科学仿真实验五题目清单.doc

信计11-1班科学仿真实验五题目清单每人根据自己的实际情况任选一题，题目不能相同，按课程设计要求完成。指导教师写周富照。消去法等解线性方程组（一）1、先用你所熟悉的计算机语言将不选主元、列主元和完全主元Gauss消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下面的方程组（考虑从70到80）；对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。消去法等解线性方程组（二）2、先用你所熟悉的计算机语言将不选主元、列主元和完全主元Gauss消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下面的方程组（考虑从50到60）；对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。平方根法等解线性方程组（一）3、先用你所熟悉的计算机语言将平方根法和追赶法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解线性方程组，其中随机地选取，系数矩阵为90阶矩阵（对称正定） 对上述方程组还可以采用哪些方法求解？再选用其中一些方法求解上述方程组；对计算结果进行比较分析。平方根法等解线性方程组（二）4、先用你所熟悉的计算机语言将平方根法和追赶法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解线性方程组，其中随机地选取，系数矩阵为80阶矩阵（对称正定）； 对上述方程组还可以采用哪些方法求解？再选用其中一些方法求解上述方程组；对计算结果进行比较分析。线性方程组求解（一）5、设线性方程组，其中系数矩阵为50阶的Hilbert矩阵，即的第行第列元素为，向量的第个分量为。为求解此线性方程组，可用那些方法？用你所熟悉的计算机语言编成通用程序，再上机求解上述线性方程组（至少用三种方法），比较所有的计算结果，最后对所用方法和结果进行分析。要求小数点后取4位和7位，分析结果有什么不同。如果系数矩阵的阶数变化，讨论同样问题。线性方程组求解（二） 6、设线性方程组，其中系数矩阵为100阶的Hilbert矩阵，即的第行第列元素为，向量的第个分量为。为求解此线性方程组，可用那些方法？最适宜的方法？用你所熟悉的计算机语言编成通用程序，再上机求解上述线性方程组（至少用三种方法）；比较所有的计算结果，最后对所用方法和结果进行比较分析，谈谈自己的体会。如果系数矩阵的阶数变化，讨论同样问题。迭代法求解两点边值问题（一）7、考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，分别用Jacobi，G-S和超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，比较与精确解的误差；探讨初值选取对结果的影响。迭代法求解两点边值问题（二）8、考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，分别用Jacobi，G-S和超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差；再探讨初值对收敛速度、求解结果等的影响。迭代法求解两点边值问题（三）9、考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，分别用Jacobi，G-S和超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差；再探讨初值对收敛速度、求解结果等的影响。直接法求解两点边值问题（一）10、考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，分别用顺序消去法、列主元消去法、Doolittle分解法和追赶法求解线性方程组，然后比较与精确解的误差，对结果进行分析。改变，讨论同样问题。直接法求解两点边值问题（二）11、考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，分别用顺序消去法、列主元消去法、Doolittle分解法和追赶法求解线性方程组，然后比较与精确解的误差，对结果进行分析，谈谈你的体会。改变，讨论同样问题。直接法求解两点边值问题（三）12、考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，分别用顺序消去法、列主元消去法、Doolittle分解法和追赶法求解线性方程组，然后比较与精确解的误差，对结果进行分析，谈谈你的体会。改变，讨论同样问题。超松弛迭代法求解两点边值问题（一）13、考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，分别用、和的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差，探讨使超松弛迭代法收敛较快的取值，对结果进行分析。改变，讨论同样问题。超松弛迭代法求解两点边值问题（二）14、考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，分别用、和的超松弛迭代法求解线性方程组，然后比较与精确解的误差；探讨使超松弛迭代法收敛较快的取值，对结果进行分析；探讨在迭代过程中取4位有效数字和7位有效数字有什么不同；谈谈你的体会。改变，讨论同样问题。超松弛迭代法求解两点边值问题（三）15、考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，分别用、和的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差；探讨使超松弛迭代法收敛较快的取值，对结果进行分析；当变化时，讨论同样问题。直接法和迭代法求解两点边值问题16、考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，分别用直接法（至少2种）和迭代法（至少2种）求线性方程组的解（迭代法要取不同初值，要求有4位有效数字），然后比较与精确解的误差，分析结果。迭代法求解Dirichlet问题17、考虑如下的Dirichlet问题其中为正方形区域的边界。类似于模型问题，我们得到差分方程按照“自然顺序排列”，得到系数矩阵为其中，为阶单位矩阵，是对角元均为，次对角元均为的阶对称三对角矩阵。对，分别用Jacobi、G-S和超松弛方法（考虑的变化）求差分方程的解，要求有4位有效数字，对结果进行分析、比较。还考虑用其他方法求解。迭代法求解由Dirichlet问题离散后的大型线性方程组18、考虑如下的Dirichlet问题其中为正方形区域的边界。类似于模型问题，我们得到差分方程按照“自然顺序排列”，得到系数矩阵为其中，为阶单位矩阵，是对角元均为，次对角元均为的阶对称三对角矩阵。对，分别用Jacobi、G-S和超松弛方法（考虑的变化）求差分方程的解，要求有4位有效数字，对结果进行分析、比较。还考虑用其他方法求解。超松弛迭代法求解差分方程19、考虑如下的Dirichlet问题其中为正方形区域的边界。类似于模型问题，我们得到差分方程按照“自然顺序排列”，得到系数矩阵为其中，为阶单位矩阵，是对角元均为，次对角元均为的阶对称三对角矩阵。对，分别用、和的超松弛方法求差分方程的解，要求有4位有效数字，对结果进行分析、比较；探讨收敛效率较高的取值；探讨初值的变化对结果的影响；当变化时讨论同样问题。直接法和迭代法求解差分方程20、考虑如下的Dirichlet问题其中为正方形区域的边界。类似于模型问题，我们得到差分方程按照“自然顺序排列”，得到系数矩阵为其中，为阶单位矩阵，是对角元均为，次对角元均为的阶对称三对角矩阵。对，分别用直接法（至少2种）和迭代法（至少2种）求差分方程的解，对结果进行分析、比较；当变化时讨论同样问题。非线性方程根的数值求法（一）21.（1）用简单迭代法求下列方程的根，要求有6位有效数字，；改变初值的选取，对出现的情况进行总结分析；构造收敛速度尽可能高的迭代法，并求根。（2）用牛顿法求下列方程的根，要求有6位有效数字，；改变初值的选取，对出现的情况进行总结分析；若要求方程的最小正根和在附近的根，初值应如何选取？ 并讨论初值的变化对收敛的影响。（3）探讨用其它方法来求（1）和（2）中的非线性方程的根（如二分法、弦割法、抛物线法等）。（4）上面计算结果精度可达10位以上有效数字吗？说明实现过程，并举例。非线性方程根的数值求法（二）22.（1）用简单迭代法求下列方程的根，要求有6位有效数字，改变初值的选取，对出现的情况进行总结分析；构造收敛速度尽可能高的迭代法，并求根。（2）用牛顿法求下列方程的根，要求有6位有效数字，；改变初值的选取，对出现的情况进行总结分析；若要求方程的最小正根和在附近的根，初值应如何选取？ 并讨论初值的变化对收敛的影响。（3）探讨用其它方法来求（1）和（2）中的非线性方程的根（如二分法、弦割法、抛物线法等）。（4）上面计算结果精度可达10位以上有效数字吗？说明实现过程，并举例。数值积分（一）23、用熟悉的计算机语言编程上机完成（1）用Newton-Cotes公式计算积分的近似值，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析。（2）用Romberg积分法计算积分的近似值，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析；与（1）的结果进行比较分析，谈谈你的体会。（3）记，在上面的计算中只取4位有效数字或7位有效数字，计算结果有什么不同。（4）上面计算精度可达8-20位有效数字吗？若可以请说明实现过程，并举例。数值积分（二）24、用熟悉的计算机语言编程上机完成（1）用步长自动减半的复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析。（2）用步长不自动减半的（即一般的）复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析；与（1）的结果进行比较。（3）记，在上面的计算中只取4位有效数字或7位有效数字，计算结果有什么不同。（4）上面计算精度可达8-20位有效数字吗？若可以请说明实现过程，并举例。数值积分 （一）25、用熟悉的计算机语言编程上机完成（1）用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析。（2）用Romberg积分法计算积分，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析。（3）记，在上面的计算中只取4位有效数字或7位有效数字，计算结果又有什么不同。（4）上面计算精度可达8-20位有效数字吗？若可以请说明实现过程，并举例。数值积分（二）26、用熟悉的计算机语言编程上机完成（1）用步长自动减半的复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析。（2）用步长不自动减半的（即一般的）复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式计算积分，自己设置不同精度要求，对结果进行比较分析；与（1）的结果进行比较。（3）记，在上面的计算中只取4位有效数字或7位有效数字，计算结果有什么不同。（4）上面计算精度可达8-20位有效数字吗？若可以请说明实现过程，并举例。求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）27、（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用QR方法求实对称三对角矩阵全部特征值和特征向量的通用子程序。 （2）利用你所编制的子程序求如下矩阵（从40到50阶）的全部特征值和特征向量。求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（二）28（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用幂法、反幂法求实对称矩阵按模最大、按模最小的特征值及对应的特征向量的通用子程序。（2）利用你所编制的子程序求如下矩阵（从50到60阶）按模最大、按模最小的特征值及对应特征向量。（3）考虑用其他方法求上述矩阵的特征值及对应的特征向量。求矩阵的特征值和特征向量（一）29、（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用QR方法求实对称三对角矩阵全部特征值和特征向量的通用子程序。（2）利用你所编制的子程序求如下矩阵（从50到60阶）的全部特征值和特征向量。求矩阵的特征值和特征向量（二）30（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用幂法、反幂法求实对称矩阵按模最大、按模最小的特征值及对应的特征向量的通用子程序。（2）利用你所编制的子程序求如下矩阵（从60到70阶）按模最大、按模最小的特征值及对应特征向量。（3）考虑用其他方法求上述矩阵的特征值及对应的特征向量。求矩阵的特征值和特征向量（三）31、设矩阵（从50到60阶）分别用基本的QR方法和上Hessenberg阵的QR方法求矩阵全部特征值和特征向量，对结果进行比较分析。曲线拟合问题（一）32、已知一个量依赖于另一个量。现收集有数据如下：x0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.5y1.00.90.71.52.02.43.22.02.73.5x5.05.56.06.67.07.68.59.010.0y1.04.03.62.75.74.66.06.87.3求最小二乘多项式拟合曲线，其中分别取，分析用几次多项式拟合效果最好。可否用其它曲线来拟合以上数据？效果如何？曲线拟合问题（二）33、已知一个量依赖于另一个量。现收集有数据如下：x5.05.56.06.67.07.68.59.010.0y1.04.03.62.75.74.66.06.87.3（1）求拟合以上数据的直线，目标为使y的各个观察值同按直线关