巧用参数分离法解决解析几何中的定值问题(数学教学通讯06年第9期发表稿).doc

巧用参数分离法解曲线系过定点问题浙江省海盐县元济高级中学 崔宝法 浙江师范大学2003级教育硕士 刘春苗(邮编 314300)平面解析几何中的定值问题是指按照一定条件构成的几何图形或数量关系，当某些元素在一定范围内变化时，与它有关的量保持不变数值的一类问题。在定值问题中，其中有一类是判定或证明平面曲线系过定点的问题。解决此类问题的方法很多，限于篇幅，下面只介绍用“参数分离法”解决曲线系过定点的问题。一、含一个参变量的曲线系过定点的问题模式1、若经过参数分离后，能将曲线系方程整理成（为参数），则这个曲线系就是过和交点的曲线系，解方程组，便可求得定点例1 求证：不论取何值，直线系必过定点，并求出这个定点的坐标。证 将参数分离，得： 因为当方程和同时成立时，无论取何值，方程恒成立，所以直线系必经过直线和交点，解方程组 得因此，不论取何值，直线系必过定点。说明 此类问题求法的第一步是分离出参数，然后令参数的所有系数等于零（即不让这样的参数起作用），建立起方程组，即可从方程组中解得定点。模式2、若曲线系方程可以整理成关于参数的次多项式，则欲使曲线系过定点，只要使关于参数的次多项式的各项系数为零，即。解此方程组，若有解，则立即可知曲线系所过的定点；若无解，则可知曲线系不过定点。例2 求证：无论取什么实数，直线必过一定点，并求出该定点。证 按参数的降幂整理，有。由模式2，解方程组得所以直线过定点。二、含有两个参变量的曲线系过定点的问题若曲线系是含两个参数的方程 其中满足某一线性条件 则此类问题可按以下的步骤解之：第一步：设曲线系过定点，代入上述式，有此时，可视上面两式对应着关于的两条直线方程。第二步：既然曲线系过定点，那么上述关于的方程组有无穷解，或者两直线重合。所以有。 当其中某一分母为零时，就认为相应的分子亦为零，如，则可写成： 若，则可认为式为。 第三步：解方程（或或），若无解，则曲线系不过定点；若有一解，则曲线系过一定点；若有个解，则曲线系过个定点。例3 证明：若满足，那么直线必过定点，并求出这个定点的坐标。证明 设定点为，则已知条件表明关于的两直线重合。故即 直线必过定点。说明：（1） 把直线方程化为与相比较，亦可得定点为。（2）也可将两个参数中的一个消去，化为上述只含一个参变量的问题解之。例4 试证：不论为何实数，曲线 恒过一个定点。解：展开，并将、看成是两个参数，分离参数得 ，可得：所以曲线恒过定点（0，0）。三、推广在上面的例子中，我们已经把一类曲线系方程求定点（值）的问题采用先分离参数，再通过解方程组来获解。下面我们把此类问题推广到更一般的情形，并更加明确地指出这种分离参数法的可行性，并为其建立起相应的方程模式。1、模式1 方程 关于每一个的解是某区间的全体实数的充要条件是。例5已知圆系方程为：，,求恒与圆系内切的定圆的方程。解 配方，得。设所求圆的方程是，并设两圆的圆心距为。由模式1，得，又，。所以当所求定圆与圆系内切时，圆心在原点，半径为或，其方程是，或。2、模式2 关于的方程的解的个数多于个的充要条件是。例6 证明方程所表示的曲线是一族切于同一个定点的圆（是参数，且）。证明 分离参数，将原方程变形为。由模式2可知：，。故圆族过定点。下面证明点P即为所有圆的公切点。又将原方程化为， ，所以表示一族圆。取，有圆心，斜率三点共线，即两圆的连心线都通过所有圆的公共点P，故任意两圆都相切于点。例7已知直线，A是直线上一定点，在上分别有动点P、Q，使。求证：直线PQ恒切于一定圆。分析 欲证动直线PQ恒切于一定圆，可用参数写出动直线PQ的方程，然后再探讨它的性质，证明它与参数无关。证明 以A为原点，为轴建立直角坐标系。设间的距离为（常数），则Q点的坐标为。，直线，变形，并将和看成两个参数，加以分离。 设为定圆圆心，为半径，若恒切于定圆，则下式应是关于的恒等式。 即相当于不论取何值，曲线过定点。所以有即直线PQ恒与以为圆心，为半径的定圆相切。研