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中考数学专题复习-整体思想 （北师大版）整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时有着广泛的应用。一、整体思想在数与式中的应用例1、计算.分析：若按运算顺序进行计算，计算量比较大，观察各个括号里的算式，看一下它们之间的联系，想办法用“整体替换”。解：设，则。将它们代入原式，得原式=。点拨：该题中，若把每一个括号里的算式看做一个多项式，按照多项式乘法法则先算乘法，再算减法，这样有很多项可以互相抵消。因此，用“整体替换”可以简化中间互为相反数的项，能使运算简便。例2、当时，代数式的值是2001，则当时，代数式的值是（ ）.A. B. C. D.分析：由题设有。欲求当时，代数式的值，似乎需要分别求出和的值，其实这不必要也不可能。我们可视为一整体，得，当时，代数式。解：A。点拨：本题运用的还是整体代入的方法。例3、若，则分析：本题若按常规，先求出的值，再代入计算则十分冗繁，若将看成一个整体，两边平方得：，即解：7。点拨：本题运用的是整体变形的策略。二、整体思想在方程（组）中的应用例1、（2002年江苏省镇江市中考题）已知二元一次方程组为则x-y=_, x+y=_.分析：若直接解出x与y的值，再代入所求代数式，虽然能求得结果，但很费力。仔细观察两个方程，会发现两边分别相加和相减即可得到所求代数式的值。-，得 x - y = - 1+，得 3x + 3y = 15化简，得 x+y=5 解：。点拨：这道题目的计算量和计算难度都不大，但它体现了一种巧用的计算方法，这是巧用整体思想方法。例2、方程组的解是,则a+b=_.分析：把解代入原方程组，得, 两方程相加，得3a+3b=9,所以a +b=3。解：3.点拨：本题的做法与例1相同，都是运用了整体变形的策略。例3、有甲、乙、丙三种货物，若购甲件，乙件，丙件，共需.15元，若购甲件，乙件，丙件，共需4.20元，现购甲、乙、丙各件，只需多少元？分析：本题是一个三元而只有两个独立条件的问题，因此分别求购甲、乙、丙各件不可能，必须用整体法。解：设购买甲、乙、丙各件各需x元、y元、z元，依题意得（1）3（2）2，得x+y+z=1.05（元）答：购甲、乙、丙各1件只需1.05元。图1点拨：根据问题的特点和要求，从全局着眼，把一些表面上不相干而实质上又紧密联系的量作为整体来考虑，善于运用这种思想来解题，往往具有事半功倍之效。三、整体思想在几何计算中的应用例1、如图1，在高2米，坡角为30o的楼梯表面铺地毯， 则地毯长度至少需 米。图2分析：本题如果按一般思路求解，需要分别求出每一段台阶所需地毯的长度（水平部分的长+垂直部分的长），然后乘以台阶的级数。但是，每一级台阶的长河高都是未知的，所以我们无法求得每级台阶所需地毯的长度。这是我们需要变换角度思考，尽管每级台阶的长和高都是未知的，但是台阶的竖直高度AC是已知的，水平宽度BC也是可求的，所以 我们可以将这一问题从整体的角度来考虑，如图2所示，我们可以通过添加辅助线把每级台阶的高平移到AC上，即得各级台阶的高之和为AC的长，同样可得各级台阶的水平宽之和为BC的长。最终球队所需的地毯的总长度等于各级台阶的水平宽度和竖直高度之总和米。解：。点拨：要注意铺设地毯的长度不是斜边AB的长。例2、如图3，A、B、C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的阴影部分的面积是（ ）.图3A. B. C. D. 分析：由于各个扇形能分别求各个扇形的面积，为此，要求阴影部分的面积，就要将三个阴影部分整体考虑。注意到三角形内角和为180，所以三个扇形的圆心角和为180，又因为各个扇形当半径相等，所以阴影部分的面积为圆的面积，即。解：C。点拨：把上面的三个扇形经过平移、旋转移到一起可以拼成一个半圆形。图4例3、有星形图4，求A、B、C、D、E的和。分析：显然，我们无法分别求出A、B、C、D、E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“A+B+C+D+E”这一整体的值，因此我们可以通过添加辅助线（连接CD），利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和定理，即可使问题得以解决。解：连接CD。则有1+2=B+E，A+B+C+D+E=A+C+D+1+2，而A+C+D+1+2又是ACD的内角和，等于180。A+B+C+D+E=180。点拨：本题的解题关键是通过作辅助线，实现角的等量代换，运用三角形的有关知识解决。专题训练一、选择题1、（2005南通）把多项式分解因式,结果是（ ）.A、B、C、 D、2、（2005潍坊）若 求的值是（ ）A B C D3、（2005泸州）用换元法解方程，若设，则原方程可变形为（ ）.A B C D4、（2005嘉兴）方程组的一个解是（ ）A. B. C. D.5、（2005大连）若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值 （ ）A、不变 B、是原来的3倍 C、是原来的 D、是原来的图51m1m30m20m6、（2005泸州）如图5，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）.A600m2B551m2 C550 m 2 D500m2二、填空题 7、（2004山西）已知，那么的值为_。8、（2004四川巴中）已知且，则9、（2004浙江宁波）已知，且，则10、（2005绵阳）若非零实数a,b满足4a2+b2=4ab，则=_.11、（2005荆门）如图6，已知方格纸中是4个相同的正方形，则123. 123图6图712、（2005嘉兴）如图7，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧（弧的端点分别在四边形的相邻两边上），则这4条弧长的和是_.13、（2005绵阳）如图8，在ABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是ABC和ACB的角平分线，且PDAB，PEAC，则PDE的周长是_ cm. .图8 图914、（2005河南）如图9，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是 。图1015、（2005大连）如图10，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则图中阴影部分面积和为_。三、解答题16、（2005资阳）计算：17、（2004山西太原）已知实数满足，求的值。18、（2004宁波）解方程：答案与提示一、1.A 2. A 3.C