数字信号处理第一章.pdf

第一章 离散时间信号与系统 本章作为全书的基础 主要学习时域离散信 号的表示方法和典型信号 线性时不变系统的因 果和稳定性 以及系统的输入输出描述法 线性 常系数差分方程的解法 最后介绍模拟信号的数 字处理方法 1 1 离散时间信号 序列 1 2 线性移不变系统 1 3 常系数线性差分方程 1 4 连续时间信号的抽样 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 1 1 1 离散时间信号 序列 一 序列序列 1 序列定义 以T为间隔对模拟信号xa t 进行等 间隔采样 得到一个有序的数字序列 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 2 为整数n nnTxtx anTta 为整数nnnTxnx a 由于xa nT 存在存储器中 加之非实时处 理 可以用x n 表示xa nT 即第n个离散时间 点的值 这样 x n 就表示序列 为了方便 通常用x n 表示序列 即 2 序列的表示方法 1 公式表示法 2 图形表示法 3 集合符号表示法 如果x n 是通过观测得到的一组离散 数据 则其可以用集合符号表示 例如 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 3 9 8 7 3 2 1 nx sin nnx x n n x 2 x 1 x 0 x 1 x 2 2 1012 二 序列的运算 1 移位 2 翻褶 3 和 4 积 5 累加 6 差分 7 时间尺度变换 8 卷积和 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 4 1 序列的移位运算设某一序列为 x n 当 m 为正时 则 x n m 是指原序列 x n 逐项 依次延时 右 移 m 位而给出的一个新序列 而x n m 则指依次超 前 左 移 m 位 如图 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 5 4 3 210 n x n 2 1 3 4210 n 2 1 3 3 56 x n 2 20 n 2 1 3 2 1 1 x n 2 2 序列的翻褶 折迭 运算 如 果 序 列 为 x n 则 x n 是 以n 0 的 纵 轴 为 对 称 轴 将 序 列 x n 加 以 翻 转 如 图 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 6 4 3 210 n X n 2 1 3 2 1 0 n X n 2 1 3 3 4 3 序列的和 加法 运算 如果两序列分别为 x1 n 和x2 n 两序列的和是指同序号n 的序列值逐次对应相加而构成一个新的序列z n 表示为 z n x1 n x2 n 如 图 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 7 4 3 210 n X1 n 2 1 4 3 210 n X2 n 2 1 4 3 210 n X1 n X2 n 2 1 3 4 序列的积 乘法 运算两 序 列 相 乘 是 指 同 序 号 n 的 序 列 值 逐 项 对 应 相 乘 表示为 x n x1 n x2 n 如 图 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 8 4 3 210 n X1 n 2 1 4 3 210 n X2 n 2 1 4 3 210 n X1 n xX2 n 2 1 3 5 序列的累加运算 设某一序列为x n 则x n 的累加序列y n 定义为 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 9 n k kxny 即表示n以前的所有x n 的和 6 序列的差分运算 前向差分 先左移后相减 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 10 1 nxnxnx 1 nxnxnx 1 nxnx 后向差分 先右移后相减 二者关系 7 序列的时间尺度变换运算 1 若序列为 x n 其时间尺度变换序列为x mn 或x n m m是正整数 1 抽取 x mn 例m 2 x 2n 相当于两个点取一点 依此类推 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 11 x n 1 2 3 1 2 1 4 2 1012 n x 2n 1 3 1 4 101 n 7 序列的时间尺度变换运算 2 2 插值 x n m 例 m 2 x n 2 相当于两个点之间插一个点 依此类 推 通常 插值用I 倍表示 即插入 I 1 个值 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 12 x n 1 2 1 2 101 n x n 2 2 1 2 2 1012 n 1 8 序列的卷积和运算 设序列x n h n 它们的卷积和y n 定义为 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 13 mm nhnxmnxmhmnhmxny 卷积和求解方法 1 直接计算法 2 图解法 翻褶 位移 相乘 相加四步 3 短序列相乘法 卷积和求解 直接计算法 直接法要求被卷积的序列可用简单闭合数学表达式表示 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 14 的卷积与例 求序列 nunhnuanx n 0 0 mum 当 m mnhmxnhnxny 解 m m mnumua 0 mnunm 和中无非零项 0 0 nyn a a anyn nn m m 1 1 0 1 0 1 1 y 1 nu a a n n 卷积和求解 图解法 图解法步骤 1 将已知序列x n h n 用x m h m 表示 并将 h m 进行翻转 形成h m m是哑变量 2 将h m 移位n 得到h n m 3 将x m 和h n m 中相同序号m的序列值对应相乘 后再相加 此过程对所有可能的移位值n重复进 行 注意 若两个序列长度为N M 卷积后的序列长度 则为N M 1 对线性移不变系统 卷积和亦称线性卷积 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 15 图解例 已知x n h n 如图 求卷积 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 16 nhnx 当n 0时x n h n 1 m 当n 1时x n h n 2 0123 1 h 1 m 当n 2时x n h n 3 m h 2 m 0123 1 m h 3 m 当n 3时x n h n 4 0123 1 0123 1 m h m 0123 1 m x m m h 0 m 0123 1 1 2 3 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 17 m h 4 m 当n 4时x n h n 3 0123 m h 5 m 当n 5时x n h n 2 0123 m h 6 m 当n 6时x n h n 1 0123 m h 7 m 当n 7时x n h n 0 0123 11 11 n x n h n 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 卷积和求解 短序列相乘 当x n 和h n 都是有限长且持续时间短时可用短序列相 乘法 其步骤为 1 顺序写出x m 的值 x 2 x 1 x 0 x 1 x 2 2 顺序写出h m 值 h 2 h 1 h 0 h 1 h 2 3 两序列值x 0 和h 0 对齐 把每一对数相乘 然后把乘 积相加得y 0 值 4 把逆时间序列h m 向右滑动一位 依上作法得y 1 5 对所有n 0重复 得n 0时得y n 6 按相同作法向左滑动逆时间序列 求得所有n 0时得 y n 值 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 18 二 序列的周期性 一般序列 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 19 Nnxnx N为周期 正弦序列 sin 0 nAnx 0 2 k N N k为整数 只有当 0 2 为有理分数时 正弦序列才是周期的 否则为非周期的 例 0n 0 0n 1 n n a nuanx 非周期序列 cos 2 2 nnx 8 3 nj enx 非周期序列 周期序列 N 16 序列的周期性 推论 若x1 n 是一周期为N1的序列 x2 n 是另一周期为N2的序列 则两序列的和序 列x n x1 n x2 n 恒是周期的 且周期 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 20 gcd 21 21 NN NN N 是最大公约数 gcd 21 NN 同理 两序列的乘积x1 n x2 n 也是周期 的 1 2 线性移不变系统 一个时域离散系统是将输入序列x n 变换成 输出序列y n 的一种运算 以T 表示为 y n T x n 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 21 离散时间系统 T x n x n y n 我们所要关心与讨论的主要是线性系统 和时不变系统 内容包括它的概念表征 和性质 另外还将解释与它有关的系统 因果性和稳定性 一 线性系统 若系统满足叠加原理 叠加性与齐次性 则称此系统为线性离散时间系统 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 22 11 nxTny 22 nxTny 2211 22112211 nxTanxTa nxanxaTnyanyany 求线性系统对某一叠加型复杂输入信号 的响应时 可分解成简单信号的叠加来 研究 二 移不变系统 定义 系统响应与激励加于系统得时刻无关 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 23 即若 nxTny mnxTmny 则 是移不变系统 因为例 1 0 2 0 2 nnxnnynxny 是移变系统例 2 nxnxny 证 因此是移变系统 nnx 当 2 nnnny 1 1 nnx 当 1 2 1 1 1 nnnny LSI 同时满足线性和移不变性的离散时间系统 小结 小结 判断系统的线性或移不变性有两种方法 用定义 或采用特殊输入序列 三 单位样值响应与零状态响应 定义 在零初始条件下 输入为单位样值 序列时系统的响应 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 24 nTnh 即 的零状态响应 是系统对显然 nnh 若已知h n 则当任意输入x n 响应为 nhnxmnhmxny m h n 是LSILSI系统的重要表征 四 LSI系统的性质 交换律 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 25 nxnhnhnx 结合律 分配律 特例 2121 nhnhnxnhnhnx 2121 nhnxnhnxnhnhnx knxknnx 五 因果系统 定义 定义 若一个时域离散系统的输出y n 在n n0时 的值y n0 只取决于n n0的 输入x n n n0 则称此系统是因果系统 因果性实际上要求系统的输出值只和以前的输入和 输出值有关 这样的系统才是物理可实现的 但并 非所有有实际意义的系统都是因果的 例如对图象 已记录数据处理以及平均处理的系统 不是因果系统 而y n x n 也是非因果系统 因为 n0的输入 线性移不变系统是因果系统的充分且必要的条件是 h n 0 n 0 当n 0时序列值恒等于零的序列称之为因果序列 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 26 六 稳定系统 定义 定义 有界的输入产生有界的输出的系统 称之为稳定系统 线性移不变 LSI 系统稳定的充要条件是 h n 绝对可和 即 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 27 n nhS 不稳定系统 例 2 1 nunh n 稳定系统 例 2 1 2 nunh n 1 3 线性常系数差分方程 线性常系数差分方程用于描述离散时间线性移不 变系统输入与输出的关系 系统的一般性方程为 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 28 M m mk mnxbknya 0 N 0k 差分方程的解法有三种 1 经典法 类似于微分方程的解法 很少用 2 迭代法 递推 适于简单情况 3 Z变换法 常用 一 迭代法 h n 的求解 本书中的数字滤波器是松弛系统 零初始状态 因此 给定输入值和边界 起始 条件 用迭代法可以求出系 统响应 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 29 0 0 nhn 1 0 1 0 0 ahhn aahhn 1 0 1 1 2 2 1 2 2aahhn n anh nuanh n 描述 方程设因果系统用一阶差分 例 1 1 nxnayny 时系统的 零初始状态求输入 0 1 nhynnx 0 1 0 1 hy 即初始条件解 时 系统稳定当讨论 1 a 二 因果 线性 移不变与方程关系 一个常系数线性差分方程不一定代表因果系统 只当边界条件合适时才是因果的 否则不是 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 30 上例中 anxnynyynnx 1 0 0 0 0 nhnyn 0 1 1 0 ahh 1 0 0 1 aahh 2 1 1 2 aahh n anh 1 nuanh n 非因果系统 时 系统稳定当1 a 上例中若边界条件改为y 0 1 则系统既不是 线性系统 也不是移不变系统 证明 1 4 连续时间信号的抽样 连续信号 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 31 离散信号 抽样抽样 均匀抽样 均匀抽样 用周期性抽样脉冲序列从连续时间信号中 抽取一系列离散值 本节讨论信号抽样后频谱有什么变化 在什么条 件下可以不失真恢复原信号 抽样器原理 抽样器原理 量化量化 数字信号 txa t xa P t T T f s 1 抽样方式 脉冲抽样 实际抽样 和理想抽样 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 32 一 理想抽样与恢复 1 抽样信号与FT 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 33 k tjk m T s e T mTtttp 1 抽样信号 m aTaa mTtmTxttxtx 连续信号的FT dtetxjX tj aa 冲激序列的FT s k sT kj 抽样信号的FT k sa aTa jkjX T jXjjX 1 2 1 冲激序列 频谱图 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 34 0 c c Xa j s s 0 0 c s 2 s 0 s s s 2 s 2 s j T jXa jXa 频谱混叠 抽样频谱 脉冲频谱 信号频谱 频谱特点 1 频谱周期延 拓 不仅包 含原信号频 谱 还包含 无限多K倍 谐波 2 幅度是原信 号频谱的1 T 倍 小结 除常数因子1 T外 每一延拓谱分量都与原信 号谱分量相同 只要不发生频谱混叠 通过低 通滤波器就可以恢复原信号 采样定理 采样定理 如果采样频率大于或等于有限带宽 信号最高频率fm的2倍 奈奎斯特采样频率奈奎斯特采样频率 则该信号经采样后能不失真恢复 理论上 对非带限信号 不管采样率多高 都 难以避免频谱混叠 因此实际中必须先对连续 信号进行一次预滤波以限制带宽 然后采样 以保证对有限带宽信号采样的先决条件 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 35 2 理想抽样信号的恢复 i 从频域角度分析信号的恢复 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 36 1 2 jX T jX T aa s 当 通过理想低通滤波器 可得到基带频谱 2 2 0 s s T jH Y a jXjHjXj aa 再经傅立叶反变换得到原信号 txjYIFTty aaa 采样恢复示意图 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 37 0 0 H j x a t y a t 0 H j T T X a j a b c d jX a ii 从时域角度分析信号的恢复 抽样内插公式 由时域卷积定理 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 38 Y a jXjHjXj aa txdthxty aaa 理想低通滤波器的冲激响应 de T dejHth s s tjtj 2 2 2 2 1 T t T t t t s s sin 2 2 sin 抽样内插公式 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 39 dthmTxty m aa m a dmTthx m a mTthmTx m a mTt T mTt T mTx sin 内插函数 输出 原信号抽 样点的值与内插 函数乘积和 内差函数的特点 在取样点mT上的函数值为1 在其余取样点 上函数值为0 2012 11 3 大连海事大学信息学院电子信息基础教 研室 40 mTt T Sa m 2 T m 1 T mT m 1 T m 2 T 公式说明 1 在抽样点上 信号值不变 2 抽样点之间的信号则由各抽样函 数波形的延伸叠加而成 结论 结论 只要抽样频率高于两倍信号最高频 率 连续信号就可以由它的抽样信号完全 代表而不损失信息 2012