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塑性力学03 第三章塑性本构关系 全量理论和增量理论 引言 塑性变形规律的复杂性 到目前为止这个塑性本构关系问题还没有得到满意的解决 现在描述塑性变形规律的理论可以分为两大类 1 全量理论 又称为形变理论 它认为在塑性状态下仍有应力和应变全量之间的关系 主要有Hencky 亨奇 理论和Il yushin 伊柳辛 理论 亨奇理论不记弹性变形也不记硬化 伊柳辛理论是对亨奇理论的系统化 考虑了弹性变形和硬化 2 增量理论 又称为流动理论 它认为在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间随关系 属于这类理论的主要有Levy Mises 莱维 米泽斯 理论和Prandtl Reuss 普朗特 罗伊斯 理论 此外 还提出其他的一些理论 如塑性滑移理论 内时理论以及一些宏观和微观相结合的理论 不过这些理论都尚待实践的检验 或者比较复杂不便于应用 目前广为采用的理论有伊柳辛理论和米泽斯理论 3 1建立塑性本构关系的基本要素 Shield和Ziegler指出 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素 1 初始屈服条件 根据这个条件可以判断塑性变形是从何时开始的 以及划分塑性区和弹性区的范围 以便采用不同的本构关系 2 流动法则 就是要有一个应力和应变 或它们的增量 间的定性关系 这个关系包括方向关系 即两者主轴之间的关系 和分配关系 即两者的比例关系 实际上是研究它们偏量之间的关系 3 加载条件 就是确定一种描述材料硬化特性的硬化条件 即加载函数 有了这个条件才能确定应力应变或者它们的增量之间的定量关系 其中 1 和 3 在第二章已经解决 本章要解决第 2 点 即在流动法则基础上建立塑性本沟关系 3 2广义Hooke定律 在弹性范围内 广义Hooke定律可以表达为 也可以用张量表示为 证明 由应力和应变的分解式 即 代入上面广义Hooke定律的公式 考虑到 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系 表示成球张量和偏张量之间关系 所以也可写成如下形式 当应力从加载面卸载 也服从广义Hooke定律 但是不能写成全量形式 而只能写成增量形式 这是七个方程 第二个式子是六个方程 但因为有 所以有5个是独立的 从第一式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致的 从第二式可以看出应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比 第二式也可以写成 把它代入应力强度和应变强度的表达式就可以得到下面的第二式 然后有再代回上面第二式得到下面的第一式 3 3全量型本构方程 伊柳辛在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的塑性本构关系 这是一个全量型的关系 类似于广义Hooke定律 在小变形的情况下作出下列关于基本要素的假定 1 体积变形是弹性的 即应变球张量和应力球张量成正比 2 应变偏张量和应力偏张量成比例 这个假定就是应力和应变的定性关系 即方向关系和分配关系 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴重合 也即应变主轴和应力主轴重合 而分配关系是指应变偏量和应力偏量成正比 形式上和广义Hooke定律相似 但这里的比例系数不是一个常数 它和点的位置以及载荷水平有关 即对于物体的不同点不同的载荷都不同 这是一个非线性关系 下面我们来看一下这个系数等于什么 因为应力强度和应变强度的公式为 把代入上面右式并考虑上面左式得到 3 应力强度是应变强度的强度函数 即按单一曲线假定的硬化条件 综上所述 全量型塑性本构方程为 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律 加载的标志是应力强度成单调增长 下降时为卸载过程 它时服从增量形式的Hooke定律 在加载的情况下 应力和应变之间有一一对应的关系 所以在已知应变分量时不难求出应力分量 具体计算步骤如下 同样已知应力分量时不难求出应变分量 但是对于理想塑性材料 由于塑性状态时应变可以取任意值 所以不能由应力分量确定应变分量的数值 3 4全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体内给定体力 在应力边界上给定面力 在位移边界上给定位移为 要求确定物体内处于塑性变形状态的各点的应力 应变和位移 按照全量理论 确定这些基本未知量的基本方程有 平衡方程 几何方程 本构方程 其中 边界条件 所以 对塑性力学的全量理论而言 塑性力学边值问题归结为在上述边界条件下求解15个基本方程 以确定15个基本物理量 关于求解方法 和弹性力学相似 也可以采用两种基本解法 位移求解和应力求解 当然要比弹性力学求解困难得多了 因为这里的本构方程是非线性的 当然上述是针对塑性区而言的 对于弹性区或卸载区应按弹性力学求解 并且在弹塑性区的交界面上要满足适当的连续条件 3 5全量理论的适用范围简单加载定律 目前证明全量理论适用小变形并且是简单加载 那么什么是简单加载 理论上指在加载过程中物体每一点的各个应力分量按比例增长 即 其中是某一非零的参考应力状态 是单调增加的参数 这样定义的简单加载说明 在加载时物体内应变和应力的主方向都保持不变 通常我们知道外部载荷的变化情况 但是物体内的应力是不能事先确定的 那么如何判断加载过程是简单加载 伊柳辛指出 在符合下列三个条件时 可以证明物体内所有各点是处于简单加载过程 1 荷载 包括体力 按比例增长 如有位移边界条件则应为零 2 材料是不可压缩的 即平均应变 3 应力强度和应变强度之间幂指数关系 即 这就是伊柳辛简单加载定律 有人认为绝大多数工程材料只有第 1 条就可以了 3 6卸载定律 从单向拉伸实验的应力应变曲线看 加载至过弹性极限达到A点 然后卸载至B点 此时总应变的弹性部分中的部分应变得到恢复 塑性应变部分要被保留下来 此时的应力和应变的改变量 即B点的应力和应变为 因为卸载要服从弹性本构关系 即 这就是说 我们可以由因为卸载引起的荷载的改变 量按弹性计算得到应力和应变的改变量 推广到复杂应力的卸载情况 即应力强度减小的情况 可得到卸载定律 即 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减去卸载时的荷载改变量为假想荷载按弹性计算所得之应力或应变 即卸载过程中应力或应变的改变量 使用卸载定律要注意两点 卸载过程必须是简单卸载 即卸载过程中各点的应力分量是按比例减少的 卸载过程中不发生第二次塑性变形 即卸载不引起应力改变符号而达到新的屈服 否则会产生新的塑性变形 并且要考虑包氏效应 所以就不能使用上述计算方法了 由卸载定律可以看出 全部卸载后 在物体内不仅留下残余应变 而且还有残余应力 因为应力改变量是按照弹性计算得到的 而卸载前的应力是按照塑性计算得到的 所以它们不会完全相等 因此两者相减以后就得到残余应力 如果从变形的角度来看 也可以说明有残余应力的存在 因为在卸载的过程中 虽然载荷卸除了 但由于各点处要恢复的弹性变形不相同 相互之间为了变形协调就会产生相互的约束 其结果不但留下残余变形 还会留下残余应力 3 7Levy Mises流动法则和Prandtl Reuss流动法则 塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性和不唯一性 所以作为描述本构关系应该是它们的增量之间的关系 这就是增量理论 也就是流动法则 一般来说对于塑性力学问题只有按照增量形式建立起来的理论才能追踪整个加载路径来求解 这也是增量理论的出发点 这里介绍两个增量理论 即Levy Mises流动法则和Prandtl Reuss流动法则 1 Levy Mises流动法则这个理论认为应变增量主轴和应力主轴重合 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例 即 式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平 这个假设在塑性力学的发展过程中有重要的意义 这一理论是Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的 所以被称为Levy Mises流动法则 这个关系式不包括弹性变形部分 所以只适用刚塑性体 2 Prandtl Reuss流动法则这个理论考虑了塑性状态变形中的弹性变形部分 并认为弹性变形服从广义Hooke定律 而对于塑性变形部分 被认为塑性应变增量张量的主轴和应力偏量张量的主轴重合 即 又由塑性不可压缩性体积变化式弹性的有 这就是普朗特 罗伊斯流动法则 比例系数也是和质点位置和载荷水平有关 所以是一个非线性的关系式 考虑到塑性的不可压缩性 即 则 即塑性应变增量偏张量和应力偏张量成正比 弹性变形服从胡克定律 则弹性应变增量偏张量和应力增量偏张量为线性关系 3 8理想弹塑性材料的增量本构方程 对于理想弹塑性材料 后继屈服面和初始屈服面是重合的 若采用Mises条件 则应有求微分有 又因为应变比能的增量为 上式第一项是体积应变比能增量 第二项为形状变形比能增量 记为 这样考虑普朗特 罗伊斯流动法则有 所以有 因为有 理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为 如果应力和应变增量已知 从式可以算出 再代入上面增量型本构方程 即可求出应力增量的偏张量的各个分量和平均应力增量 最后即求得各个应力增量 将它们叠加到原有应力上去 即得到新的应力水平 即产生新的塑性应变以后的各个应力分量 但是另一方面 在应力和应力增量已知时 不能从上面增量型本构方程直接求出应变增量 而只能确定应变增量各个分量的比值 只有当变形受到适当的制约的时候才能确定其各个应变的大小 这是因为对理想弹塑性材料 在一定应力下应变可取无数值 3 9理想刚塑性材料的增量型本构方程 理想刚塑性材料的Levy Mises流动法则为 这里的比例系数可根据屈服条件确定 如采用Mises屈服条件有 得到 现在定义应变增量强度为 那么 理想刚塑性材料的增量型本构方程为 注意到对刚塑性体 材料是不可压缩的 即体积变形为零 在已知应变增量时 由上式可以确定应力偏量 但由于体积不可压缩 不能确定应力球张量 所以不能确定应力张量 反之 如果已知应力分量就可以知道应力偏量 但是由上式只能应变增量各分量之间的比值 而不能确定应变增量各分量的实际大小 这和理想弹塑性材料是一样的 3 10弹塑性硬化材料的增量型本构方程 对于弹塑性硬化材料 采用等向硬化模型 式的系数可由硬化条件来确定 去掉弹性 理想弹塑性 上式微分得到 是函数对自变量的导数 有简单的物理意义 见上图 在线性强化时是常数 把Prandtl Reuss流动法则代入塑性应变增量强度的公式得到 所以 将上面得到的代入Prandtl Reuss流动法则就得到弹塑性硬化材料的增量型本构方程 或写成 例题3 1如图所示 一薄壁圆管 其材料的拉伸硬化曲线为线性 试根据增量理论分别对下列三种加载路径求管的总轴向应变和切向应变 先拉后扭OAB先扭后拉OCB拉扭同时 并保持比例 如图OB 解 根据题意薄壁圆管的应力只有 其它为零 应力强度为 那么Mises屈服条件是一椭圆 每一加载路径分为弹性和弹塑性两个阶段 在弹性阶段本构关系有 在弹塑性阶段考虑到本构关系有 下面分三个路径进行计算 屈服曲线 1 OAB路径 分OA和AB段 OA段是弹性阶段 A点是屈服点 则有 AB段是弹塑性阶段 保持不变 变化 其它应力分量为零 则有 从Mises屈服条件得 将这些量代入弹塑性本构关系 并沿路径积分 则得 得到 屈服曲线 总应变为 2 同理可得OCB路径总应变 3 同理可得OB路径总应变 将三种加载路径的结果比较可以看出 虽然最终应力状态相同 由于路径不同所得的最终应变状态不同 这就反映了塑性变形对加载路径的依赖性 而全量理论并不反映这个特点 只要最终状态的应力相同 不管哪一条路径 最终应变也相同这由全量型的本构关系就可以知道 3 12Prandtl Reuss假设的实验验证 Prandtl Ress假设是应力主轴和塑性应变增量主轴是一致的 也就是说应力Lode参数和塑性应变增量的Lode参数应该相等 为了验证这一点 W Lode做了薄壁圆筒受轴向拉伸和内压力的复合抗力实验 通过实验 由应变算出值 由应力算出值 然后画出与之间的关系曲线和理论曲线为直线 实验结果表明它们大致上是成立的 3 13增量理论的基本方程及边值问题的提法 问题的提法 在加载过程的某一瞬时 已知 在此基础上给定 求 基本方程这些基本物理量必须满足增量型基本方程 其中是卸载或中性变载 是加载 边界条件 在弹塑性区交界面上还应满足一定的连续条件 上述条件下可求出然后叠加到原来的上 最后确定新的屈服面 再求下一步增量 3 14全量理论与增量理论的比较 一般的弹塑性硬化材料 增量理论在加载过程中最后的应变状态和应变路径相关 而全量理论不考虑应变路径 全应变只取决于最终的应力状态 特别是在中性变载情况 两者相差最明显 因为根据实验观察 对中性变载不产生塑性应变的改变 增量理论反映了这一特点 而按全量理论只要应力分量改变 塑性应变也要发生改变 这是因为加载条件中的中性变载就是增量理论的塑性应变增量部分等于零 增量理论在中性区可以保证应力应变的连续性而全量理论不能 但是在小变形且简单加载的情况下 这两个理论是一致的 现在我们来证明一下 下面是这两个理论 增量理论 全量理论 小变形且简单加载 简单加载各分量成比例 代入增量理论公式 因为简单加载所以在加载过程中主方向不变 又是小变形 下面积分存在 增量理论第一式有 增量理论第二式有 上面就证明了在简单加载 小变形情况下 增量理论 全量理论 亦即全量理论在小变形和简单加载的条件下适用 塑性变形和加载路径密切相关 增量理论考虑了这种依赖性 所以一般加载情况下增量理论比较合理 但全量理论仍有很大的工程应用范围 这不仅是因为全量理论适用于简单加载 数学处理方便 而且有人指出对于偏离简单加载一个相当大的范围全量理论也适用 这就加强了人们使用全量理论的信心 3 15塑性势理论 前面所讨论的基本上是由Mises条件和Prandtl Reuss流动法则建立的塑性本构关系 是现在一般通用的理论 本节应用塑性势的概念讨论一般的屈服和流动问题 Mises在1928年把弹性势的概念推广于塑性力学以后 使得塑性力学中的屈服条件 硬化条件和塑性应变增量建立了联系 1 塑性势 弹性势大家知道 在弹性力学中应变和弹性应变比能有下列关系 即 式中是弹性应变比能 对理想弹性体它是正定的势函数 称为弹性势 若把看成应力空间的一个等势面 则上式可以理解为 应变矢量的方向与弹性势的梯度方向 即等势面的外法线方向一致 塑性势Mises在1928年提出了类似与弹性势的塑性势理论 他考虑到塑性变形的特点 提出塑性势不仅与应力状态有关 而且与加载历史有关 即 类似与弹性势有 式中是一个非负的比例系数 是标量 如果