微积分定积分公式.pdf

1 主讲教主讲教主讲教主讲教师 师 师 师 李晓沛李晓沛李晓沛李晓沛 2 b a Idxxf ii n i xf lim 1 0 复习复习 2 定积分的几何意义 定积分的定义 定积分的几何意义 定积分的定义 d d d b a b a b a ttfyyfxxf 号无关 定积分与积分变量的记号无关 定积分与积分变量的记 d bxaxxfyxxf b a 与直线等于曲线 形的面积的代数和轴所围成的几个曲边梯及 x 3 2 定积分的性质 定积分的性质 1 线性性质性质 d d d b a b a b a xxgxxfxxgxf 为常数 式中 性质性质 2 a b b a dxxfdxxf 复习复习 4 3 对区间的可加性性质 b c c a b a xxfxxfxxfd d d 不论 的相对位置如何 上式总成立 不论 的相对位置如何 上式总成立 cba 4 性质性质 abxx b a b a dd1 复习复习 5 5 保号性性质保号性性质 0d 0 b a xxfbaxxf则若 小于零的情形类似 1 推论推论 d d b a b a xxgxxfbaxxgxf则若 复习复习 6 2推论 b a b a xxfxxfd d 7 估值定理性质估值定理性质 则最小值上的最大在分别为设baxfmM d abMxxfabm b a 复习复习 7 7 积分中值定理性质 使得则上保持符号不变在 baba d d b a b a xxgfxxgxf b a xxfd abf xgbaRxgbaCxf且若 复习复习 8 如何求函数在区间 如何求函数在区间 a b 上的定积分 上的定积分 9 第五章 定积分及其应用 第五章 定积分及其应用 第五章第五章第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用定积分及其应用定积分及其应用 第三节 微积分基本公式 第三节 微积分基本公式 第三节第三节第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式 10 就有值每给定一对而言对可积函数baxf d I 与之对应确定的定积分值 b a xxf 与它的上下限的定积分这意味着 d b a xxfxf 之间存在一种函数关系 一 积分上限函数及其导数一 积分上限函数及其导数 11 Ox y ab xx xfy 有什么变化 积分 变化让积分上限不变固定积分下限 x a dttf xa 12 Ox y ab x x xfy x a ttf d 曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化 13 分上限函数分上限函数 d d baxttfxxfx x a x a d d 有由积分的性质 a b b a xxfxxf d d x b b x ttfttf 所以 我们只需讨论积分上限函数所以 我们只需讨论积分上限函数 d 称为积分下限函数 b x ttf 则得到积让积分上限变化固定积分下限不变则得到积让积分上限变化固定积分下限不变 14 d battfxbaCxf x a 在则若在则若 且上可导 d d d bxaxfttf x x x a 定理定理 1 1 d 不定积分的联系上定理揭示了定积分与 上的一个原函数在 是这说明 不定积分的联系上定理揭示了定积分与 上的一个原函数在 是这说明 baxf ttfx x a 15 例1 d 1sin 2 0 2 xFttxF x 求设求设 解 d 1sin 0 2 则令则令 u ttug x u ugxF d d 故 1sin 2 uug 这是复合函数求导 你能由此写出它的一般形式吗 1sin 22 1sin 42 xxxu d 1sin 2 0 22 2 xFttxg xu x 则令则令 16 一般地 则可导若Cxfx d xxfttfxF x a 17 如果 如果 tf连续 连续 xa xb可导 求 可导 求dttfxF xb xa 的导数的导数 x F dttfdttfxF xa xb 0 0 dttf xb 0 0 dttf xa xaxafxbxbfxF 例2 解 18 例3 解 2 2 0 0 cos lim 2 x dtt x x 求求 1coslim 2 2cos lim cos lim 4 0 4 0 2 2 0 0 2 x x xx x dtt xx x x 19 上在为则如果 d baxfttfbaCxf x a 的一个原函数 则有的一个原函数若已知则有的一个原函数若已知xFxf d 0 CxFttf x a d 0 00 aFCCaFttfax a a 故则令 则得到取bx d d aFbFxxfttf b a b a 微积分基本公式微积分基本公式 基本公式基本公式 d aFxFttf x a 即 20 定理定理定理定理 莱布尼茨公式 牛顿莱布尼茨公式 牛顿 上的在为若baxfxFbaCxf 则一个原函数 d aFbFxFxxf b a b a 了定积分的计算联系起来将定积分的计算与求不 莱布尼茨公式 牛顿 了定积分的计算联系起来将定积分的计算与求不 莱布尼茨公式 牛顿 21 ln 1 1 0 1 1 2 都不能直接使用此公式如 连续要注意被积函数一定要 莱布尼茨公式时在使用牛顿 注 都不能直接使用此公式如 连续要注意被积函数一定要 莱布尼茨公式时在使用牛顿 注 xdxdx x 22 例 1 1 2 d 1 1 x x 1 0 dxe x 2 1arctan 1arctan arctan 1 1 x 2 0 dcos xx dx x 1 2 1 1 2 ln x 2 ln2ln1ln 10sin 2 sin sin 2 0 x 1 1 0 ee x 23 计算曲线计算曲线xysin 在在 0 上与上与x轴所围轴所围 成的平面图形的面积成的平面图形的面积 解 面积解 面积 x y o 0 sinxdxA 0 cosx 2 例 计算曲线计算曲线 xy 在与在与x轴 轴 x 1 所围所围 成的平面图形的面积成的平面图形的面积 例 24 1sincos2 2 0 dxxx 原式原式 2 0 cossin2 xxx 2 3 例 25 例 d2cos1 0 xx计算 解 0 2 0 dcos2 d2cos1 xxxx 0 d cos 2xx 2 2 0 d cos 2dcos 2xxxx 22 sin2 sin2 2 2 0 xx 怎么办 怎么办 如果是 分段函数 则利用积分 的性质将积 分分成几个 部分的和的 形式 26 设 设 求 求 215 102 x xx xf 2 0 dxxf 解解 1 0 2 1 2 0 dxxfdxxfdxxf 1 0 2 1 52dxxdx 6 x y o12 例 27 max 2 2 2 dxxx 解解由图形可知由图形可知 max 2 xxxf 21 10 02 2 2 xx xx xx 2 1 2 1 0 0 2 2 dxxxdxdxx原式原式 2 11 x y o 2 xy xy 12 2 例 28 3 微积分基本公式微积分基本公式 1 积分上限函数积分上限函数 x a dttfx 2 积分上限函数的导数积分上限函数的导数 baCxfxfx aFbFdxxf b a 牛顿 莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系 牛顿 莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系 总 结总 结 总结 29 1 求求 练习练习 2 3 4 求求 5 2 0 0 tan lim x dtt x x d sin21 0 2 xFtttxF x 求设求设 d 321 2 2 xFtttxF x x 求设求设 dxex x 1 2 32 计算曲线计算曲线 2 3xy 在与在与x轴 轴 x 1 x 1 所围所围 成的平面图形的面积成