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三、函数的解析表达式 2020年1月15日星期三2时25分44秒一、函数的表示法（1）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。例如：， 说明：解析式法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质；中学里研究的主要是用解析式表示的函数。（2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系式。例如：数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，以及银行里常用的“利息表”。（见课本P52页表1 国民生产总值表）说明：列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值。（3）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。（见课本P53页图2-3 我国人口出生变化曲线）说明：图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。二、求函数解析式的方法1、待定系数法已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法； 基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定系数， 代入表达式求解。例1（1）已知一次函数满足，图象过点，求； （2）已知二次函数满足，图象过原点，求； （3）已知二次函数与轴的两交点为，且，求； （4）已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点，解：（1）由题意设 ， 且图象过点， （2）由题意设 ， ，且图象过原点， （3）由题意设 ， 又， 得 （4）由题意设 ， 又图象经过原点， 得，例2、已知是一次函数，并且满足，求函数的解析式。解：设，则，又，比较系数得解得，所以所求函数的解析为。2、配凑法与换元法：涉及复合函数的表达式时常用此法已知的解析式，求时，把用代替； 已知的解析式，求时，常用配凑法或换元法。凑配法：通过观察、分析，将右端变为接受对像的表达式，然后用来替代接受对像，从而得 出函数的解析式，这种方法称为凑配法。凑配法对变形能力和观察能力有较高的要求， 其实质仍是“换元”。换元法：是在解题过程中把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替，实现变量替换，从而求出函数的解析式的方法。例3（1）已知，求； （2）已知，求解：（1） （2）法一配凑法： 法二换元法：令，则， 例4、已和，求函数的解析式。解：令即。注：运用换元法的关键在于选择适当辅的辅助元，特别要注意换元前后未知数的取值范围的变化，使求解的结果符合题意。3、分段函数解析式例5函数在闭区间上的图象如右图所示，则求此函数的解析式。解：例6、已知是奇函数，且当时，求当时的解析式。解：当时，当x0，从而又是奇函数，；。4、消去法利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，从而得到的表达式，此种方法称为消去法，也称为解方程法。例7、已知（其中都是非零常数且），求函数的解析式。解：，将，从而得由（1）（2）消去，即得，由于都是非零常数且，从而。5、构造法构造法就是在直接求解某一有困难时，可以根据已知条件，设计出“搭桥”“铺垫”性的方案，使原问题获解，或把原问题转化为新问题去求解。例8、若和都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则 不可能是（ ）。A、B、C、D、解：构造函数，则，即，将各选项代入验证，得无实数解。故选B。评析：一般情况下是两个不同的函数，面且两者之间也难以找到固定不变的内在联系，上述解法通过构造具体的简单的函数使获解，方法灵活。注：构造函数解决数学问题是有条件的，有的数学问题具备构造函数的条件；也有的数学问题无须用构造法即能够解出，这时就不必要去“画蛇添足”了。6、赋值法 通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式，此类方法称之为赋值法。例9、设是R上的函数，且满足，并且对任意实数有，求函数的解析式。解法1：令，则又，。解法2：令，得即又令，代入上式得。注：当所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数。至于取什么值，可根据题目的特征而定。7、递推法例10、设是定义在N上的函数，满足，对任意自然数有，求函数的解析式。解：，.令得，又，故，再在上式中令得. 各式相加得，。8、实际应用问题（直译法）根据实际问题求函数的表达式，要注意函数的定义域是由函数的实际意义来决定的，所以在求函数的解析式问题时，千万要注意使所求的解析式有意义，即写出函数的定义域。例11把长为的铁丝折成矩形，设矩形的一边长为，面积为，求矩形面积与一边长的函数关系式。解：设矩形一边长为，则另一边长为， （）说明：在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。例12、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示： (I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市 时间的函数关系式Q=g(t)； (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? 解析： (I)由图l可得市场售价与时间的关系为 由图2可得种植成本与时间的函数关系为 （0t300）。 (II)设t时间的纯收益为h(t)，由题意得h(t)=f(t)-g(t) 再求h(t)的最大值即可。 注：观察图1，知f(t)应是一个关于t的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100。 三、练习题：1、已知二次函数的最大值等于13，且求函数的解析式。2、已知函数的图像经过点和，求函数的解析式。3、已知，求函数的解析式。4已知，那么f(8)等于 A B8 C18 D5若，则方程的根 A B C2 D26、若的定义域是,则的定义域是（ ）A. B. C. D.7、已知,则（ ）A. B. C. D.8、已知的定义域为，则的定义域为？9、已知，求；10、已知，求；11、已知是一次函数，且满足，求；12、已知满足，求13、已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值证明：； 求的解析式；求在上的解析式14、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费基本费超额费损耗费若每月用水量不超过最低限量时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费元；若用水量超过时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每付元的超额费已知每户每月的定额损耗费不超过5元该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：月份用水量水费（元）1239152291933根据上表中的数据，求、四、参考答案1、解：，所以函数以为对称轴，又函数的最大值等于13，从而设，将代入得，。2、解：由于函数的图像经过点和从而代入得，解得，从而所求函数的解析式为。3、解：由于（）从而。4、D 5、A 6、A 7、B 8、9、解：， （或）10、解：令（），则，11、解：设， 则， ，12、解： ， 把中的换成，得 ， 得，注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法13、解：是以为周期的周期函数，又是奇函数，当时，由题意可设，由得，是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而