关系 为寻找反映结构非线性损伤变化的识别指标提供了另一种思路 关键词 损伤结构 非线性振动 物理模型 复刚度 复阻尼 中图分类号 TU 528 01 T U317 T H113 引 言 目前 应用较多的非线性振动方程是Duffing 方 程 1 和Van der Pol 方程 2 前者通过引入位移的三 次立方项来考虑恢复力的非线性变化 以此简化刚 度的非线性变化 但只考虑了弹性项的非线性 后者 通过引入速度的三次立方项来考虑阻尼力的非线性 变化 考虑了阻尼项的非线性 当结构进入塑性发展 阶段 材料进入强非线性时 微裂纹扩展形成宏观裂 缝 裂缝在振动情况下发生一定程度的张开和闭合 损伤严重时甚至不能完全闭合 此时裂缝周围形成 分块损伤区域 同时引起应力 应变关系的相对滞后 和振动耗散能量的变化 这在典型的滞回曲线中得 到体现 因此有必要同时考虑滞回曲线引起的非线 性弹性力和阻尼力变化 建立最一般化的控制方程 Zonta 等 3 提出了同时考虑阻尼力和弹性力滞后的 复数方程 以下简称 Zonta 方程 通过建立虚数来 反映滞后关系 即引入弥散阻尼和滞后阻尼 将黏滞 阻尼和线弹性刚度分别变成复阻尼和复刚度 但只 解释了复阻尼中弥散阻尼引起拍振现象的物理意 义 缺少明确的物理模型来支撑数学方程 本文通过引入弹簧线圈和阻尼线圈 分别串联 组成复刚度弹簧和复阻尼器 建立一种新的非线性 振动物理模型 通过构建等效刚度和等效阻尼 给出 最一般化的数学模型和关键参数的物理意义解释 最后通过单自由度自由振动能量分析 建立结构损 伤与控制方程关键参数的单调变化关系 1 新的物理模型及物理意义 1 1 物理模型 将弹簧串联一个弹簧线圈 组成复刚度弹簧 将 黏滞阻尼器串联一个阻尼线圈 组成复阻尼器 建立 单自由度非线性振动系统 如图1 所示 由于损伤混 凝土结构会出现拍振现象和频率分离 即某一频率 的信号会出现相近频率的旁波 这里假定原有频率 信号的弹簧刚度和阻尼分别为k 和c 旁波的弹簧刚 度和阻尼分别为h 和d 两个弹簧的变位存在一定的 相位差 旁波信号的非同步刚度叠加 使得振动方程 呈现非线性的特点 图 1 单自由度非线性振动系统 自由振动微分方程为 mx c id x k ih x 0 1 由质量归一化后得到最一般化的控制方程 x 2wn i x w2 n 1 i x 0 2 其中 k m w 2 n h m w 2 n c m 2 wn d m 2 w n 分别是黏滞阻尼比 弥散阻尼比和滞后 阻尼比 c id 为复阻尼 i 为复阻尼比 k ih 为复刚度 1 i 为复刚度比 第30 卷第4 期 2010 年8 月 振动 测试与诊断 Journal of Vibration Measurement 浙江省研究生创新基金资助项目 编号 YK2008025 收稿日期 2010 03 31 修改稿收到日期 2010 05 10 从式 2 看出 虽然本文建立的振动控制方程与 文献 3 提出的最一般化振动方程是一致的 但是本 文提出了新的物理模型 并给出所有关键参数物理意 义的解释 由于黏滞阻尼比等同于线性方程中的阻尼 比 具有相同的物理意义 这里不再给出详细解释 1 2 复刚度的物理意义 在直角坐标系中 以R iX 形式表示复刚度 图2 a 为复刚度的矢量平面 由实部 刚度k 和虚部 刚度抗h 组成 刚度模 Z 为复刚度的绝对大小 为复刚度Z 与实轴的夹角 关系如下 Z k2 h2 3 arctan h k arctan 4 图2 复刚度与复阻尼复数平面 其中 刚度k 为复刚度的实部 是弹簧变形的刚度系 数 起到能量储存的作用 刚度抗h 为复刚度的虚 部 同样起到能量储存的作用 位移xh与刚度k 的位 移 x k存在一定的相位角 其刚度比值 代表位移超 前角度 如式 4 和图3 所示 由于存在一定的相位差 因此联合弹簧的等效 刚度是时间的函数 存在一定的范围 当 0 时 等效刚度最大值为 kmaxz 1 1 k 1 h h 1 mw 2 n 1 1 5 当 90 时 等效刚度最小值为 kminz k 6 即总刚度为 kz kminz kmaxz 7 某一时刻联合弹簧势能Es为 Es 0 5kzx t 2 0 5mw 2 nx t 2 1 1 1 1 8 Ewins 4 定义刚度抗h 为滞后阻尼 跟黏性阻尼 具有相似的作用 取值可以为线性阻尼和非线性阻 尼 但对大多数结构非线性取法更切合实际情况 滞 后阻尼主要来源于材料内阻和部件结合面之间的干 摩擦 随着损伤的加剧 裂纹的扩展和结合面之间的 加剧摩擦引起滞后阻尼的增加 本文定义的刚度抗 h 为旁波的作用刚度 与原有的弹簧刚度具有相似 作用 从式 8 可以看出 在实部刚度系数k 不变时 弹簧势能Es随着 的增大而增大 图 3 复刚度的实部和虚部刚度位移及相位差 1 3 复阻尼的物理意义 在直角坐标系中 用 R iX 形式表示复阻尼 图2 b 为复阻尼的矢量平面 由实部 阻尼c 和虚部 阻尼抗 d 组成 复阻尼模 Z 为复阻尼的绝对大 小 为复刚度Z 与实轴的夹角 关系如下 Z c 2 d 2 9 arctan d c arctan 10 其中 阻尼c 为复阻尼的实部 阻尼抗d 为复阻尼的 虚部 和一般的线性振动方程中的阻尼一致 阻尼c 构 成线性阻尼力 与速度成正比 方向与速度方向相反 以指数形式控制响应衰减速度 起到能量耗散作用 可用于指示结构的损伤程度 阻尼抗d 的速度相位与 阻尼c 的速度相位同样存在一定的相位差 其阻尼 比值 代表阻尼抗d 的速度超前角度 由式 10 决 定 阻尼抗d 与阻尼c 同样起到能量耗散的作用 当 0 时 等效阻尼最小值为 Cminz c 11 当 90 时 等效阻尼最大值为 Cmaxz 1 1 c 1 d cd c d 2mwn 1 12 即总阻尼为 Cz Cminz Cmaxz 13 由于只有阻尼引起耗能 因此总能量可由初始 能量减去由于阻尼引起的耗散能量 计算如下 E Ek Es E0 t 0f ddx E0 t 0 x x dt 14 其中 E0为系统的起始总能量 由起始条件确定 fd为非线性阻尼力 fd x c 2mwn 1 x 15 由于阻尼而耗散的能量为 Ed t 0f ddx 16 上式表明 随着时间增加 若系统由于阻尼而耗 散的能量恒为正 则系统的总能量单调递减 且随着 406 振 动 测 试 与 诊 断 第30 卷 黏滞阻尼比 和弥散比 的增加 阻尼耗能逐渐增 加 根据笔者的试验和文献 3 混凝土结构进入一 定损伤程度后 自由振动响应信号会出现拍振现象 文献 3 认为弥散比 可以指示裂缝引起的非线性 拍振现象 如图4 所示 并建立了 与频率的变化关 系 如式 17 式 22 所示 图 4 拍振现象 方程 2 的解为 x t A e s1t Be s2t 17 其中 A B 由初始条件决定 s1 和 s 2满足如下特征 方程 s 2 2wn i s wn 2 1 i 0 18 则特征根满足 s1 s2 2wn i 19 其虚部为 Im s1 s2 2wn 20 同时 图5 显示特征根的矢量关系为 Im s1 s2 Ims1 Ims2 q1 q2 q 21 由式 20 和式 21 得到频率分离值为 q 2wn 22 上式建立了弥散阻尼比 与拍振信号的相近频 率分离值的关系 图 5 复平面显示的频率分离 2 数值仿真分析 取单位质量m 1 kg 采样频率为100 Hz 振动 时间为 0 5 s 初始振幅为 300 mm 初始速度为 0 5 m s wn 30 Hz 0 01 0 005 0 01 采用 Matlab 里的四阶龙格 库塔法计算响应位移 根据损伤结构的响应特征 假设随着结构损伤加剧 黏滞阻尼比 弥散阻尼比和滞后阻尼比会依次增加 分别建立单因素变化的9 组数值 如表1 所示 其分 析结果如图6 图11 所示 表 1 损伤程度与损伤参数变化 单因素 损伤参数与 损伤程度 黏滞阻尼比 弥散比 滞后阻尼比 1 0 010 0 005 0 01 20 0150 0050 01 30 0200 0050 01 40 0150 0050 01 50 0150 0100 01 60 0150 0200 01 70 0150 0100 05 80 0150 0100 10 90 0150 0100 20 图6 增加黏滞阻尼比 的位移变化图 图 7 增加弥散比 的位移变化图 从图6 和图9 看出 随着黏滞阻尼比的增加 位 移响应信号和自由振动能量衰减的越快 图7 和图 10 显示 增加弥散比会出现渐强的弱拍振现象 其 407 第4 期吴志根 等 一种新的非线性振动物理模型 图8 增加滞后阻尼比 的位移变化图 图 9 黏滞阻尼比 增加下的能量变化图 图10 弥散比 增加下的能量变化图 图11 增加滞后阻尼比 的能量变化图 频率分离值分别为0 3 0 6 和 1 2 Hz 由于拍振信 号的出现减慢了衰减速度 3 s 后能量变化趋于平 缓 滞后阻尼比的增加 增大了联合弹簧的等效刚 度 引起势能的增加 图8 和图11 显示 位移响应初 期虽然衰减 但后期出现扩散 振动能量逐渐增加 因此可根据结构损伤与控制方程关键参数的单调变 化关系及位移响应信号和自由振动能量衰减的快慢 来识别损伤程度 3 结论与讨论 考虑损伤结构引起的拍振现象 引入弹簧线圈 和阻尼线圈分别组成复刚度弹簧和复阻尼器 建立 同时考虑非线性弹性力项和非线性阻尼力项的单自 由度非线性振动模型 该模型不仅符合最一般化的 振动方程 而且解释了方程中弥散阻尼和滞后阻尼 的物理意义 数值模拟表明 黏滞阻尼比和弥散阻尼 比的逐渐增加引起等效阻尼的增大 从而导致能量 耗散越快 结构响应信号衰减越快 在复刚度实部不 变的情况下 增加滞后阻尼比 即复刚度虚部 是为 了反映随着结构损伤的加剧 裂纹的扩展以及结合 面之间的加剧摩擦 引起滞后阻尼的增加 导致联合 弹簧等效刚度的增加 系统振动势能的增加导致了 总能量的增加 其表现形式是自由响应信号的扩散 和自由振动能量的增加 随着结构损伤的加重 结构实际固有频率会发 生下降 5 6 即刚度发生下降 本文在假设其不变的 基础上增加复刚度的虚部来模拟滞后阻尼的损伤变 化 总的等效刚度是否会增加取决于两部分的相对 变化 对于实际损伤结构 非线性振动方程的3 个关 键指标即黏滞阻尼比 弥散阻尼比和滞后阻尼比以 及固有频率和刚度的实际变化 都会不同程度地影 响响应信号的变化 因此如何有效识别这些参数的 变化还值得深入研究 参 考 文 献 1 Kerschen G Worden K Vakakis A F et al Past present and future of nonlinear system identification in structural dynamics J Mechanical Systems and Sig nal Processing 2006 20 505 592 2 陆明万 曹庆杰 强迫 Van der Pol 振子的动力学特性 J 力学与实践 2003 25 1 50 53 3 Zonta D Modena C Observations on the appearance of dispersive phenomena in damaged structures J Journal of Sound and Vibration 2001 241 5 925 933 4 Ewins D J M odal testing theory practice and appli cation M 2th ed Baldock Research Studies Press Ltd 2000 64 69 5 Wu Zhigen Liu Guohua Zhang Zihua et al Damage assessment using the energy dissipation ratio of accel eration signals C The4th International Symposium onLifetimeEngineeringofCivilInfrastructure Changsha Science Press 2009 324 330 6 孙晓燕 孙保沭 黄承逵 钢筋混凝土简支梁超载后动 力特性试验研究 J 振动 测试与诊断 2005 25 1 61 65 第一作者简介 吴志根 男 1986 年 8 月生 硕士研究生 主要研究方向为混 凝土结构损伤动力识别与结构耐久性 分析 E mail wzg123 408 振 动 测 试 与 诊 断 第30 卷 gauge sensor The torsional vibration of the system is investigated theoretically and experimentally In consideration of the optimization of piezoelectric torsional actuator of the intelligent system dynamic equa tions of the system are derived using the Lagrange equation and the assumed mode method T he state space expression of the dynamic system is developed T he minimum input energy of the controller is cho sen as the actuator optimization criterion Optimal position of the piezoelectric torsional actuator is ob tained using Genetic Algorithm T he obtained optimal position is reasonable An experimental system is established When the actuator is placed to the optimal position and the strain feedback control is imple mented the torsional vibration of the tube is suppressed effectively Keywords torsional vibration optimization feedback intelligent tube piezoelectric torsional actuator genetic algorithm A New Physical Model of Nonlinear Vibration Wu Zhigen Liu Guohua Institute of Hydraulic Structures Water Environment Zhejiang University Hangzhou 310058 China Abstract In order to establish a governing equation of motion to rationally describe the phenomenon of beats in the vibration of a damaged concrete structure a new nonlinear physical model is constructed by in troducing a spring coil and a damping coil into a single degree of freedom system In the model the spring coil is connected in series with the spring of the system constituting a spring with complex stiffness and the damping coil is connected in series with the damper of the system constituting a damper with complex damping By introducing both the equivalent stiffness and damping a generized governing equation of mo tion of the model and the physical explaination of its key parameters are obtained By energy analysis of the free vibration of the system a monotonic variation relationship between structural damage and the key parameters of the governing equation is created which would probably afford a new idea of finding out an index used to identify the nonlinear damage of structures Keywords damaged structure nonlinear vibration physical model complex stiffness complex damp ing On Line Fault Diagnosis of Spacecraft Attitude Control Thruster Based on Improved Maksimov Estimation Algorithm Zhang Ruf ei Zhou Jun Yu Xiaozhou Institute of Precision Guidance and Control Northwestern Polytechnical University Xi an 710072 China Abstract By considering that the present spacecraft attitude control thruster fault diagnosis systems have