中小学数学课程中数学史的呈现方式.pdf

第 27 卷第 4 期浙 江师 范大学 学报 自 然科 学版 V ol 27 N o 4 2004 年 11 月 JO U R N A L O F ZH EJIA NG N OR M A L U N IVE R SITY Nat Sci N ov 2004 文 章编号 1001 5051 2004 04 000 04 中 小 学 数 学 课 程 中 数 学 史 的 呈 现 方 式 朱 哲 张维忠 浙江师范大学 数理学院 浙江 金华 321004 摘 要 中小学数学课程的改革 应注重与数学史的关联 在数学课程中 一方面要展示古代数学的思想方法 另一方面应通过数学史让学生体验数学的文化价值 数学史可以以数学课本 数学读本 选修课程和专题研究 等形式呈现在数学课程中 以此来推动数学课程的改革 尤其是通过过程重演 成果综述和问题拓展等形式进 行的专题研究 可以培养学生的创新意识和创造能力 关键词 数学史 数学课程 数学课程改革 数学思想方法 中图分类号 G421 文献标识码 A 中小学数学课程的改革 在引入现代数学的 观念 思想和方法的同时 还要注重与数学史的关 联 数学课程中引入数学史 一方面 应当向学生 展现中国古代数学及其观念 思想 方法在人类文 化发展中的重要作用与地位 以及在今天数学发 展中具有的重大现实意义 1 另一方面 应当引 入多元文化数学 M ul t i cul t uralM at hem at i cs 2 帮 助学生消除民族中心主义的偏见 以更宽阔的视 野去认识整个人类文明对数学发展所做的伟大贡 献 并学会欣赏丰富多彩的数学文化 考察国外中小学数学课程中的数学史内容 可以发现很多国家对此非常重视 日本的数学学 习要领 在初中课程中设置了选择性学习 探究数 学史的有关专题是其中的一项内容 在高中课程 中设置了选择必修课数学基础 它的内容包括数 学和人类社会 社会生活中的数学考察 周围的统 计这三部分 其中的 数学和人类社会 就包含了 大量的数学史话题 1998 年出版的俄罗斯学校教 育标准数学部分在 一般理念 中指出 数学知 识发展的历史是以思想的戏剧性和鲜明的个性而 丰富的 给中小学生充实积累科学史知识的机会 使他们形成了关于数学是全部人类文化一部分的 观念 英国 1991 年公布的教育普通证书大纲中 关于数学课程的总目标共 14 条 其第五条为 培 养对数学美与数学史的鉴赏力 此外 德国数学 课程中含有丰富的数学史内容 而美国数学教材 的编写非常关注数学与历史 现实生活及其他学 科间的关联 吸取他国成功的经验 有助于我们理 解和实施数学新课程 并进一步推动中小学数学 课程的改革和发展 2001 年教育部颁布的 全日制义务教育数学 课程标准 实验稿 在三个学段的教材编写建议 中都强调 介绍有关的数学背景知 识 而 2003 年颁布的 普通高中数学课程标准 实验 将 体 现数学的文化价值 作为一条课程的基本理念 并将 数学史选讲 作为选修课程的一个专题 不 过 数学史引入中小学数学课程中 绝非简单的移 植和嫁接 在对古代数学的概念 思想 方法做认 真的思考和清理之后 应进一步探索如何在课程 和教学中将其展现 让学生重演前人对这些内容 的探索过程 并尝试利用他们的思想方法去解决 一些相关问题 对数学史材料进行深入地挖掘 提 收 文日 期 2004 02 15 修 订日 期 2004 09 28 基 金项 目 全国教育科学 十五 规 划教 育部重 点课 题 文化 传统与 数学教 育现 代化 资 助项目 DH A 010276 作 者简 介 朱 哲 1979 男 浙江 绍兴人 硕士 研究 方向 数 学课程 与教 学论 炼 改造和升华 以数学课本 数学读本 选修课 程 专题研究等形式呈现在中小学数学课程中 以 此来推动数学课程的改革 1 数学课本 传统数学课本以及现行教材中均有少量数学 史材料 或以数学趣题引入新的内容 或插入某位 数学家的画像并简介其生平 或是在课文之后附 加一则阅读材料 在笔者看来 数学课本可以将历 史上的数学小故事作为问题情境引出新内容 比 如丢番图的年龄问题 斐波那契的兔子问题等 也 可以通过讲述数学家的故事来鼓励学生热爱数 学 勤奋学习 例如阿基米德在死神降临之时仍醉 心于数学研究 欧拉双目失明后通过记忆和心算 仍有大量成果问世等等 不过 除了这种简单的拼 凑处理外 更多地 应将数学史料 尤其是数学的 思想方法 有机地渗透融合到课程中 比如说 在 等比数列求和公式 这一节中 除了介绍 错位 相消法 外 不妨介绍 几何原本 第九卷中给出 的推导方法 或者干脆用此方法取代 错位相消 法 因为 几何原本 中从等比数列定义出发进 行推导 显得自然而且简单 同时 在例题和习题 的选编中 不妨加入几个生动有趣的历史名题 案例 1 历史名题中的等比数列求和 3 一位妇人的家里有 7 间贮藏室 每间贮藏室 有 7 只猫 每只猫捉了 7 只老鼠 每只老鼠吃了 7 棵麦穗 每棵麦穗可以长出 7 升麦粒 问贮藏室 猫 老鼠等各有多少 总数是多少 这一问题出现在古埃及的希克索斯纸草中 而在成书于公元前 1650 年左右的莱因得纸草中 对此有解答 类似的 在我国古代 成书于公元 4 世纪左右的 孙子算经 卷下有一名题 今有出 门望见九堤 堤有九木 木有九枝 枝有九巢 巢有 九禽 禽 有九 雏 雏 有 九 毛 毛 有九 色 问 各 几 何 在 13 世纪的意大利 斐波那契的 算盘书 中也有类似问题 7 个妇女去罗马 每个人牵着 7 匹骡子 每匹骡子负 7 个麻袋 每只袋子装 7 块 面包 每块面包配有 7 把小刀 每把刀配有 7 只刀 鞘 问妇女 骡子 麻袋 面包 刀 鞘各有多少 这则案例是笔者之一与一位中学教师合作的 教学设计中的一个片段 它是几个例题中的一个 而其他三个例题均是选自数学史中的名题 此外 这则教学设计还介绍了等比数列求和公式的五种 推导方法 其中解法 3 即是 几何原本 中的推导 方法 这些正体现了笔者的设想 数学史进入数学 课本 重要的是将数学的思想方法介绍给学生 再 比如 在 球体积 中不妨简单介绍祖冲之 阿基 米德 卡瓦列利以及关孝和的方法 除了介绍前人 的成果外 还可以让学生利用前人的思想方法去 解决一些相关问题 比如说 在 勾股定理 中 学 了 割补法 这一我国古代重要的数学思想方法 后 还应让学生用这一方法去解决平方差公式和 完全平方公式的推导 4 2 数学读本 现行人民教育出版社出版的高中语文教材除 了常规的课本外 还有一套容量更大的语文读本 作为阅读材料 那么 数学是否也可以有一套数学 读本呢 笔者认为 数学课本应当体现数学的特 色 尽量简洁而明确 只需给出问题 方法和结论 并配以一定的例题和习题 至于这些问题是如何 提出的 这些方法是如何想到的 有没有其他的方 法 这些问题的历史背景是怎样的 它的来源以及 其后的发展又是如何 各个数学分支 数学内容之 间的联系如何 数学与其他学科之间的联系又如 何 这些内容不妨详细地写入数学读本 让有兴趣 的学生自己去阅读 比如说 在 勾股定理 中 不 妨介绍欧几里得的证明和西方算术 几何 的特 征 介绍赵爽 刘徽的证明和东方算术的特征 在 此基础上比较东西方这些方法的不同 案例 2 勾股定理的几何证明 1 赵爽和达 芬奇的证明方法 见图 1 2 问题 这两种方法的联系是什么 图 1 勾股定理的两种几何证明 3 对问题的解答 见图 2 4 结论 仅用这种 方法就有无 穷多种 不 同 的勾股定理的证明 赵爽和达 芬奇对勾股定理的证明方法 虽 然都使用了 出入相补 原理 然而 这两种来自 不同时期 不同地域的方法背后却有着更本质的 联系 正因为这种本质的联系 让我们找到了更 2浙 江师 范大学 学报 自 然科 学版 2004 年 多类似的证明方法 案例 2 展示了数学内部的一 种联系 正如韦尔斯在 数学与联想 一书中所说 的 这就是为什么数学强有力的一个理由 数学 家发现 两个表面不同的问题实际上是相同的 因 此他只要解决一个也就解决了另一个 认识到一 百万个问题 实质上 都是相同的 因此 你只要解 决一个 就解 决 了 一 百 万 个 事 实 上 这 就 是 力 量 5 我们的数学读本 应该多多向学生介绍这 方面的内容 让学生感受这种力量 去认识事物之 间的联系 当然 展示数学的联系只是数学读本的 一项内容 如果说数学课本的编写体现了数学的 学术形态 那么 数学读本的编写则应更多的关注 数学的教育形态 3 选修课程 普通高中数学课程标准 实验 已将 数学 史选讲 作为选修课程的一个专题 在笔者看来 应把系统学习和专题讲座结合起来 系统学习指 利用选修课教材完整 全面 有计划地向学生介绍 数学史 专题讲座指不定期地邀请一些专家开设 讲座 或者组织学生观看有关数学史的录像或者 多媒体课件 这种形式的学习可以是零星的 不系 统的 此外 作为选修 课程中的 数 学史 选讲 专 题 展示古代数学思想方法固然重要 但是 更重 要的在于通过数学史让学生体验数学的文化价 值 通过展示数学家感人事迹以及我国古代数学 的辉煌成就 来培养学生对数学的兴趣以及爱国 主义精神 增强民族自豪感和责任感 同时 通过 不同时空数学思想的对比 引导学生尊重 分享 欣赏 理解其他文化下的数学 拓宽学生的视野 加深对数学知识的理解 培养开放的心灵 这样就 把我们的数学教育引向了国际视野和多元文化的 领域 有些内容 考虑到课时因素 无法在必修课 程中展现 可以放到选修课程中来 在必修课程与 选修课程中 虽然都有数学史内容 但是它们的价 值与作用是不同的 一个重在 数学 一个重在 人 比如说 在球体积公式教学中 阿基米德求 积法应与其他数学家的思想方法一起融入到必修 课程的教学中 在选修课中 不妨向学生展示阿基 米德之死的故事 以及对后来的女数学家索菲 热尔曼的影响 6 不仅如此 更重要的是通过对 上述不同时期 不同地域思想方法的比较 使学生 明白 数学并不只属于某个民族 某种文化 而包 含各种文化根源的数学可以使学生形成丰富的体 验 明白其他文化对数学发展所做的伟大贡献 这 样 选修课的学习 就突出了数学家刻苦钻研的科 学精神以及高尚的人格和数学内在的引人入胜的 魅力 使学生能够发自内心地去热爱数学 理解数 学 欣赏数学 4 专题研究 中小学数学课程应当给学生留出思考的空 间 在数学课程中不仅仅是介绍数学的发展 更多 的应是制造机会让学生重演这种过程 比如说 在 正四棱台体积公式 这一节中 在给出一定的背 景介绍和必要的提示后 留下空白 让学生重演古 代埃及人 巴比伦人以及中国古人对这一公式的 推导过程 7 除了 过程重演 这一形式外 还可 以通过 成果综述 和 问题拓展 来进行专题研 究 比如 在 勾股定理 这一内容中 应让学生通 过各种途径查阅资料 对各个时期各个地区的证 明方法进行文献综述 一方面让学生体验这些优 美 巧妙的方法 同时对这些不同的方法进行分析 比较 在研究 正多面体和多面体欧拉公式 后 不妨提出问题 正多面体只有 5 个 那么类似于足 球的半正多面体 8 又有多少个 你能把它们描述 计算 出来吗 这就拓展了原先的问题 在笔者 看来 专题研究 问题拓展 这一形式最能培养 学生的创新意识和创造能力 这里的问题可以是 课程设计者或者教师给出的 也可以是学生自己 提出的 通过对一些历史数学名题的深入思考 可 以将其拓展并延伸出一些新的结论来 比如说 在 尺规作图和三大几何难题 中 可以提出这样的 问题 一般作图需用圆规和直尺 那么如果取消直 尺 仅 用 圆 规 能 否 完 成 尺 规 作 图 作 出 的 图 形 呢 9 这是一个很有趣的问题 而且是学生有能 力去尝试的问题 案例 3 无尺作图 1 0 已知 AB 1 在 AB 之外 求作 AB 上的一点 E 使 BE AB 2 求作 2AB 在图 3 中 以 AB 为半径 分别以 A 和 B 为心 作圆 两圆交于 C 和 D 以 C 为心 C D 为半径作 圆 与圆 B 交于 E 点 E 即为 1 所求 以 CD 为半 径 分别以 A 和 E 为心作两圆 交于 F 和 G BF 和 3 第 4 期 朱 哲 等 中 小学 数学课 程中数 学史 的呈现 方式 BG 皆为 2 所求 事实上 在 Rt FBE 中 FE CD 3AB 故 BF 2AB 图 3 BE AB 和 2AB 的无尺作法 无尺作图 从其基础作图体系出发 构建整个 作图体系 其中蕴涵了丰富的算法思想 算法是我 国古代数学的优良传统 又是当代计算机技术的 重要理论基础 算法的概念及思想应该进入中小 学数学课堂 这是信息时代赋予我们的任务 此 外 历史上三大几何难题吸引了无数研究者 虽然 最终被证明无法解决 但在这一过程中 引出了大 量的新发现 如许多二次曲线 三次曲线以及多 种超越曲线等 涌现出大量新的数学思想和数 学方法 如在化圆为方的研究中 几乎从一开始 就促进了穷竭法的发展 而穷竭法正是微积分的 先导 这些研究推动了数学的发展 也推动了人 类文明的进步 那么 取消直尺后的无尺作图 特 别是与计算机技术的结合 也有可能产生新的思 想和方法 推动数学进一步发展 应用于数学教育 领域 还能训练学生的数学思维和数学能力 参考文献 1 张 维忠 数学 文化 与数学 课程 文 化视野 中的 数学和 数学 课程的 重建 M 上海 上 海教育 出版 社 1999 198 2 avid N elson George G bevergbese Joseph Julian W i lli am s M ult icul tur al M athem at ics M O xf or d Uni versity Press 1993 3 朱 哲 陈良照 等比 数列前 n 项和 教学 设计及 其分 析 J 中学 教研 数 学 2003 7 1 4 4 朱 哲 张维忠 中 国古代 数学 思想方 法在数 学课 堂教学 中的 渗透 J 中 学数学 杂志 初中 2003 1 10 12 5 韦 尔斯 数学与 联想 从开 普勒 到托姆 的时间 图景 M 李志 尧 上海 上 海教育 出版 社 1999 6 6 汪 晓勤 韩祥临 中 学数学 中的 数学史 M 北京 科 学出 版社 2002 6 7 朱 哲 张维忠 一 节基于 数学 史的教 学案例 正四棱 台的 体积公 式 J 中学 数学教 学参 考 2004 3 8 11 8 沈 康身 历史数 学名题 赏析 M 上海 上 海教育 出版社 2002 736 9 杨 玉瓒 无尺作 图 J 西北大 学学报 自然科 学版 1999 29 3 199 204 10 朱 哲 王凯华 两线 交点和 圆线交 点的 无尺作 法 J 中学 教研 数 学 2004 8 28 30 O n present ati on of m athem ati calhi st ory i n m athem at i cs curri cul um i n pi m ary and m i ddl e school ZH U Zhe ZH A N G W ei zhong Col lege of M athem at ics and Physi cs Z hej iang Norm al U niversi ty Ji nhua Zhej iang 321004 Chi na A bstract Connect i ng wi t h m at hem at i cal hi st ory i s vi t al duri ng t he ref orm i n m at hem at i cs curri cul um For one t hi ng i tcan revealt he t houghtand m