数学实验二定积分近似值计算.docx

实验二定积分的近似计算实验序号：2 日期：2015年12月5日班级姓名学号实验名 称实验二定积分的近似计算问题背景描述：1、计算定积分的方法。 2、利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形。如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法。在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分。3、积分的方法-换元积分，分部积分实验目的： 本实验主要介绍计算定积分的三种基本近似计算法：矩形法、梯形法和抛物线法。三种方法的原理-算法-Matlab程序（重点）介绍Matlab自带的计算定积分的相关函数：1、数值积分函数 trapz、quad、integral、integral2、bdlquad。2、符号积分函数：int实验原理与数学模型：按定义计算定积分步骤：1、大化小2、常代变3、近似和1、矩形法：根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度。针对不同的取法，计算结果会有不同。（1） 左点法：对等分区间 ， 在区间上取左端点，即取。 （2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取 。（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。2. 梯形法： 等分区间 ， 相应函数值为。曲线上相应的点为 将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个 上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即称此式为梯形公式。1 抛物线法：将积分区间 作 等分，分点依次为 ，对应函数值为 曲线上相应点为现把区间上的曲线段用通过三点，的抛物线。来近似代替，然后求函数从到的定积分由于代入上式整理后得同样也有 将n这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式。实验所用软件及版本：Matlab2012主要内容（要点）：1、 分别用矩形法、梯形法计算积分I=011/(1+x)dx，n=1002、 分别用矩形法、梯形法计算积分12dx/x,n=100第一题：分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算01dx/(1+x)取n=258，并比较三种方法的精确程度。第二题：分别用梯形法、抛物线法，计算12dx/x，将积分区间1,2作120等分。并尝试直接使用函数trapz(),quad()进行计算求解，比较结果的差异。第三题：学习fuluBsum.m的程序设计方法，尝试用函数sum改写矩形法和抛物线法的程序，避免for循环。实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：1.（矩形法）clear; clc%f(x)=1/(x2+1);a=0;b=1;n=100;h=(b-a)/n;Sum=0;for i=1:nxz=a+(i-1)*h;s=(1/(xz2+1)*h;%f=1/(x2+1);Sum=Sum+s;endfprintf(积分为%gn,Sum);（梯形法）clear;clc;syms x fx;fx=1/(x2+1);a=0;b=1;n=100;h=(b-a)/n;Sum=0;for i=1:nxj=a+(i-1)*h;xi=a+i*h;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);Sum=Sum+(fxj+fxi)*h/2;endfprintf(积分为%gn,Sum);2.（梯形法）clear;clc;syms x fx;fx=1/x;a=1;b=2;n=100;h=(b-a)/n;Sum=0;for i=1:nxj=a+(i-1)*h;xi=a+i*h;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);Sum=Sum+(fxj+fxi)*h/2;endfprintf(积分为%gn,Sum);（矩形法）clear;clc%f(x)=1/x;a=1;b=2;n=100;h=(b-a)/n;Sum=0;for i=1:nxz=a+(i-1)*h;s=(1/xz)*h;%f=1/x;Sum=Sum+s;endfprintf(积分为%gn,Sum);第一大题（矩形法）clear;clc；%f(x)=1/(x2+1);a=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;Sum=0;for i=1:nxz=a+(i-1)*h;s=(1/(xz2+1)*h;%f=1/(x2+1);Sum=Sum+s;endfprintf(积分为%gn,Sum);积分为0.786367（梯形法）clear;clc;syms x fx;fx=1/(x2+1);a=0;b=1;n=258;h=(b-a)/n;Sum=0;for i=1:nxj=a+(i-1)*h;xi=a+i*h;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);Sum=Sum+(fxj+fxi)*h/2;endfprintf(积分为%gn,Sum);积分为0.785398（抛物线法）clear;n=258;a=0;b=1;h=(b-a)/n;inum5=0;f=(x)1/(x2+1);for i=1:nx0=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);x1=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n);x2=a+2*i(b-a)/(2*n);inum5=inum5+(f(x0)+4*f(x1)+f(x2)/6;endinum5=inum5*h;fprintf(抛物线法计算结果:%.16fn,inum5);抛物线法计算结果:0.7853981633974487第二大题（梯形法）clear;clc;syms x fx;fx=1/x;a=1;b=2;n=120;h=(b-a)/n;Sum=0;for i=1:nxj=a+(i-1)*h;xi=a+i*h;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);Sum=Sum+(fxj+fxi)*h/2;endfprintf(积分为%gn,Sum);积分为0.693152（抛物线法）clear;n=120;a=1;b=2;h=(b-a)/n;inum5=0;f=(x)1/x;for i=1:nx0=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);x1=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n);x2=a+2*i(b-a)/(2*n);inum5=inum5+(f(x0)+4*f(x1)+f(x2)/6;endinum5=inum5*h;fprintf(抛物线法计算结果:%.16fn,inum5);抛物线法计算结果:0.6931471805693641clear;clc;x=1:1/120:2;y=1./x;trapz(x,y)ans =0.6932clear;clc;quad(1./x,1,2,10e-10)ans =0.6931第六大题%矩形法clearclc%f(x)=1/(1+x2); %被积函数a=0b=1n=258 （n=100）h=(a+b)/niv=1:nxz=a+(iv-1)*h ; %向量s=(1./(1+xz.2)*h %向量sum=sum(s) %向量求和fprintf(积分为 %gn,sum)%抛物线法clearclcn=100a=0b=1h=(b-a)/nf=(x) 1/(1+x2); %定义被积函数iv=1:nxz0=a+(2*iv-2)*(b-a)/(2*n)xz1=a+(2*iv-1)*(b-a)/(2*n)xz2=a+2*iv*(b-a)/(2*n)s0=1./(1+xz0.2)s1=1./(1+xz1.2)s2=1./(1+xz2.2)inum5=sum(s0+4*s1+s2)/6)