数学精讲大学-定积分七.doc

GCT考点精讲班-数学大学数学-定积分定积分内容综述1定积分的概念（1）曲边梯形的面积（2）定积分的定义：设函数在区间上有定义，若对于的任意划分，及任取的点，极限都存在，则称函数在区间上（Riemann）可积，其极限值称为在区间上的定积分，记作 （3）定积分的几何意义：平面图形的面积（4）函数平均值的概念：2.定积分的性质（1）定积分的线性性质：若函数都在上可积，则对任意的实数，函数在上也可积，且（2）定积分的区间可加性：若，则在与上均可积，且反之亦然（3）定积分的方向性：（4）特殊函数定积分的性质（奇偶性、周期性）：若函数在上可积，则若函数可积且以为周期，则对任意的实数，都有（5）定积分的比较定理（保号性）:若函数都在上可积，且，则（6）绝对值函数的可积性：若函数在上可积，则其绝对值函数在上可积，且（7）定积分的估值定理：若函数在上可积，且，则（8）积分中值定理：若函数在上连续，则存在，使得注1：本定理说明，当函数连续非负时，曲边梯形的面积恰好等于一个矩形的面积，此矩形的底为，高为注2：是函数在上的平均值，对连续函数来说，其平均值一定是某一点的函数值3变限定积分函数（1）变限定积分函数的定义：（2）变限定积分函数的性质 连续性： 可导性：若函数在上连续，则在上可导，且即 Note：Note：4定积分的计算-牛顿-莱布尼兹公式：设函数在区间上连续，是在区间上的一个原函数，则5定积分的换元积分法和分部积分法；6定积分的几何应用（1）平面图形的面积：（2）旋转体的体积：（3）平面曲线的长度：定积分典型例题（概念与性质）例7-1利用定积分的几何意义解:例7-2计算解：例7-3（200521）设连续函数在内严格单调递增，且，若是的反函数，则=( ) A BC D分析：aaAB如图，根据定积分的几何意义可知：，所以即正确选项为B例7-4.（2011.19）若是的一个原函数，则（ ）. A. B. C. D. 答：C分析：本题主要考查了原函数的概念和定积分的几何意义因为，所以注：定积分表示的是圆弧与直线，及所围区域的面积例7-5.（2011.21）设在上单调连续， ，且对任意总有，是的反函数，则（ ）. A. B. C. D. 答：D分析：本题主要考查了凸函数的定义、反函数的概念、定积分的几何意义由题意，函数在区间是上凸函数根据反函数的概念及定积分的几何意义，表示的是图中曲边的面积，其值小于例7-6 比较与，与的大小解 因为当时，所以，例7-7（200919）设函数在上连续若在内，则对任意的有（ ）ABCD【分析】 因为，所以函数在区间上单增，又当时，所以，从而，正确选项为A定积分典型例题（运算）例13-1.（2011.20）若函数，则（ ）. A. B. C. D. 4e答：A分析：本题考查了变限定积分的导数公式因为，所以例13-2：求下列函数的导数（1）， （2）解：（1）因为 ，所以 （2）因为， 所以例13-3已知函数由方程确定，求解 因为 ，所以因此 例13-4：若函数由参数方程确定，则（ ）A B C D 分析：当在附近时，因为，所以故答：A例13-5（200819）当时，函数可导，有非负的反函数，且恒等式成立，则函数=（ ）A BC D分析：由，得，又，所以，即又由知，即，所以，故所以正确选项为例13-6（2010.18） 若连续周期函数（不恒为常数）对任何恒有成立，则的周期是（ ）ABCD答：C分析：由，求导得，即，所以周期为例13-7已知，求，解 因为 ，所以，因此 ，例13-8已知，求的值解 因为 ，所以例13-9（2003）设，则 （积分性质）ABCD*解 令，则或令，则 0 1 2xy1例13-10（200621）如右图所示，函数是以2为周期的连续周期函数，它在0，2上的图形为分段直线，是线性函数，则（）A B C D 答：B分析：根据图形可知 ，且函数在每个长度为的区间上的积分值相等，所以 例13-11 已知，求解：因为，所以例13-12 已知，求解：例13-13：若函数的二阶导数连续，且满足，则（ ）AB CD 答：B分析：由分部积分法，得因为，且，所以即定积分典型例题（几何应用）例4-1 求由及在处的法线所围图形的面积解 在处的法线方程为 ，此法线与轴的交点是 ，所以例4-2.（200417）过点作曲线的切线，设该曲线与切线及轴所围成的面积为，曲线与直线及轴所围成的面积为，则（ D ）ABCD*分析：由于，所以例4-3.（2010.21） 设曲线，该曲线在点和的切线相较于点若该两切线与所围区域的面积为