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1 综合练习 303 解答 一 填空题 1 以下函数的性质中 是其他的充分条件 A 连续 B 可偏导 C 可微 D 有方向导数 解 选 C 2 函数 22 0 0 0 0 0 xy x y xyf x y x y 在 0 0处 A 连续且可偏导 B 连续但不可偏导 C 可偏导但不连续 D 不连续不可偏导 解 当 x y沿ykx 趋向于 0 0时 2 1 k f x y k 依k的不同而不同 故 22 0 0 lim x y xy xy 不存在 即函数在 0 0处不连续 而 00 00 00 0 0limlim0 0 x xx f xf f xx 00 0 0 00 0 0limlim0 0 y yy fyf f yy 故可偏导 因此选 C 3 设 F x y在区域D内有连续偏导数 00 xyD 若 则方程 0F x y 在 00 xy邻域内唯一确定连续可导的隐函数 yy x 使得 00 yy x 且 x y Fdy dxF 解 00 0F xy 00 0 y Fxy 4 sinsinfx yxyyx 在 2 2 处的最大方向导数为 2 解 2 2 2 2 grad sincos cossin1 1 2 2 xy fffyyx xyx 故 2 2 f l 的最大值为沿 1 1方向的导数 等于 1 12 5 设 2 yz t xz ue dt 则 du dz 解 2222 yzxzyzxz u eyexyexe z 6 设 zf u v 有二阶连续偏导 uaxby vcxdy 则 2z x y 表达式 中 uv f的系数是 解 uvuv zuv ffafcf xxx 2 uuuvvuvvuuuvvuvv zuvuv affcffabfadfbcfcdf x yyyyy 故 uv f的系数是adbc 7 设 2 11 1 11 cos sin y MP LN dyfx y dxdfd 则 L M N P依次 为 解 2 11 12cos 4 1 11 4cos cos sin y dyfx y dxdfd 8 设 2222 xyza 1 是其第一卦限部分 则 2 xyzdv 3 A 222 xyzdv B 1 2 8xyzdv C 1 222 8xyzdv D 1 2 24x dv 解 2 222 xyzdvxyzdv 故选 B 二 设 23 uxy z 而 zz x y 是方程 222 3xyzxyz 确定的隐函数 求 1 1 1 u y 解 322 1 1 11 1 11 1 1 2323 uzz xyzxy z yyy 而 222 32233 zz xyzxyzyzxzxy yy 代入1 1 1xyz 得 1 1 1 1 z y 于是 1 1 1 231 u y 三 在曲面 222 221xyz 上找一点 使函数 222 uxyz 在该点沿方向 1 1 0l 的变化率最大 解 grad2 2 2uxyz 11 0 22 l e grad22 l u u exy l 令 222 221Lxyxyz 则 222 140 140 200 2210 x y z Lx Lyyx Lzz Lxyz 解得 1 2 x 1 2 y 0z 于是 11 0 22 2 u l 为最大值 1 1 0 2 2 2 u l 为最小值 4 四 求 2 D Iyx d 其中D是曲线 2 xy 和 2 32xy 所围区域 解 2 2 1 32 xy y xy 故 2 2 3 21 2 1 24 5 y y Idyyx dx 五 求 22 Iz xydv 其中 22222 14 xyzzxy 解 sincos sinsin cos xr yr zr 故 22 4 222 001 21 sincossin 16 Iddrrr dr 六 求 22 xy L Ixy eds 其中L是 2 1yx 与yx 所围区域的边界 解 1 Lyx 1 2 0 2 x 1 12dsdxdx 2 cos sin x L y 3 44 22 sincosdsdd 3 Lyx 1 0 2 2 x 1 12dsdxdx 2 123 3 0 4 21 1 2 24 2cossin x LLL Ixx edxe d 2 1 2 2 2 0 131 2022122 222 x xx edxeee 七 求 1 ln