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第第16章章 量子物理基础量子物理基础 1热辐射热辐射普朗克能量子假设普朗克能量子假设 2光电效应光电效应 爱因斯坦光子假说爱因斯坦光子假说 3康普顿散射康普顿散射 4氢原子光谱氢原子光谱 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论 5微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性 不确定关系不确定关系 6波函数波函数 一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程 7氢原子的量子力学描述氢原子的量子力学描述 9原子的电子壳层结构原子的电子壳层结构 8电子自旋电子自旋 四个量子数四个量子数 16 1热辐射热辐射普朗克能量子假设普朗克能量子假设 主要内容 主要内容 1 热辐射现象热辐射现象 2 黑体辐射的规律黑体辐射的规律 3 普朗克公式和能量量子化假设普朗克公式和能量量子化假设 第第16章章 量子物理基础量子物理基础 一一 热辐射热辐射 物体辐射总能量及能量按波长物体辐射总能量及能量按波长 分布都决定于分布都决定于温度温度 人头部热辐射像 人头部热辐射像 例如 加热铁块例如 加热铁块 1400K 800K 1000K1200K 物体内的分子 原子受到热激物体内的分子 原子受到热激 发而发射电磁辐射的现象 发而发射电磁辐射的现象 单位时间内从物体单位表面发出的波长在单位时间内从物体单位表面发出的波长在 附近单位波长附近单位波长 间隔内的电磁波的能量 间隔内的电磁波的能量 0 M TMT d 1 1 辐射能量按波长的分布辐射能量按波长的分布 光谱辐射光谱辐射出射度出射度MM 2 2 总辐射总辐射出射度出射度MM 单位时间内从物体单位表单位时间内从物体单位表 面辐射的各种波长的总辐面辐射的各种波长的总辐 射能射能 MM与与T T 物体材料有关 物体材料有关 M M T d d TM 物体辐射电磁波的同时 也吸收电磁波物体辐射电磁波的同时 也吸收电磁波 物体辐射本领越大物体辐射本领越大 其其吸收本领也越大吸收本领也越大 室温室温高温高温 白底黑花瓷片 白底黑花瓷片 不辐射可见不辐射可见 光时 黑花光时 黑花 吸收大 反吸收大 反 射少所以暗射少所以暗 辐射可见光辐射可见光 时 黑花吸时 黑花吸 收大 辐射收大 辐射 大所以变亮大所以变亮 平衡热辐射平衡热辐射 辐射和吸收达到平衡时 物体的温度不再变辐射和吸收达到平衡时 物体的温度不再变 化 此时物体的热辐射称为平衡热辐射化 此时物体的热辐射称为平衡热辐射 通有电流的灯丝通有电流的灯丝 通有电流的电炉丝通有电流的电炉丝 热辐射频谱分布曲线热辐射频谱分布曲线 不同温度的铆钉不同温度的铆钉 总结总结 热辐射的特点热辐射的特点 1 1 连续 连续 2 2 频谱分布随温度变化 频谱分布随温度变化 3 3 温度越高温度越高 辐射越强 辐射越强 TM 4 4 物体的辐射本领与温度 材料有关 物体的辐射本领与温度 材料有关 辐射本领越大 吸收本领也越大辐射本领越大 吸收本领也越大 二二 黑体和黑体辐射的基本规律黑体和黑体辐射的基本规律 1 1 黑体 绝对黑体 黑体 绝对黑体 能完全吸收各种频率的电磁波而无反射的物体能完全吸收各种频率的电磁波而无反射的物体 称为黑体 称为黑体 T 平行光管平行光管绝对黑体绝对黑体三棱镜三棱镜 m 黑体辐射的规律黑体辐射的规律 维恩位移律维恩位移律 m C T 斯忒藩斯忒藩 玻耳兹曼定律 玻耳兹曼定律 4 M TT 维恩公式维恩公式 瑞利瑞利 金斯公式金斯公式 2 2 2 MkT c 3 T Me 普朗克公式普朗克公式 三三 经典理论的推导经典理论的推导 3 2 2 1 hv kT hv MT c e 四四 普朗克的能量子假说普朗克的能量子假说 19001900 1212 0404 2 振子所处的状态也只能是振子所处的状态也只能是0 2 3 一系列不连续状态中的某一个 一系列不连续状态中的某一个 而不能居于两态之间 而不能居于两态之间 n n h 电电 磁磁 波波 腔壁上的原子腔壁上的原子 谐振子谐振子 能能 量量 若谐振子频率为若谐振子频率为 v 则其辐射能量是 则其辐射能量是 hv 2hv 3hv nhv 普朗克常数普朗克常数h 6 626 10 34J s 1 与腔内电磁场交换能量时 谐振子与腔内电磁场交换能量时 谐振子 能量的变化是能量的变化是 hv 能量子能量子 的整数的整数 倍倍 量子物理量子物理 学的诞生学的诞生 日日 16 2光电效应光电效应 爱因斯坦光子假说爱因斯坦光子假说 主要内容 主要内容 1 光电效应的实验规律光电效应的实验规律 2 爱因斯坦光子假说爱因斯坦光子假说 和光电效应方程和光电效应方程 3 光的波粒二象性光的波粒二象性 4 光电效应的应用光电效应的应用 实验装置实验装置 一 光电效应 KA GD 光光 G V 当光照射到金属表面上时 电子从金属表面逸出的现象 逸出的电子称光电子 1 实验装置 1 入射光频率不变时 饱和 光电流与入射光强度成正比 iS I 光强光强 2 实验结果 伏安特性曲线伏安特性曲线 iS1 iS2 I1 I2 Ua U i I1 I2 一定 一定 0 2 1 am2 eUm v 遏止电压遏止电压 Ua与与频率频率有关有关 2 光电子最大初动能与光 频率成正比 O a U 铯钾 0 0a UKU 2 0 1 2 m mveKeU 遏止电压Ua KA GD 光光 G V 3 光电效应存在截止频率 红限频率 2 0 1 2 m mveKeU 0 0 U K O a U 铯钾 0 0 0 4 光电效应具有瞬时性 响应时 间在10 9s以下 经典物理无法解释光电效应实验规律经典物理无法解释光电效应实验规律 电子在电磁波作用下作受迫振动 直到获得足够能量电子在电磁波作用下作受迫振动 直到获得足够能量 与与 光强光强 I 有关有关 逸出 不应存在红限逸出 不应存在红限 0 当光强很小时 电子要逸出 必须经较长时间的能量积累当光强很小时 电子要逸出 必须经较长时间的能量积累 只有光的频率只有光的频率 0时 电子才会逸出时 电子才会逸出 逸出光电子的多少取决于光强逸出光电子的多少取决于光强 I 光电子即时发射 滞后时间不超过光电子即时发射 滞后时间不超过 10 9s 实验总结实验总结 光电子最大初动能和光频率光电子最大初动能和光频率 成线性关系成线性关系 光电子最大初动能取决于光强 和光的频率光电子最大初动能取决于光强 和光的频率 无关无关 3 实验结果与经典理论的矛盾 二 爱因斯坦光子假说 将光看作以速度c运动的粒子流 这些粒子 称为光量子 简称 光子 其能量为 h 光电效应方程光电效应方程 2 1 2 h Am m v A A 为为逸逸出功 出功 电子吸收一个光子即可逸出 不需要长时间的能量积累电子吸收一个光子即可逸出 不需要长时间的能量积累 光频率光频率 A h 时 时 电子吸收一个光子即可克服逸出功电子吸收一个光子即可克服逸出功 A 逸出逸出 o A h 解释光电效应解释光电效应 光电子最大初动能和光频率光电子最大初动能和光频率 成线性关系成线性关系 单位时间到达单位垂直面积的光子数为单位时间到达单位垂直面积的光子数为N 则光强 则光强 I Nh I 越强越强 到阴极的光子越多到阴极的光子越多 则则逸逸出的光电子越多出的光电子越多 三 光的波粒二象性 h 0 0m m 光子的能量光子的能量 光子的质量光子的质量 光子的动量光子的动量 Ehh p cc 波动性 光是电磁波 有干涉 衍射现象波动性 光是电磁波 有干涉 衍射现象 粒子性 光是光子流 光子具有粒子的一切属性粒子性 光是光子流 光子具有粒子的一切属性 质量 能质量 能 量 动量量 动量 例例 钾的光电效应红限为钾的光电效应红限为 0 6 2 10 7m 求 求 1 电子 电子 的逸出功 的逸出功 2 在波长为 在波长为3 0 10 7m的紫外线照射下 的紫外线照射下 截止电压为多少 截止电压为多少 3 电子的初速度为多少 电子的初速度为多少 解解 348 19 7 6 63 103 10 3 21 10 6 2 10 o hc Ah J 2 1 2 hmA m v 2 1 2 a meU m v 2 14 a h AhcA UV ee e 19 51 31 22 1 6 102 14 8 67 10 9 1 10 a eU m m m sv 0 0 0 0 探测器探测器 0 0 X 光管 光阑光阑 散射物体散射物体 实验装置示意图实验装置示意图 16 3康普顿散射康普顿散射 散射线中有两种波长散射线中有两种波长 0 0 0 一 康普顿散射的实验规律 0 I 0 45 0 I 90 0 I 135 0 I 1 1 波长的改变量波长的改变量 0 0 随散射角 随散射角 的增加而增加 的增加而增加 实验结果 实验结果 3 3 对于原子量较小的散射物质 康普顿散射较强 反之较弱 对于原子量较小的散射物质 康普顿散射较强 反之较弱 2 2 对不同的散射物质 只要在同一个散射角下 波长的改变对不同的散射物质 只要在同一个散射角下 波长的改变 量量 0 0 都相同 都相同 19211921 经典理论只能说明波长不变的散射 而不能说明康普顿散射中经典理论只能说明波长不变的散射 而不能说明康普顿散射中 新波长的出现新波长的出现 受迫振动受迫振动v0 00 00 电子受电子受 迫振动迫振动 同频率同频率 散射线散射线 发射发射 单色电单色电 磁波磁波 照射照射 散射物体散射物体 二 经典物理无法解释康普顿散射的实验规律 三 光子论解释康普顿散射的实验规律 能量 动量守恒能量 动量守恒 入射光子与外层电子弹性碰撞入射光子与外层电子弹性碰撞 外层外层 电子电子 受原子核束缚较弱受原子核束缚较弱 动能 光子能量动能 光子能量 近似自由近似自由 近似静止近似静止 静止静止 自自 由由 电子电子 coscos 0 vm c h c h 22 00 mchcmh 0 h h 2 0c m 2 mc c h 0 c h vm 0 sinsinvm c h sinsin coscos 0 v v m c h m c h c h 运算推导 运算推导 cos2 0 22 0 2222 hcm v 22 00 mchcmh 2 00 2 cmhmc cos1 00 2 0 hcm 2 0c 00 11 1cos 2sin 2 h c m c c0 0 0024 nmh m c 电子的康普顿波长 电子的康普顿波长 其中其中 0 2 00 1 cos h m c 24222242 00000 2 2 m chm chm c 1 波长的改变量波长的改变量 与散射角与散射角 有关 散有关 散 射角射角 越大 越大 也越大 也越大 2 波长的改变量波长的改变量 与入射光的波长无关 与入射光的波长无关 结论 结论 问题 问题 为什么在可见光的散射实验中我们没有看到为什么在可见光的散射实验中我们没有看到 康普顿效应呢 用康普顿效应呢 用x射线是否能看到 射线是否能看到 2 0c 2sin 2 c0 0 0024 nmh m c 2 2 前者 电子吸收光子能量而逸出 是非弹性碰前者 电子吸收光子能量而逸出 是非弹性碰 撞 撞 后者 光子与电子的弹性碰撞 后者 光子与电子的弹性碰撞 四 光电效应与康普顿散射的区别与联系 1 1 都是光子与电子的相互作用过程 且两个效应都是光子与电子的相互作用过程 且两个效应 都服从动量守恒和能量守恒 都服从动量守恒和能量守恒 例例5 波长为波长为 0 0 020 nm 的的 X 射线与自由电子发生射线与自由电子发生 碰撞 若从与入射角成碰撞 若从与入射角成90 角的方向观察散射线 求 角的方向观察散射线 求 1 散射线的波长 散射线的波长 2 反冲电子的动能 反冲电子的动能 3 反冲电子的动量 反冲电子的动量 解解 cos1 0 cm h 90cos1 103101 9 1063 6 831 34 nm0024 0 o nm0224 0 0 00 hchchc Ehh J1008 1 1022 0 102 0 024 0 1031063 6 15 1010 834 eV6800 0 h h e p 2 2 0 e hh p 2 10 2 10 34 1022 0 1 102 0 1 1063 6 123 smkg105 4 0 0 tan h h 3 42 22 0 20 0 tan 1 主要内容 主要内容 1 氢原子光谱的实验规律氢原子光谱的实验规律 2 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论 3 玻尔理论的缺陷和意义玻尔理论的缺陷和意义 16 4氢原子光谱氢原子光谱 玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论 一 氢原子光谱的实验规律一 氢原子光谱的实验规律 记录氢原子光谱的实验原理图记录氢原子光谱的实验原理图 氢氢 放放 电电 管管 2 3 kV 光阑 全息干板 三棱镜 或光栅 光光 源源 摄谱仪 摄谱仪 H 22 111 R kn 氢光谱的里德伯常量 氢光谱的里德伯常量 k 1 n 2 3 4 谱线系谱线系 赖曼系赖曼系 2 谱线的波数可表示为谱线的波数可表示为 k 2 n 3 4 5 谱线系谱线系 巴耳末系巴耳末系 1 分立线状光谱分立线状光谱 实验规律实验规律 71 1 096 775 8 10 m H R 实验 氢原子光谱 氢原子光谱 赖曼系赖曼系 巴耳末系巴耳末系帕邢系帕邢系 H 22 11 1 R n k 3 n 4 5 6 谱线系谱线系 帕邢系帕邢系 H 22 11 2 R n H 22 11 3 R n 1 1215 912 1 6563 3640 1 18760 8210 紫外区紫外区 可见光可见光 红外区红外区 电子的运动频率将连续地增大电子的运动频率将连续地增大 原子光谱应是连续的带原子光谱应是连续的带 状光谱状光谱 而且也不可能存在稳定的原子 而且也不可能存在稳定的原子 经典电磁理论 绕核运动的电子将连续不断地辐射与其经典电磁理论 绕核运动的电子将连续不断地辐射与其 运动频率相同的电磁波 能量和半径不断减小运动频率相同的电磁波 能量和半径不断减小 r e E 0 2 8 2 0 2 4r e f 二 经典物理无法解释氢原子光谱实验规律二 经典物理无法解释氢原子光谱实验规律 原子核 卢瑟福卢瑟福的的原子核式原子核式模型 模型 原子由原子核和核外电子构成 原子由原子核和核外电子构成 原子核带正电荷 占据整个原子原子核带正电荷 占据整个原子 的极小一部分空间 而电子带负的极小一部分空间 而电子带负 电 绕着原子核转动 如同行星电 绕着原子核转动 如同行星 绕太阳转动一样 绕太阳转动一样 坐者 从左至右 能斯特 布里渊 索尔维 洛伦兹 沃伯格 维恩 居里 庞加莱 坐者 从左至右 能斯特 布里渊 索尔维 洛伦兹 沃伯格 维恩 居里 庞加莱 站者 从左至右 古德施密特 普朗克 鲁本斯 索末菲 林德曼 德布罗意 努森 哈泽内尔 豪站者 从左至右 古德施密特 普朗克 鲁本斯 索末菲 林德曼 德布罗意 努森 哈泽内尔 豪 斯特莱 赫尔岑 金斯 卢瑟福 昂内斯 爱因斯坦 朗之万 斯特莱 赫尔岑 金斯 卢瑟福 昂内斯 爱因斯坦 朗之万 kn hEE 2 频率假设频率假设 n k E E 三 玻尔理论三 玻尔理论 1 定态假设定态假设 原子从一个定态跃迁到另一定态 原子从一个定态跃迁到另一定态 会发射或吸收一个光子会发射或吸收一个光子 稳稳 定定 状状 态态 这些定态的能量不连续这些定态的能量不连续 不辐射电磁波不辐射电磁波 电子作圆周运动电子作圆周运动 v 定态 定态 2 h Lm rnn v 3 角动量量子化假设角动量量子化假设 轨道角动量轨道角动量 1 r 2 r 3 r 1 E 2 E 3 E 四 玻尔的氢原子理论四 玻尔的氢原子理论 v r 向心力是库仑力向心力是库仑力 2 2 0 2 4 1 r e r m v 由上两式得由上两式得 第第 n 个定态的轨道半径为个定态的轨道半径为 3 2 1 1 2 2 2 0 2 nrn me h nr n 1 0 0529 nmr 22 2 00 111 24 8 n nn ee Em rr v 2 2 能量量子化能量量子化 玻尔半径玻尔半径 1 1 轨道半径量子化 轨道半径量子化 1 r 12 4rr 13 9rr 2 h Lm rnn v轨道角动量轨道角动量 4 222 0 11 13 6 8 me eV nn 主量子主量子 数数 氢原子能级图氢原子能级图 莱曼系莱曼系k 1巴耳末系巴耳末系k 2帕邢系帕邢系k 3 布拉开系布拉开系k 4 13 6 1 51 3 39 0 1 2 2 13 6 n E E n n kn nk EE h 光频光频 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 1 22 111 E h kn n 1 基态基态 激激 发发 态态 自由态自由态 c nk nk nk 1 3 3 波数波数 与实验对比与实验对比 11 22 1 nkhc E 11 22 nk RH 理论 17 m 108 775 096 1 实验H R 当时实验测得当时实验测得 17 m 101 373 097 1 理论H R 其中计算得到其中计算得到 kn nk EE h 光频光频 1 22 111 E h kn 理论上理论上 H 22 111 R kn 实验上实验上 五 玻尔理论的局限性五 玻尔理论的局限性 1 1 把原子 电子看作经典力学的质点 用轨道来把原子 电子看作经典力学的质点 用轨道来 描述它们的运动 描述它们的运动 2 2 人为地引入量子化条件 允许定态轨道不连续 人为地引入量子化条件 允许定态轨道不连续 对此提不出合理的解释 对此提不出合理的解释 3 3 不能解释多电子原子光谱问题 对氢原子的精细不能解释多电子原子光谱问题 对氢原子的精细 结构也不能解释 结构也不能解释 缺乏对微观粒子本质的深入了解 缺乏对微观粒子本质的深入了解 成功的把氢原子结构和光谱线结构联系起来成功的把氢原子结构和光谱线结构联系起来 从理从理 论上说明了氢原子和类氢原子的光谱线结构 论上说明了氢原子和类氢原子的光谱线结构 意义意义 揭示了微观体系的量子化规律 为建立量子力学奠揭示了微观体系的量子化规律 为建立量子力学奠 定了基础定了基础 缺陷缺陷 玻尔理论是半经典半量子的理论 玻尔理论是半经典半量子的理论 七 弗兰克七 弗兰克 赫兹实验赫兹实验 1914 1 1 实验装置实验装置 热阴极热阴极K 栅极栅极G 汞原子汞原子 UGK 接收极接收极 UG UGA为为0 5V的的反向反向电压电压 IA 2 2 实验装置实验装置 b b c c d d a a E2 E1 电子电子Ek 汞原子汞原子 0 7 2 5 102500 chc m h 实验值为实验值为 0 2537 弗兰克弗兰克 赫兹实验赫兹实验证明 证明 原子能级确实存在 原子能级确实存在 理论值理论值 4 9eV4 9eV4 9V4 9V 例例 被激发到被激发到 n 3 n 3 的状态的氢原子气体发出的辐的状态的氢原子气体发出的辐 射中 有几条可见光谱线和几条非可见光谱线 射中 有几条可见光谱线和几条非可见光谱线 1n 2n 3n 1 2 1 3 2 3 kn nk EE h 1 22 111 E h kn 2 1 3 1 3 2 1219 1028 6581 A A A 主要内容 主要内容 1 物质波物质波 2 物质波的实验证明物质波的实验证明 3 概率波与概率幅概率波与概率幅 16 5微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性 不确定关系不确定关系 4 不确定关系不确定关系 一 物质波一 物质波 光光 波动性波动性 v v 粒子性粒子性 E E p p hp hE 宇宙大空间宇宙大空间 相对论相对论 微观世界微观世界 量子论量子论 分子分子 原子原子 物质物质 电子电子 原子核原子核 质子质子 中子中子 光子光子 实物粒子实物粒子 波动性波动性 v v 粒子性粒子性 E E p p 法国青年物理学法国青年物理学 家德布罗意家德布罗意 1892 1986 1924年博士论文年博士论文 实物粒子 实物粒子 电子 质子 原子等电子 质子 原子等 也具有也具有波粒二象性波粒二象性 质量为质量为mm的粒子 以速度的粒子 以速度V V 运动运动 1 1 从从粒子性粒子性方面看 具有方面看 具有能量能量E E和和动量动量P P 2 2 从从波动性波动性方面看 具有方面看 具有频率频率 和和波长波长 Eh h P h P 德布罗意波长德布罗意波长 例 若有一个静止质量为例 若有一个静止质量为mm0 0的电子 以速度的电子 以速度 V V运动 当运动 当v v c c时 该粒子的动量为时 该粒子的动量为 0 Pm V V 电子经加速电势差电子经加速电势差U U加速后 其速度由下式决定 加速后 其速度由下式决定 代入德布罗意公式得到电子的德布罗意波波长为代入德布罗意公式得到电子的德布罗意波波长为 可得到 可得到 0 2eU V m 0 0 1 2 hh m VemU 0 h P h m V 2 0 1 2 m VeU 1 22 U 例题例题 计算电子经过 计算电子经过U U1 1 100 100V V和和U U2 2 1000 1000V V的电压加速后的的电压加速后的 德布罗意波长分别是多少 德布罗意波长分别是多少 1 2 hh mVemU 由德布罗意公式 电子波的波长为由德布罗意公式 电子波的波长为 将已知数据代入得将已知数据代入得 00 12 1 23 0 123 二 物质波的实验证明二 物质波的实验证明 1 1 戴维孙 戴维孙 革末电子散射实验革末电子散射实验 19271927年年 观测到电子衍射现象 观测到电子衍射现象 镍晶体 电子枪 电子束 散射线 电子探测器 0 15 30 45 60 75 90 I 实验结果实验结果 加速电压 加速电压 散射角 散射角 电子束强度极大电子束强度极大 V54 e V 65 d 入射电子束 散射电子束 晶体表面 如果实验结果是由如果实验结果是由 于电子衍射产生的 则于电子衍射产生的 则 应满足关系式 应满足关系式 2 sin1 2 3 dkk 得到波长为得到波长为 实验中 实验中 根据根据德布罗意假说德布罗意假说 由加速电势差算得的波长为由加速电势差算得的波长为 0 0 0 1 1 67 2 hh m VemU 11 9 1 10dm 65 54UV 0 1 65 两者波长值很接近 说明两者波长值很接近 说明德布罗意假说德布罗意假说正确正确 2 2 汤姆逊电子衍射实验 汤姆逊电子衍射实验 1927 1927年年 发现电子 发现电子 高速电子通过金属多晶薄膜的衍射实验 高速电子通过金属多晶薄膜的衍射实验 衍射图象衍射图象 Al薄膜薄膜 厚厚1000A 入射电子束入射电子束 加速电压加速电压104伏伏 3 3 约恩逊电子衍射实验 约恩逊电子衍射实验 1961 1961年年 电子的单缝 双缝 三缝等衍射实验电子的单缝 双缝 三缝等衍射实验 单缝单缝 双缝双缝 三缝三缝 四缝四缝 实验证明 实验证明 一切微观粒子都波粒二象性一切微观粒子都波粒二象性 德布罗意公式就是描述这种性质的公式德布罗意公式就是描述这种性质的公式 2 Emch h PmV 三 概率波与概率幅三 概率波与概率幅 1 1 历史上两种典型的看法 历史上两种典型的看法 1 粒子粒子是由是由波波组成的组成的 把粒子看作是由很多波组成的波包 把粒子看作是由很多波组成的波包 但但波包在媒质中要扩散 消失波包在媒质中要扩散 消失 和粒子性矛盾和粒子性矛盾 2 波波是由是由粒子粒子组成的组成的 认为波是大量粒子组成的 认为波是大量粒子组成的 波动性是大量粒子相互作用而形成的 波动性是大量粒子相互作用而形成的 但但这和单个粒子就具有波动性相矛盾 这和单个粒子就具有波动性相矛盾 实际上 实际上 粒子性和波动性共同存在粒子性和波动性共同存在 实物粒子既不是经典的粒子 实物粒子既不是经典的粒子 也不是经典的波也不是经典的波 粒子性 原子性或颗粒性粒子性 原子性或颗粒性 波动性 波的相干叠加性波动性 波的相干叠加性 2 2 概率波 概率波 因此 因此 光强光强 某处发现光子的概率某处发现光子的概率 物质波物质波 r t x y z t 或 2 概率密度概率密度 称为称为 概率幅概率幅 针对电磁场 针对电磁场 爱因斯坦爱因斯坦19171917年引入统计性概念年引入统计性概念 波动观点 波动观点 光强光强 E E2 2 粒子观点 粒子观点 光强光强 某处光子数某处光子数 某处发现光子的概率某处发现光子的概率 19271927年 玻恩的统计诠释 年 玻恩的统计诠释 概率波波函数概率波波函数 波的强度反映了空间某处发现粒子的可能性 概几率 大小波的强度反映了空间某处发现粒子的可能性 概几率 大小 德布罗意波是德布罗意波是概率波概率波 3 3 用电子双缝衍射实验说明概率波 用电子双缝衍射实验说明概率波 约恩孙实验约恩孙实验 1961年年 电子的双缝衍射实验电子的双缝衍射实验 S1 S2 S1 2 1 2 电子束电子束 单个粒子单个粒子在哪一处出现是在哪一处出现是偶然事件偶然事件 大量粒子大量粒子的分布有确定的的分布有确定的统计规律统计规律 电子数电子数 N 7电子数电子数 N 100电子数电子数 N 3000电子数电子数 N 20000电子数电子数 N 70000 出现概率小出现概率小出现概率大出现概率大 电电 子子 双双 缝缝 干干 涉涉 图图 样样 四 不确定关系四 不确定关系 实物粒子实物粒子 波动性波动性 空间位置用概率波来描述空间位置用概率波来描述 概率波只能描述粒子在各处出现的概率概率波只能描述粒子在各处出现的概率 1927年海森伯首先年海森伯首先 提出了提出了不确定关系不确定关系 海森伯海森伯 1901 1976 德国人德国人 牛顿力学 牛顿力学 粒子 有确定的位置和动量 粒子 有确定的位置和动量 微观粒子的微观粒子的坐标坐标和和动量动量 或时间和能量或时间和能量 不能同时取确定值不能同时取确定值 1 1 坐标与动量的不确定关系 坐标与动量的不确定关系 y x x p y p x p 缝前面缝前面 0 yx PP P 缝后面缝后面 sin x PP 电子电子坐标坐标的的 不确定量 不确定量 x 电子动量的不确定电子动量的不确定 量量 考虑更多粒子的动量 则有考虑更多粒子的动量 则有sin x PP 单缝衍射第一级暗纹 单缝衍射第一级暗纹 sinx 可得可得 h P sinxPh x x Ph x x Ph 减小缝宽减小缝宽 x x x x 确定的越准确确定的越准确p px x的不确定度的不确定度 即 即 p px x越大越大 粒子的波动性粒子的波动性不确定关系不确定关系 结论 结论 1 1 微观粒子没有确定的轨道 微观粒子没有确定的轨道 2 2 微观粒子不可能静止 微观粒子不可能静止 x x Ph h h h y Py 2 x Px 2 z Pz 2 34 2 1 0545887 10 h J s 19271927年 海森伯由量子力学导出年 海森伯由量子力学导出坐标与动量的坐标与动量的不确定关系不确定关系 解 解 置是完全确定的 其动量是否完全确定呢 置是完全确定的 其动量是否完全确定呢 所以坐标及动量可以同时确定 所以坐标及动量可以同时确定 mvx2 kg m 10 2 200 s 1 10 34 10 6 28 mkg s 1 10 h x2 x x200200s s 6 6 v v x x mm 1 1 1010mm若若可以认为其位可以认为其位 mm 1010kgkg 2 2 d d5 5 cmcm 的乒乓球 的乒乓球 其直径其直径 例例1 1 x m v P 原子的线度约为原子的线度约为 1010 10 10 m m 求原子中电子速度的不确定量 求原子中电子速度的不确定量 34 3110 6 63 10 m s 2 4 3 14 9 1 1010m x sm 108 5 5 电子速度的不确定量为电子速度的不确定量为 氢原子中电子速率约为氢原子中电子速率约为 10106 6 m s m s 速率不确定量与速率本速率不确定量与速率本 身的数量级基本相同 因此原子中电子的位置和速度不能身的数量级基本相同 因此原子中电子的位置和速度不能 同时完全确定 也没有确定的轨道同时完全确定 也没有确定的轨道 原子中电子的位置不确定量原子中电子的位置不确定量 1010 10 10 m m 由不确定关系 由不确定关系 2 x xp 例例 解解 说明说明 x x p m v 2 2 能量能量 时间不确定关系时间不确定关系 2 E t 反映了原子能级宽度反映了原子能级宽度 E 和原子在和原子在 该能级的平均寿命该能级的平均寿命 t 之间的关系 之间的关系 基态基态 8 10 eV 2 E t 辐射光谱线固有宽度辐射光谱线固有宽度 E h h E 2 E E 2 E E 激发态激发态 E 基态基态 寿命寿命 t 光辐射光辐射 能级宽度能级宽度 平均寿命平均寿命 t 10 8s 平均寿命平均寿命 t 能级宽度能级宽度 E 0 16 6波函数波函数 一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程 主要内容 主要内容 1 薛定谔方程薛定谔方程 2 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 3 波函数的意义波函数的意义 4 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子 一一 薛定谔方程薛定谔方程 薛定谔薛定谔 1887 1961 奥地利人奥地利人 创立量子力学创立量子力学 2 Emch h PmV cossinkxtikxt 将实物粒子的运动看作是将实物粒子的运动看作是单色平面波单色平面波 若不受外力场的作用 则其波函数为若不受外力场的作用 则其波函数为 i kxti kxt ee x x p p h k 22 22 2 EEE h h 而而 1 1 一维薛定谔方程 一维薛定谔方程 x i p xE t x te i kxt x te 两边微分两边微分 x ti Ex t t tx p x tx x 2 2 2 2 x i p xE t x x ti P e x 而而则有则有 m p E x 2 2 2 2 x x tP ix t tm 22 2 2 x t m x 22 2 2 x t ix t tm x 一维自由粒子的薛定谔方程一维自由粒子的薛定谔方程 推广 若粒子在势场推广 若粒子在势场U U中运动 则中运动 则 2 2 p EU x t m 22 2 2 x t x tUx ti mtx 则有则有 一维粒子的薛定谔方程一维粒子的薛定谔方程 2 2 p UE m 与上式对应与上式对应 E t i p x i 2 22 2 p x 能量算符能量算符 动量算符动量算符 2 2 三维薛定谔方程 三维薛定谔方程 2 2 2 r t r tUr ti mt 其中其中 拉普拉斯算符拉普拉斯算符 2 2 2 r t r ti mt 当当U 0U 0时 为三维自由粒子的薛定谔方程时 为三维自由粒子的薛定谔方程 其中其中 i p rE t r te kji zyx 梯度算符梯度算符 2 2 2 2 2 2 zyx 2 二二 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 粒子在稳定势场中运动 势能函数粒子在稳定势场中运动 势能函数U U x x 能量 能量E E 不随时不随时 间变化 粒子处于定态 对应的定态波函数可写为间变化 粒子处于定态 对应的定态波函数可写为 1 1 一维定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程 x tx T t 22 2 2 x T tU xx T t tm x i 带入薛氏方程 可得带入薛氏方程 可得 两边同时除以两边同时除以 x x T T t t E E 粒子的能量粒子的能量 2 2 11 2 dT tx iU x dtT txmx 1 tET td tdT i 2 2 2 2 2 U xxEx mx 得得 1 tET td tdT i 2 2 2 2 2 U xxEx mx 解解 1 1 式得式得 Et T tc i e c为积分常量 为积分常量 Et x tx i e 结论 结论 若势场与时间无关 则粒子具有确定的能量值 若势场与时间无关 则粒子具有确定的能量值 定态 定态 能量不随时间变化的状态 能量不随时间变化的状态 定态薛定定态薛定 谔方程谔方程 2 2 三维定态薛定谔方程 三维定态薛定谔方程 U U r 或或 U x y z 2 2 2 U rrEr m 222 222 2 U rrEr mxyz 或或 三 波函数的意义三 波函数的意义 2 x y z t x y z t Et x y z tx y z i e 而概率密度而概率密度 22 x y z tx y z 条件条件 波函数必须满足波函数必须满足单值单值 连续 连续 有限 有限 归一化条件归一化条件 1r tr t d V 全空间全空间 四 一维无限深势阱中的粒子四 一维无限深势阱中的粒子 0 x a 区域区域 定态薛定谔方程为定态薛定谔方程为 U x x 0 a 1 势能函数势能函数 2 22 d2 0 d xmE x x 2 2 2 mE k 令令 U x 0 0 x a U x 0 a 0 x 0 x 0 x 或或 x a 区域区域 0 x 2 2 2 2 U xxEx mx 2 求解定态方程求解定态方程 2 2 2 d 0 d x kx x sincosxAkxBkx 解为解为 U x x 0 a 0 x 0 x x 波函数在波函数在x x 0 0 处连续 有处连续 有 0sin 0cos 00AkBk 所以所以 波函数在波函数在x x a a处连续 有处连续 有 sinxAkx sin0aAka 因此因此 0 B a n k 所以所以 粒子的能量粒子的能量 22 2 2 2 n En ma 2 2 2 mE k 而而 3 利用边界条件利用边界条件 U x x 0 a 0 x 0 x x sin n xAx a 0 x 阱外阱外 阱内阱内 4 归一化条件归一化条件 2 d1xx 2 Aa 定态波函数定态波函数 可得可得 2 sin n xx aa 0 x 阱外阱外 阱内阱内 n n 1 1 2 2 3 3 22 2 2 2 n En ma 5 5 粒子能量 粒子能量 22 22 1 2 2 n Enn E ma 能量取分立值 能级 能量取分立值 能级 能量量子化能量量子化 当当时 量子化时 量子化连续连续 n 讨论讨论 o a x n 4 16E1 n 3 9E1 n 2 4E1 n 1 E1 22 1 2 21 2 nn EEEn ma 2 sin n n xx aa 1 1 若若a a小到原子尺度范围内 则小到原子尺度范围内 则 E E很大 则能级量子化非常显著很大 则能级量子化非常显著 2 2 若若a a在普遍尺度范围内 在普遍尺度范围内 则则 E E很小 能量量子化不显著 此时可把能量看很小 能量量子化不显著 此时可把能量看 作是连续变化 作是连续变化 最低能量最低能量 零点能零点能 矛盾 矛盾 经典观点 粒子的最低能量必须为零经典观点 粒子的最低能量必须为零 宏观看 最低能量为零 宏观看 最低能量为零 量子看 最低能量不为零量子看 最低能量不为零 0 2 2 22 1 ma E 则则 2 min 2 2 1 0 10 01 2 2 2 mv ammkg ma 34 6 63 10 31 3 3 10 min 22 0 01 0 1 h v m s mama 不矛盾 不矛盾 6 6 概率密度 概率密度 22 22 1 2 2 n Enn E ma 2 sin n n xx aa n 1 n 2 n 3 n 4 x x 00aa x a n a x 2 2 sin 2 态函数态函数 概率密度概率密度 结论 结论 在在 n 很大时 能量很大时 能量 或概率密度趋于连续 这或概率密度趋于连续 这 就是经典物理的图象 就是经典物理的图象 例题 在阱宽为例题 在阱宽为a a 的无限深势阱中的无限深势阱中 一个粒子处在一个粒子处在 基态基态 波函数为波函数为 试求试求 粒子在粒子在 3 2 1 sin 2 1 nx aa x 0 x 到到 3 a x 之间被找到的概率之间被找到的概率 解 概率密度为解 概率密度为 2 2 2 1 sin a xx a 0 x 到到 3 a x 之间被找到的之间被找到的概率概率 33 2 2 00 2 sin 1 aa x Pdxdx aa x 4 3 3 1 16 7氢原子的量子力学描述氢原子的量子力学描述 主要内容 主要内容 1 氢原子的定态薛定谔方程 氢原子的定态薛定谔方程 2 氢原子波函数的统计意义 氢原子波函数的统计意义 一 氢原子的定态薛定谔方程一 氢原子的定态薛定谔方程 对于氢原子对于氢原子 r e rU 0 2 4 ErU m 2 2 2 2222 2 0 22224 0 em E r xyz 则氢原子的薛定谔方程则氢原子的薛定谔方程 球坐标的定态薛定谔方程球坐标的定态薛定谔方程 2 22 22 2222 0 11 sin sin 12 0 sin4 r rrrr me E rr rRr YRr n l mn ln l 2 2 0 2 2 1 sin10 sinsin 2 1 122 0 222 4 0 d m l d m dd l l l dd l ldRe dm rER drrdr rr 带入 得到三个常系数微分方程带入 得到三个常系数微分方程 n l m l 1 1 主量子数 主量子数 能量量子化能量量子化n 1 2 3 2 2 角量子数 角量子数 角动量量子化角动量量子化 n l 0 1 2 3 1 Ll l 1 h 3 2 1 1 6 13 1 4 2 222 0 2 4 neV nn me E n 电子绕核运动的角动量为电子绕核运动的角动量为 玻尔理论玻尔理论 能量简并能量简并 n一定 能量一定 而对于不同的一定 能量一定 而对于不同的l 状态不同 状态不同 这种这种不同状态对应同一能量不同状态对应同一能量的情况叫 的情况叫 简并简并 3 3 磁量子数磁量子数 角动量空间量子化角动量空间量子化 角动量角动量 L 的在外磁场方向的在外磁场方向Z 的投影的投影 lz mL ml 0 1 2 l 磁量子数 磁量子数 2 2 0 z B L 总述 描述氢原子核外电子运动状态的量子数有总述 描述氢原子核外电子运动状态的量子数有 主量子数主量子数n 1 2 3 角量子数角量子数 l 0 1 2 3 磁量子数磁量子数 m l 0 1 2 l n 1 Ll l 1 h lz mL 例题 求电子处于例题 求电子处于n 3的状态的状态 解 解 n 3 则 则l 0 1 2 由角动量公式由角动量公式 Ll l 1 h 则角动量可能取值为则角动量可能取值为 0L 2L 6L z B L 0 1 1 2 2 z B L 0 1 1 z B L 0 011 01 ln ml l 0Lz 0Lz 0 2Lz lz mL 角动量沿角动量沿z方向的投影方向的投影 二 氢原子波函数的统计意义二 氢原子波函数的统计意义 l m rRr YRr n l mn ln l 电子在核外某处出现的概率密度电子在核外某处出现的概率密度 22 sin 2 rrdV n l mn l m Rrr dr Yd d n ll m 电子径向概率分布电子径向概率分布 r r dr drrrRdYdrrW nl lmnl 22 24 0 电子角向概率分布电子角向概率分布