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第6章定积分 6 1定积分概念与性质 6 2微积分基本公式 6 3定积分的换元积分法和分部积分法 6 4定积分的应用 6 5反常积分初步 目录 6 3定积分的换元积分法和分部积分法 一 定积分的换元积分法 由牛顿 莱布尼茨公式知道 计算定积分 的方法是求它的一个原函数 定理1设函数 在区间 上连续 函数 满足条件 1 当 或 时 且 2 在 或 上具有连续导数 则有 6 4 公式 6 4 叫做定积分换元公式 应用换元公式时有两点值得注意 2 求出 的原函数 的上 下限分别代入 中 然后相减就行了 例1计算 解设 则 且当 时 当 时 于是 量 例2计算 解设 则 当 时 当 时 于是 例3计算 解设 则 且当 时 当 时 于是 在例3中 如果不明显地写出新变量 直接用凑微分 法求解 那末定积分的上 下限就不要变更 练习 P195页 题1 3 4 例4设函数 在区间 上连续 试证 1 2 当 为奇函数时 3 当 为偶函数时 证 1 由于 在 中 设 则 故 2 当 是奇函数时 因此 3 当 是偶函数时 因此 利用例4的结论 常可简化在对称区间上的定积分的计算 例5求下列定积分 解由于被积函数为非奇非偶函数 由例8 1 知 例6试证 为非负整数 证设 则 当 时 于是有 例7设函数 求 解设 则当 时 时 当 于是 练习 P196页 题3 1 2 6 3 2定积分的分部积分法 利用不定积分的分部积分公式及牛顿莱布尼茨公式 即可得出定积分的分部积分公式 设函数 在区间 上具有连续导数 按不定积分的分部积分法 有 从而得 6 5 这就是定积分的分部积分公式 例8计算 解 例9计算 解先用换元法 令 则 当 时 当 时 于是 再用分部积分法 因为 因此 例10计算 解 例11计算 为正整数 解 由此得到递推公式 而 故当 为偶数时 当 为大于1的正奇数时 由例6知 与 有相同的结果
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