材料力学刘鸿文 平面图形几何性质.pdf

附录附录I 1 1 形心与静矩形心与静矩 附录附录I 1 2 惯性矩 惯性半径惯性矩 惯性半径 附录附录I 1 3 惯性积惯性积 附录I 截面图形的几何性质附录I 截面图形的几何性质 附录附录I 1 4 平行移轴定理平行移轴定理 附录附录I 1 5 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 附录 I 1 1 形心与静矩附录 I 1 1 形心与静矩附录 I 1 1 形心与静矩附录 I 1 1 形心与静矩 一 静矩一 静矩S S 面积对轴的一次矩 面积对轴的一次矩 与力矩类似 是面积与其到轴的距离之积是面积与其到轴的距离之积 ydAdS x xdAdS y ii AA yy ii AA xx AxxdAdSS AyydAdSS dA x y y x 代数值 代数值 m3 二 平面图形的形心 二 平面图形的形心 正负面积法公式累加式 A Ay y A Ax x ii C ii C iiCx iiCy yAAyS xAAxS dA x y y x C x C y C 若若y轴通过形心轴通过形心C 则 则Sy 0 若若x轴通过形心轴通过形心C 则 则Sx 0 例例 计算由抛物线 计算由抛物线 y轴和轴和z轴所围成的平面图形对轴所围成的平面图形对y轴和轴和z轴 的静矩 并确定图形的形心坐标 轴 的静矩 并确定图形的形心坐标 zh y b 1 2 2 y z O zh y b 1 2 2 y yd b h A y dA 2 z S 解 解 A z dAyS yd b y 1h 2 1 2 2 2 2 b 0 yd b y 1hy 2 2 b 0 y z O 15 4bh 2 4 hb 2 A dAAyd b y 1h 2 2 b 0 3 2bh 8 3b 3 2bh 4 bh A S y 2 z C 5 2h 3 2bh 15 4bh A S z 2 y C 形心坐标 静矩 面积 形心坐标 静矩 面积 C yC zC 21 21 AA AxAx 21 A Ax x ii C 20 3 108011010 35 1101001080 34 7 108011010 601101001080 AA AyAy A Ay y 21 21ii C 21 例例 试确定下图的形心 解 组合图形 用正负面积法解之 1 用正面积法求解 图形分割及坐标 如图 a 80 120 10 10 x y C2 图 a C1 C1 0 0 C2 35 60 2 用负面积法求解 图形分割及坐标如图 b 20 3 1107080120 110 70 5012080 图 b C1 0 0 C2 5 5 21 21ii AA AxAx A Ax 21 C x C2 负面积 C1 x y 80 120 20 3 108011010 110 70 5012080 AA AyAy A Ay y 21 21ii C 21 附录附录 I 1 2 惯性矩 惯性半径 惯性积惯性矩 惯性半径 惯性积附录附录 I 1 2 惯性矩 惯性半径 惯性积惯性矩 惯性半径 惯性积 一 轴惯性矩 一 轴惯性矩 与转动惯量类似 与转动惯量类似 面积对面内轴的二次矩 是面积与它到面内轴的距离的平方之积 面积对面内轴的二次矩 是面积与它到面内轴的距离的平方之积 i 2 i A 2 y i 2 i A 2 x A xdAxI A ydAyI dA x y y x 二 极惯性矩 面积对法线轴的 二次矩 即是面积对极点的二 次矩 二 极惯性矩 面积对法线轴的 二次矩 即是面积对极点的二 次矩 yx A IIAdI 2 恒为正 恒为正 m4 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的 乘积 即 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径惯性半径ii yz 2 yy iAI A I i y y 或 A I iiAI z zzz 或 2 其几何意义是 所有的面积似乎都分布 在离矩轴为 其几何意义是 所有的面积似乎都分布 在离矩轴为i 的位置的位置 截面图形 dAyI 2 x dAxI 2 y dAI 2 p xydAI xy C h b 3 bh 12 1 I x 3 y hb 12 1 I 0I xy C x y x x y y d d 4 x d 64 I 4 x d 64 I 4 p d 32 I 0I xy C D 4 4 x 1 64 D I 4 4 x 1 64 D I 4 4 1 32 D I P 0I xy D d D d D d 22 p hb 12 bh I 常见图形的轴惯性矩和极惯性矩常见图形的轴惯性矩和极惯性矩 32 h ix 32 b iy 4 d ix 4 d iy 4 22 dD ix 4 22 dD iy dA x y y x 三 惯性积 面积与其到两轴距离之积 三 惯性积 面积与其到两轴距离之积 A xy AdxyI 常见的如常见的如 x 或或 y 是对称轴 则 是对称轴 则Ixy 0 如果如果 x 或或 y 是形心惯性主轴 则 是形心惯性主轴 则Ixy 0 有关惯性主轴的概念 将在附录 I 5介绍 因此惯性积是代数值 附录附录 I 1 4 平行移轴定理平行移轴定理附录附录 I 1 4 平行移轴定理平行移轴定理 一 平行移轴定理一 平行移轴定理 与转动惯量的平行移轴定理类似 C C xax yby 以形心为原点 建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图 则有 0 Cx AyS Ab2bSI dAb2by y dAb y dAyI 2 x x 2 A 2 2 A A 2 x 2 xx C 2 xx C IIb AIIb A dA x y y x a b C x y x y 注意注意 C点必须为形心点必须为形心 AbII Cxx 2 AaII Cyy 2 abAII CCyxxy AbaII C 2 例例 求图示圆对其切线AB的惯性矩 解 求解此题有两种方法 一是按定义直接积分 二是用平行移轴定理求 B 建立形心坐标如图 求图形对形 心轴的惯性矩 64 d 2 I II 4 P yx 64 5 d 16 d 64 d A 4 d II 4442 xAB A d x y O 5 30 5 30 5 30 5 30 C1 C2 解 1 求形心位置 x1 y 在x1 y系下 0 x1C 8 75mm 5302 17 55300530 A A y y ii C CyC 2 在xy系下 x 4 33 y2y1y 11560mm 12 305 12 530 III 例求图示例求图示T型截面对形心轴的惯性矩 单位 型截面对形心轴的惯性矩 单位mm 2 3 2 C1x11 8 75305 12 305 yAII 2 3 2 2x22 8 75305 12 530 aAII x2 a 4 21x 34530mmIII 附录附录 I 1 5 转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩附录附录 I 1 5 转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩 ycos xsin y ysin xcos x 一 惯性矩和惯性积的转轴定理一 惯性矩和惯性积的转轴定理 dA x y y x x y x1 y1 sin2 Icos2 2 II 2 II I xy yxyx x O sin2 Icos2 2 II 2 II I xy yxyx y cos2 Isin2 2 II I xy yx y x yxy x IIII 类似地 有 dA x y y x x y x1 y1 二 对任意点主惯性轴和主惯性矩二 对任意点主惯性轴和主惯性矩 1 主惯性轴和主惯性矩 坐标旋转到 0 时有 0 cos2 Isin2 2 II I 0 xy0 yx yx 00 与 0 对应的旋转轴x y 称为主惯性轴 平面图形对 主轴之惯性矩称 平面图形对 主轴之惯性矩称为主惯性矩为主惯性矩 xy 0 xy 2I tg2 II 令 0 d dI 0 d dI y x 或 2 000 22 2 2 0 0 xy yxyx y x I IIII I I 主惯性矩 sin2 Icos2 2 II 2 II I xy yxyx sin2 Icos2 2 II 2 II I xy yxyx 由 当 2 000 其中一个为极大值 另一个为极小值其中一个为极大值 另一个为极小值 设矩轴的原点为平面图形上任意点设矩轴的原点为平面图形上任意点O 则其主惯性轴称 为过 则其主惯性轴称 为过O点的主惯性轴点的主惯性轴 1 平面图形对主惯性轴的轴关性矩取极大 极小 极大 极小 值 其中一个为极大极大值 另一个为极小极小值 2 平面图形对主惯性轴的惯性积必为零 平面图形对过平面图形对过O点的主惯性轴有以下重要性质 点的主惯性轴有以下重要性质 小结小结 dA x y y x x y x1 y1 三三 形心主轴和形心主惯性矩 形心主轴和形心主惯性矩 主轴过形心时 称其为形心主轴 平面图形对形心主轴之 惯性矩 称为形心主惯性矩 主轴过形心时 称其为形心主轴 平面图形对形心主轴之 惯性矩 称为形心主惯性矩 yCxC yCxC 0 II 2I tg2 0 0 22 22 xC xCyCxCyC xCyC yC I IIII I I xC yC dA C x C y C 其形心主惯性矩为 其形心主惯性矩为 2 平面图形对形心主惯性轴的轴关系矩取 最大 最小 最大 最小 值 其中一个为最大最大值 另一个为最小最小值 因此平面图形对 对称轴的惯性矩为最大 最小 最大 最小 值 3 平面图形对形心主惯性轴的惯性积必为零 因此平面图形对 对称轴的惯性积为零 平面图形的形心主惯性轴有以下重要性质 1 平面图形若有对称轴 则该轴即为形心主惯性轴之一 xC yC dA C x C y C 3 求截面形心主惯性矩的方法 建立坐标系 计算面积和静矩 求形心位置 建立形心坐标系 求 IyC IxC IxCyC 求形心主轴方向 0 求形心主惯性矩 A Ay A S y A Ax A S x ii x C iiy C 22 2 2 0 0 xCyC yCxCyCxC yC xC I IIII I I yCxC xCyC II I 2 2tg 0 例例 在矩形内左右对称地挖去一与上边内切的圆 求图形的形心主 轴 b 1 5d 解 建立坐标系如图 求形心位置 建立形心坐标系 求 IyC IxC I xCy 0 177d 4 d 3d 4 d 2 d A Ay y 0 A 0 A Ax x 2 2 2 ii C ii C d b 2d x y O xC yC x1 d b 2d x y O xC yC x1 5 0 2 1 2 ydAIyAIIII xxxCxCxC 圆圆矩矩圆矩 42 24 22 3 685 0 177 05 0 464 177 0 3 12 2 5 1 ddd dd dd dd 4 43 513 0 6412 2 5 1 d ddd III xCxCyC 圆矩 便是形心主惯性矩 轴便是形心主轴 yCxC C xCyC II yx I C 0 例例 求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心 主惯性矩的大小 解 解 将原平面图形分成上中下三个 矩形 过形心建立参考坐标系yCz III yyy 2 12 III zzz 22 540 12 405225