高考数学复习资料分类讨论思想.pdf

Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 难点 38 分类讨论思想 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异 分各种不同的情况予以分析解决 分类 讨论题覆盖知识点较多 利于考查学生的知识面 分类思想和技巧 同时方式多样 具有较 高的逻辑性及很强的综合性 树立分类讨论思想 应注重理解和掌握分类的原则 方法与技 巧 做到 确定对象的全体 明确分类的标准 分层别类不重复 不遗漏的分析讨论 难点磁场 1 若函数 5 1 4 1 2 1 1 3 1 23 xaxxaxf在其定义域内有极值点 则 a 的取值为 2 设函数 f x x2 x a 1 x R 1 判断函数 f x 的奇偶性 2 求函数 f x 的最小值 案例探究 例 1 已知 an 是首项为 2 公比为 2 1 的等比数列 Sn为它的前 n 项和 1 用 Sn表示 Sn 1 2 是否存在自然数 c 和 k 使得2 1 cS cS k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列 不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 属 级题目 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化 放缩 解简单的分式不等式 数列的基 本性质 错解分析 第 2 问中不等式的等价转化为学生的易错点 不能确定出 kk ScS cS cS k k 只要0 2 2 3 k k Sc Sc 因为4 2 1 1 4 kkk SSS k N Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 故只要 2 3 Sk 2 c Sk k N 因为 Sk 1 Sk k N 所以 2 3 Sk 2 2 3 S1 2 1 又 Sk 4 故要使 成立 c 只能取 2 或 3 当 c 2 时 因为 S1 2 所以当 k 1 时 c Sk不成立 从而 不成立 当 k 2 时 因为cS 2 5 2 2 3 2 由 Sk Sk 1 k N 得 2 3 Sk 2 2 3 Sk 1 2 故当 k 2 时 2 3 Sk 2 c 从而 不成立 当 c 3 时 因为 S1 2 S2 3 所以当 k 1 k 2 时 c Sk不成立 从而 不成立1 因为cS 4 13 2 2 3 3 又 2 3 Sk 2 2 3 Sk 1 2 所以当 k 3 时 2 3 Sk 2 c 从而 成立 综上所述 不存在自然数 c k 使2 1 cS cS k k 成立 例 2 给出定点 A a 0 a 0 和直线 l x 1 B 是直线 l 上的动点 BOA 的 角平分线交 AB 于点 C 求点 C 的轨迹方程 并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系 命题意图 本题考查动点的轨迹 直线与圆锥曲线的基本知识 分类讨论的思想方法 综合性较强 解法较多 考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力 属 级题目 知识依托 求动点轨迹的基本方法步骤 椭圆 双曲线 抛物线标准方程的基本特点 错解分析 本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件 构建动点坐标应满足的关系式和 分类讨论轨迹方程表示曲线类型 技巧与方法 精心思考 发散思维 多途径 多角度的由题设条件出发 探寻动点应满 足的关系式 巧妙地利用角平分线的性质 解法一 依题意 记 B 1 b b R 则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y 0 和 y bx 设点 C x y 则有 0 x a 由 OC 平分 AOB 知点 C到 OA OB 距离相等 根据点到直线的距离公式得 y 2 1 b bxy 依题设 点 C 在直线 AB 上 故有 1 ax a b y 由 x a 0 得 ax ya b 1 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 将 式代入 式 得 y2 1 a x2 2ax 1 a y2 0 若 y 0 则 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a 若 y 0 则 b 0 AOB 点 C 的坐标为 0 0 满足上式 综上 得点 C 的轨迹方程为 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a i 当 a 1 时 轨迹方程化为 y2 x 0 x 1 此时方程 表示抛物线弧段 ii 当 a 1 轨迹方程化为 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ax a a y a a a a x 所以当 0 a 1 时 方程 表示椭圆弧段 当 a 1 时 方程 表示双曲线一支的弧段 解法二 如图 设 D 是 l 与 x 轴的交点 过点 C 作 CE x 轴 E 是垂足 i 当 BD 0 时 设点 C x y 则 0 x a y 0 由 CE BD 得 1 a xa y EA DACE BD COA COB COD BOD COA BOD 2 COA BOD COA COA COA 2 tan1 tan2 2tan BODBODtan tan x y COA tan 1 tana xa y OD BD BOD 1 1 2 2 a xa y x y x y 整理 得 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a ii 当 BD 0 时 BOA 则点 C 的坐标为 0 0 满足上式 综合 i ii 得点 C 的轨迹方程为 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 以下同解法一 解法三 设 C x y B 1 b 则 BO 的方程为 y bx 直线 AB 的方程为 1 ax a b y 当 b 0 时 OC 平分 AOB 设 AOC 直线 OC 的斜率为 k tan OC 的方程为 y kx 于是 22 1 2 tan1 tan2 2tan k k 又 tan2 b b 2 1 2 k k C 点在 AB 上 1 ax a b kx 由 消去 b 得 1 2 1 2 ax k k kxa 又 x y k 代入 有 1 2 1 2 2 ax x y x y x x y a 整理 得 a 1 x2 1 a y2 2ax 0 当 b 0 时 即 B 点在 x 轴上时 C 0 0 满足上式 a 1 时 式变为1 1 1 1 2 2 2 2 2 a a y a a a a x 当 0 a 1 时 表示椭圆弧段 当 a 1 时 表示双曲线一支的弧段 当 a 1 时 表示抛物线弧段 锦囊妙计 分类讨论思想就是依据一定的标准 对问题分类 求解 要特别注意分类必须满足互斥 无漏 最简的原则 分类讨论常见的依据是 1 由概念内涵分类 如绝对值 直线的斜率 指数对数函数 直线与平面的夹角等定义包 含了分类 2 由公式条件分类 如等比数列的前 n 项和公式 极限的计算 圆锥曲线的统一定义中图 形的分类等 3 由实际意义分类 如排列 组合 概率中较常见 但不明显 有些应用问题也需分类讨 论 在学习中也要注意优化策略 有时利用转化策略 如反证法 补集法 变更多元法 数 形结合法等简化甚至避开讨论 歼灭难点训练 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 一 选择题 1 已知1 2 2 lim nn nn n a a 其中 a R 则 a 的取值范围是 A a 0 B a 2 或 a 2 C 2 a 2 D a 2 或 a 2 2 四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点 在其中取 4 个不共面的点 不同的取法共有 A 150 种 B 147 种 C 144 种 D 141 种 二 填空题 3 已知线段 AB 在平面 外 A B 两点到平面 的距离分别为 1 和 3 则 线段 AB 的中点到平面 的距离为 4 已知集合 A x x2 3x 2 0 B x x2 ax a 1 0 C x x2 mx 2 0 且 A B A A C C 则 a 的值为 m 的取值范围为 三 解答题 5 已知集合 A x x2 px q 0 B x qx2 px 1 0 A B 同时满足 A B A B 2 求 p q 的值 6 已知直角坐标平面上点 Q 2 0 和圆 C x2 y2 1 动点 M 到圆 C 的 切线长与 MQ 的比等于常数 0 求动点 M 的轨迹方程 并说明它表示什么曲线 7 已知函数y f x 的图象是自原点出发的一条折线 当n y n 1 n 0 1 2 时 该图象是斜率为 bn的线段 其中正常数 b 1 设数列 xn 由 f xn n n 1 2 定义 1 求 x1 x2和 xn的表达式 2 计算 n limxn 3 求 f x 的表达式 并写出其定义域 8 已知 a 0 时 函数 f x ax bx2 1 当 b 0 时 若对任意 x R都有 f x 1 证明 a 2b 2 当 b 1 时 证明 对任意 x 0 1 f x 1 的充要条件是 b 1 a 2b 3 当 0 b 1 时 讨论 对任意 x 0 1 f x 1 的充要条件 参 考 答 案 难点磁场 1 解析 即 f x a 1 x2 ax 4 1 0 有解 当 a 1 0 时 满足 当 a 1 0 时 只需 a2 a 1 0 答案 2 52 2 52 a或 a 1 2 解 1 当 a 0 时 函数 f x x 2 x 1 f x 此时 f x 为偶函数 当 a 0 时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 f a f a f a f a 此时函数 f x 既不是奇函数 也不是偶函数 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 2 当 x a 时 函数 f x x2 x a 1 x 2 1 2 a 4 3 若 a 2 1 则函数 f x 在 a 上单调递减 从而函数 f x 在 a 上的最小值为 f a a2 1 若 a 2 1 则函数 f x 在 a 上的最小值为 f 2 1 4 3 a 且 f 2 1 f a 当 x a 时 函数 f x x2 x a 1 x 2 1 2 a 4 3 若 a 2 1 则函数 f x 在 a 上的最小值为 f 2 1 4 3 a 且 f 2 1 f a 若 a 2 1 则函数 f x 在 a 单调递增 从而函数 f x 在 a 上的最小值为 f a a2 1 综上 当 a 2 1 时 函数 f x 的最小值为 4 3 a 当 2 1 a 2 1 时 函数 f x 的最小值是 a2 1 当 a 2 1 时 函数 f x 的最小值是 a 4 3 歼灭难点训练 一 1 解析 分 a 2 a 2 和 a 2 三种情况分别验证 答案 C 2 解析 任取 4 个点共 C 4 10 210 种取法 四点共面的有三类 1 每个面上有 6 个点 则有 4 C 4 6 60 种取共面的取法 2 相比较的 4 个中点共 3 种 3 一条棱上的 3 点与对 棱的中点共 6 种 答案 C 二 3 解析 分线段 AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决 答案 1 或 2 4 解析 A 1 2 B x x 1 x 1 a 0 由 A B A 可得 1 a 1 或 1 a 2 由 A C C 可知 C 1 或 答案 2 或 3 3 或 22 22 三 5 解 设 x0 A x0是 x02 px0 q 0 的根 若 x0 0 则 A 2 0 从而 p 2 q 0 B 2 1 此时 A B 与已知矛盾 故 x0 0 将方程 x02 px0 q 0 两边除以 x02 得 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 01 1 1 0 2 0 x p x q 即 0 1 x 满足 B 中的方程 故 0 1 x B A B 2 则 2 A 且 2 B 设 A 2 x0 则 B 0 1 2 1 x 且 x0 2 否则 A B 若 x0 2 1 则 0 1 x 2 B 与 2 B 矛盾 又由 A B x0 0 1 x 即 x0 1 即 A 2 1 或 A 2 1 故方程 x2 px q 0 有两个不相等的实数根 2 1 或 2 1 2 1 2 3 12 21 2 1 12 q p q p 或 6 解 如图 设 MN 切圆 C于 N 则动点 M 组成的集合是 P M MN MQ 0 ON MN ON 1 MN 2 MO 2 ON 2 MO 2 1 设动点 M 的坐标为 x y 则 2222 2 1yxyx 即 x2 1 x2 y2 4 2x 4 2 1 0 经检验 坐标适合这个方程的点都属于集合 P 故方程为所求的轨迹方程 1 当 1 时 方程为 x 4 5 它是垂直于 x 轴且与 x 轴相交于点 4 5 0 的直线 2 当 1 时 方程化为 22 2 22 2 2 1 31 1 2 yx 它是以 0 1 2 2 2 为圆心 1 31 2 2 为半径的圆 7 解 1 依题意 f 0 0 又由 f x1 1 当 0 y 1 函数 y f x 的图象是斜率为 b0 1 的线段 故由 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012 4 319 1599 please register 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 1 0 0 1 1 x fxf x1 1 又由 f x2 2 当 1 y 2 时 函数 y f x 的图象是斜率为 b 的线段 故由 b xx xfxf 12 12 即 x2 x1 b 1 x2 1 b 1 记 x0 0 由函数 y f x 图象中第 n 段线段的斜率为 bn 1 故得 1 1 1 n nn nn b xx xfxf 又由 f xn n f xn 1 n 1 xn xn 1 b 1 n 1 n 1 2 由此知数列 xn xn 1 为等比数列 其首项为 1 公比为 b 1 因 b 1 得 n k n x 1 xk xk 1 1 b 1 1 1 1 1 1 b b b b n n 即 xn 1 1 1 b b b n 2 由 1 知 当 b 1 时 11 1 limlim 1 b b b b b x n n n n 当 0 b 1 n xn也趋于无穷大 n limxn不存在 3 由 1 知 当 0 y 1 时 y x 即当 0 x 1 时 f x x 当 n y n 1 即 xn x xn 1