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第二章第二章 流体静力学流体静力学 第二章第二章 流体静力学流体静力学 引引言言 流体静力学流体静力学是研究流体在静止状态下的平衡规律及应用 是研究流体在静止状态下的平衡规律及应用 静止静止是指流体质点相对于参考坐标系没有运动的情况 是一个相对概是指流体质点相对于参考坐标系没有运动的情况 是一个相对概 念 包括 念 包括 绝对静止绝对静止 流体对地球无相对运动流体对地球无相对运动 相对静止相对静止 流体对地球有相对运动 但流层之间无相对运动流体对地球有相对运动 但流层之间无相对运动 流体静力学理论的流体静力学理论的适用范围适用范围 理想流体 实际流体 理想流体 实际流体 无论理想流体或实际流体 在静止状态下 流体层与层之间都没有相无论理想流体或实际流体 在静止状态下 流体层与层之间都没有相 对运动 实际流体的粘性特征未能显现 实际流体在静止状态下的物对运动 实际流体的粘性特征未能显现 实际流体在静止状态下的物 理特性类同于理想流体 因此 理特性类同于理想流体 因此 流体静力学理论同时适用于理想流体流体静力学理论同时适用于理想流体 和实际流体和实际流体 第二章第二章 流体静力学流体静力学 章节结构章节结构 压强压强 p 总压力总压力 P 作用在流体上的力 作用在流体上的力 受力分析方法受力分析方法 2 1 流体静压力的概念及其特性流体静压力的概念及其特性 2 2 流体静力学基本方程流体静力学基本方程 2 3 压强的测量压强的测量 2 4 液体的相对静止液体的相对静止 2 5 2 7 浮体及其稳定性浮体及其稳定性 静止流体作用在表面上的总压力静止流体作用在表面上的总压力 2 6 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 1 作用在流体上的力作用在流体上的力 质量力的类型及其分析方法质量力的类型及其分析方法 掌握掌握 表面力受力分析表面力受力分析 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 1 作用在流体上的力作用在流体上的力 力学中的受力分析方法 动力学仍然适用 一 表面力 surface force 1 表面力的概念 作用于流体上的力 表面力 质量力 表面力指作用在所研究的流体表面上的力 2 表面力的特点 接触力 大小不表面积有关且为力系作用 A 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 1 作用在流体上的力作用在流体上的力 3 表面力的表示 FFF n 表面力的分解 表面应力的分解 A F A F A F n n F 说明 法向应力 p 切向应力 F F A 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 1 作用在流体上的力作用在流体上的力 3 表面力的表示 FFF n 表面力的分解 表面应力的分解 A F A F A F n n F 说明 法向应力 p 切向应力 F F 二 质量力 重力 G 惯性力 牛顿运动第二定律 fmF 流体质点受某种力场的作用而受到的力 1 质量力的概念 2 典型质量力 3 质量力的表示 习惯上 常表示成单位质量力 单位质量流体所受的质 量力 的形式 即 分量形式 kfjfiff zyx 2 1 作用在流体上的力作用在流体上的力 2 举例 假若作用在流体上的质量力只有重力 当取xy 平面为水平面 z轴为铅直向上时 则单位质量力在各坐 标轴的分量为 关于单位质量力的说明 1 单位质量力在数值和单位上均不所对应的加速度相同 gmmgfff yx 0 0 z 3 注意 单位质量力为惯性力时 单位质量力的方向不 加速度的方向相反 a x z o gffaf yx z 0 思考题 1 比较重力场 质量力只有重力 中 水和水银所 受的单位质量力f水和f水银的大小 A f水f水银 D 丌一定 2 试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液体 所受的单位质量力大小 fx fY fZ 分别为多少 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 2 流体静压力及其特性流体静压力及其特性 流体静压力的特性流体静压力的特性 掌握掌握 流体静压力的概念流体静压力的概念 第二章第二章 流体静力学流体静力学 一 静压力一 静压力 pressure 定义 静止流体中 作用在单位面积上的表面力称为静压力 亦称压 强 设微小面积 A上的总压力为 P 则 平均静压力 点静压力 单位 帕斯卡 Pa 牛顿 米2 N m2 总压力 Fp 作用于某一面积上的总静压力 单位 牛顿 N A P p 0 lim A P p A 掌握掌握 第二章第二章 流体静力学流体静力学 m 图图2 1 静止流体中的单元体静止流体中的单元体 m 图图2 1 静止流体中的单元体静止流体中的单元体 二 静压力的两个特性二 静压力的两个特性 1 静压力方向永远沿着作用面内法线方向 内 指向 作用面 法线 垂直作用面 反证法 p pn 掌握掌握 综上 静压力的方向必垂直且指向作用 面 即永远沿着作用面的内法线方向 静止流体不能承受剪切作用力 1 垂向作用力pn指向作用面 2 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等 不 作用面方位无关 即静压力各向等值 取微元体 研究对象 取微元体 研究对象 受力分析受力分析 导出关系导出关系 平衡关系平衡关系 得出结论得出结论 微 元 分 析 法 一 般 流 体 力 学 证 明 思 路 第二章第二章 流体静力学流体静力学 证明 微元分析法证明 微元分析法 顺证法顺证法 1 1 取微元体 取微元体 如图 取静止流体中四面体微元如图 取静止流体中四面体微元oABC 建立建立oxyz直角坐标系 直角坐标系 2 2 受力分析 受力分析 质量力质量力 重力 惯性力 用单位质重力 惯性力 用单位质 量力量力表示 表示 表面力表面力 仅有仅有压力作用 压力作用 px py pz pn n为任意方向 分别表示作为任意方向 分别表示作 用在垂直于用在垂直于x y z 轴的坐标面和斜轴的坐标面和斜 面面 ABC 上的静压力 上的静压力 Px Py Pz Pn表示总压力表示总压力 xyz ff if jf k 质量力质量力 表面力表面力 重力重力 惯性力惯性力 正应力正应力 剪应力剪应力 绝对静止绝对静止 相对静止相对静止 质量力质量力 表面力表面力 重力重力 惯性力惯性力 正应力正应力 剪应力剪应力 绝对静止绝对静止 相对静止相对静止 质量力质量力 表面力表面力 重力重力 惯性力惯性力 正应力正应力 剪应力剪应力 绝对静止绝对静止 相对静止相对静止 质量力质量力 表面力表面力 重力重力 惯性力惯性力 正应力正应力 剪应力剪应力 绝对静止绝对静止 相对静止相对静止 py px pz y x z o A B C dy dx dz m 图图2 2 2 2 静止流体中四面体微元静止流体中四面体微元 pn py px pz y x z o A B C dy dx dz m 图图2 2 2 2 静止流体中四面体微元静止流体中四面体微元 py px pz y x z o A B C dy dx dz m py px pz y x z o A B C dy dx dz py px pz y x z o A B C py px pz y x z o A B C dy dx dz m 图图2 2 2 2 静止流体中四面体微元静止流体中四面体微元 pn 第二章第二章 流体静力学流体静力学 3 导出关系 以x方向为例 有 x方向上的质量力 x方向上的表面力 11 cos 0 62 xxn f dxdydzpdydzpABCn x 质量力质量力x 面压力面压力 ABC 面压力面压力 111 0 622 xxn f dxdydzpdydzpdydz 0F 1 6 x f dxdydz 1 cos 2 xn pdydzpABCn x py px pz y x z o A B C dy dx dz m 图图2 2 2 2 静止流体中四面体微元静止流体中四面体微元 pn py px pz y x z o A B C dy dx dz m 图图2 2 2 2 静止流体中四面体微元静止流体中四面体微元 py px pz y x z o A B C dy dx dz m py px pz y x z o A B C dy dx dz py px pz y x z o A B C py px pz y x z o A B C dy dx dz m 图图2 2 2 2 静止流体中四面体微元静止流体中四面体微元 pn 根据受力平衡 第二章第二章 流体静力学流体静力学 4 得出结论 当四面体 ABC 缩小到o点时 式中的质量力不其它两项 相比为高阶小量 可忽略丌计 同理 可得 因此 在连续介质中 一点的静压力仅是点坐标的连续函 数 即有 p p x y z 得证 xn pp xyzn pppp 111 0 622 xxn f dxdydzpdydzpdydz 第二章第二章 流体静力学流体静力学 帕斯卡定律帕斯卡定律 2 3 流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式 静力学基本方程及其应用静力学基本方程及其应用 掌握掌握 熟悉熟悉 流体平衡微分方程流体平衡微分方程 等压面及其方程 性质等压面及其方程 性质 第二章第二章 流体静力学流体静力学 取微元体 研究对象 取微元体 研究对象 受力分析受力分析 导出关系导出关系 平衡关系平衡关系 得出结论得出结论 微 元 分 析 法 一 般 流 体 力 学 证 明 思 路 一 流体平衡微分方程式的建立一 流体平衡微分方程式的建立 第二章第二章 流体静力学流体静力学 应用应用微元分析法微元分析法建立流体平衡方程 建立流体平衡方程 1 取微元体 取微元体 取如图所示的六面体微元 边长取如图所示的六面体微元 边长dx dy dz 2 受力分析 受力分析 质量力质量力 重力 惯性力 用单位重力 惯性力 用单位 质量力质量力表示 表示 表面力表面力 仅有静压力仅有静压力 p 作用 作用 xyz ff if jf k 图图2 3 静止流体中六面体微元静止流体中六面体微元 p A x z dx dy dz 1 2 p pdx x 1 2 p pdx x A1 A2 y 图图2 3 静止流体中六面体微元静止流体中六面体微元 p A x z dx dy dz 1 2 p pdx x 1 2 p pdx x A1 A2 y 质量力质量力 表面力表面力 重力重力 惯性力惯性力 正应力正应力 剪应力剪应力 绝对静止绝对静止 相对静止相对静止 质量力质量力 表面力表面力 重力重力 惯性力惯性力 正应力正应力 剪应力剪应力 绝对静止绝对静止 相对静止相对静止 质量力质量力 表面力表面力 重力重力 惯性力惯性力 正应力正应力 剪应力剪应力 绝对静止绝对静止 相对静止相对静止 质量力质量力 表面力表面力 重力重力 惯性力惯性力 正应力正应力 剪应力剪应力 绝对静止绝对静止 相对静止相对静止 一 流体平衡微分方程式的建立一 流体平衡微分方程式的建立 第二章第二章 流体静力学流体静力学 A点的压力为点的压力为p 则 则A1 A2点的压力可通过点的压力可通过泰勒级数展开泰勒级数展开得出 得出 略去略去二阶以上高阶小量二阶以上高阶小量后 得 后 得 2 2 1 2 111111 222 2 2 n n n ppp pp xdx y zp x y zdxdxdx xxnx 2 2 2 2 111111 222 2 2 n n n ppp pp xdx y zp x y zdxdxdx xxnx 1 1 2 p ppdx x 2 1 2 p ppdx x 图图2 3 静止流体中六面体微元静止流体中六面体微元 p A x z dx dy dz 1 2 p pdx x 1 2 p pdx x A1 A2 y 图图2 3 静止流体中六面体微元静止流体中六面体微元 p A x z dx dy dz 1 2 p pdx x 1 2 p pdx x A1 A2 y 一 流体平衡微分方程式的建立一 流体平衡微分方程式的建立 第二章第二章 流体静力学流体静力学 3 导出关系 导出关系 根据根据流体平衡流体平衡的充要条件 静止流体所受的所有外力在各个坐标轴方的充要条件 静止流体所受的所有外力在各个坐标轴方 向上的投影之和为零 即向上的投影之和为零 即 以 以x方向为例 方向为例 同理 可得 同理 可得 11 0 22 x pp f dxdydzpdx dydzpdx dydz xx 1 0 x p f x 0 i F 1 0 y p f y 1 0 z p f z 一 流体平衡微分方程式的建立一 流体平衡微分方程式的建立 第二章第二章 流体静力学流体静力学 4 4 得出结论得出结论 流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式 由 由17551755年欧拉提出 年欧拉提出 又称为又称为欧拉平衡方程式欧拉平衡方程式 流体平衡微分方程式的流体平衡微分方程式的物理意义物理意义 对于单 对于单 位质量的流体 其位质量的流体 其质量力与表面力质量力与表面力在任何方在任何方 向上都应保持平衡 即质量力与该方向上表向上都应保持平衡 即质量力与该方向上表 面力的合力应大小相等 方向相反 面力的合力应大小相等 方向相反 流体平衡微分方程的流体平衡微分方程的适用范围适用范围 理想流体或实际流体理想流体或实际流体 绝对静止或相对静止流体绝对静止或相对静止流体 不可压缩或可压缩流体不可压缩或可压缩流体 流体平衡 微分方程 1 0 1 0 1 0 x y z p f x p f y p f z 质质 量量 力力 表表 面面 力力 掌握掌握 I 一 流体平衡微分方程式的建立一 流体平衡微分方程式的建立 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 2 流体平衡微分方程式全微分形式流体平衡微分方程式全微分形式 为寻求静止流体内静压强为寻求静止流体内静压强 p 的分布规律 取各方向欧拉平衡方程分的分布规律 取各方向欧拉平衡方程分 别乘以别乘以dx dy dz 并相加 得 并相加 得 静止流体中 静压强静止流体中 静压强 p 只是坐标的函数 只是坐标的函数 压强 压强 p 的的 全微分全微分dp 可写为 可写为 因此有 因此有 压差公式压差公式 111 0 xyz ppp fdxfdyfdz xyz xyz ppp dxdydzf dxf dyf dz xyz ppp dpdxdydz xyz zyxfp xyz dpf dxf dyf dz 二 流体平衡微分方程式的全微分形式二 流体平衡微分方程式的全微分形式 掌握掌握 第二章第二章 流体静力学流体静力学 3 3 等压面 压力分布图形化 等压面 压力分布图形化 定义 同种连续静止流体中 定义 同种连续静止流体中 静压强相 静压强相 等的点组成的面 等的点组成的面 等压面的方程等压面的方程 由由 且 且 得 等压面方程为 得 等压面方程为 i i 液体的自由表面是最为常见的等压面 等压面上的压液体的自由表面是最为常见的等压面 等压面上的压 力为大气压 即 力为大气压 即 0 xyz dpf dxf dyf dz 0 xyz f dxf dyf dz a pp Const Const 掌握掌握 第二章第二章 流体静力学流体静力学 等压面的特性等压面的特性 1 1 等压面方程用矢量形式可表示为 等压面方程用矢量形式可表示为 其中 其中 为沿等压面的无穷小距离为沿等压面的无穷小距离 等压面与质量力相正交 等压面与质量力相正交 2 2 等压面不能相交 等压面不能相交 3 3 两种互不相溶的流体平衡时的分界面为等压面 两种互不相溶的流体平衡时的分界面为等压面 0f ds dsdxidy jdzk ds 掌握掌握 水平面为水平面为等压面等压面应满足的条件应满足的条件 1 静止 静止 2 连通 连通 3 连通的介质为同一均质流体 连通的介质为同一均质流体 4 质量力仅有重力 质量力仅有重力 5 同一水平面 同一水平面 判断判断 如图所示中哪个水平面为等压面如图所示中哪个水平面为等压面 第二章第二章 流体静力学流体静力学 第二章第二章 流体静力学流体静力学 非等压面非等压面 油油 水水 1 1 2 2 3 3 非等压面非等压面 非等压面非等压面 试判断以下平面哪些是等压面试判断以下平面哪些是等压面 阀门关死阀门关死 第二章第二章 流体静力学流体静力学 油油 水水 1 1 2 2 3 3 等压面等压面 等压面等压面 非等压面非等压面 试判断以下平面哪些是等压面试判断以下平面哪些是等压面 第二章第二章 流体静力学流体静力学 研究对象研究对象 流体相对于地球没有运动的静止状态 流体相对于地球没有运动的静止状态 即即绝对静止状态绝对静止状态 是工程中最为常见的流体平衡状态是工程中最为常见的流体平衡状态 此时此时质量力只有重力质量力只有重力 一一 静力学基本方程式静力学基本方程式 重力作用下的流体平衡方程重力作用下的流体平衡方程 取重力作用下的静止流体为研究对象 取重力作用下的静止流体为研究对象 如图 建立直角坐标 原点选在自由如图 建立直角坐标 原点选在自由 液面上 液面上 z 轴垂直向上 轴垂直向上 受力分析受力分析 质量力 重力 和压力 质量力 重力 和压力 p 0 0 xyz fffg 重点掌握重点掌握 图图2 4 重力作用下的静止流体重力作用下的静止流体 x y z p0 m h o 图图2 4 重力作用下的静止流体重力作用下的静止流体 x y z p0 m h o x y z p0 m h x y z p0 m h o 四 流体静力学基本方程四 流体静力学基本方程 第二章第二章 流体静力学流体静力学 导出关系 根据流体平衡微分方程式导出关系 根据流体平衡微分方程式有 有 得出结论 对于不可压缩流体得出结论 对于不可压缩流体 Const 时 可积分上式得 时 可积分上式得 xyz dpf dxf dyf dz 0 dp dz xyz dpf dxf dyf dzgdzdz 图图2 4 重力作用下的静止流体重力作用下的静止流体 x y z p0 m h o水静力学 基本方程 I p zC A 说明 说明 流体静力学基本方程流体静力学基本方程的适用的适用 条件 条件 Const 即 即不可压缩静止流体不可压缩静止流体 第二章第二章 流体静力学流体静力学 已知在自由液面上 有 已知在自由液面上 有 且以静止液体中某点离自由 且以静止液体中某点离自由 液面的液面的深度深度 h 代替代替 z 由式由式 又可得 又可得 A 说明 说明 静止流体中的压强分布 由两部分组成静止流体中的压强分布 由两部分组成 等值传递的液面压力等值传递的液面压力 p0以及由该点上方高度为以及由该点上方高度为h 的液柱产生的压力 重量 的液柱产生的压力 重量 h 静止流体中的压力静止流体中的压力随深度按线性规律变化随深度按线性规律变化 0 0 zpp 0 dp dz 0 pzC ppz 水静力学 基本方程II 0 pph 帕斯卡原理帕斯卡原理 液压理论基础液压理论基础 在重力作用下不可压缩静止流体在重力作用下不可压缩静止流体表面上的压强表面上的压强 在流体内 在流体内 进行进行等值传递等值传递 第二章第二章 流体静力学流体静力学 第二章第二章 流体静力学流体静力学 A A 说明 绝对静止流体中的等压面说明 绝对静止流体中的等压面 由等压面方程 由等压面方程 对于绝对静止流体 质量力 对于绝对静止流体 质量力 只有重力 即 只有重力 即 则 绝对静止流体的等压 则 绝对静止流体的等压 面方程为 面方程为 即 静止流体中的水平面为等压面 即 静止流体中的水平面为等压面 但是 这一结论有一定的限定条件 但是 这一结论有一定的限定条件 0 xyz f dxf dyf dz 0 0 gdz dz zC 图图2 4 重力作用下的静止流体重力作用下的静止流体 x y z p0 m h o 同种相连通的绝对静止流体的同种相连通的绝对静止流体的 水平面为等压面 水平面为等压面 0 0 xyz fffg 第二章第二章 流体静力学流体静力学 三 静力学基本方程式的意义三 静力学基本方程式的意义 1 1 几何意义 几何意义 z 位置水头位置水头 静止流体中某点至基准面的高度 与基准面的 静止流体中某点至基准面的高度 与基准面的 选取有关 选取有关 压力水头压力水头 静止流体中某点上方的液柱高度或等效液柱高 静止流体中某点上方的液柱高度或等效液柱高 度 压力水头的大小与基准面的选取无关 度 压力水头的大小与基准面的选取无关 测压管水头测压管水头 静止流体中任意点处的测压管水头为常数 静止流体中任意点处的测压管水头为常数 p p z p zC 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 2 物理意义 物理意义 z 比位能比位能 单位重量流体所具有的位置势能 单位重量流体所具有的位置势能 比压能比压能 单位重量流体所具有的压力势能 压力势能是一 单位重量流体所具有的压力势能 压力势能是一 种潜在势能 在压力种潜在势能 在压力 p 的作用下 可以使流体上升高度的作用下 可以使流体上升高度 即 使流体位置势能增加 因此 压力势能可以转化为位置势能 即 使流体位置势能增加 因此 压力势能可以转化为位置势能 比总势能比总势能 单位重量流体所具有的总势能 单位重量流体所具有的总势能 静止流体中 单位重量流体的总势能守恒 静止流体中 单位重量流体的总势能守恒 p p z p zC p h 第二章第二章 流体静力学流体静力学 pa 0 0 1 2 z2 z1 基准面基准面 位置位置 水头水头 压力压力 水头水头 测压管测压管 h1 h2 位置位置 水头水头 压力压力 水头水头 1 p 2 p 测压管水头测压管水头 12 12 pp zz 液面敞口时 0 0p 第二章第二章 流体静力学流体静力学 液面计液面计 00 z 1 h p00 位置位置 水头水头 压力压力 水头水头 p 0 p 基准面基准面 0 0p 0 0p 0 0p 第二章第二章 流体静力学流体静力学 绝对压强绝对压强 以绝对真空为零点而计量的压强 以绝对真空为零点而计量的压强 相对压强相对压强 亦称表压 以当地大气压亦称表压 以当地大气压 pa 为零点计量的压为零点计量的压 强 强 真空压强真空压强 即真空度 为流体绝对压强小于当地大气压即真空度 为流体绝对压强小于当地大气压 时 时 产生真空的程度 即 产生真空的程度 即 时 时 定义真空高度 真空压力对应的液柱 定义真空高度 真空压力对应的液柱 高度 为 高度 为 绝 p 表 p hphpppp aaa 绝表 0 a ppp 绝表 表绝真 pppp a a pp 绝 重点掌握重点掌握 真 p 绝真 真 ppp h a 2 4 2 4 压强的测量压强的测量 第二章第二章 流体静力学流体静力学 A A 说明 说明 绝对压强 相对压强及真空压强之绝对压强 相对压强及真空压强之 间的关系如图 间的关系如图 绝对压强永为正值 最小值为绝对压强永为正值 最小值为0 0 即即 真空压强真空压强 最大真空度为最大真空度为1 1个大气压 个大气压 pa 只当只当时才用真空度概念 时才用真空度概念 图图2 5 压强表示关系压强表示关系 绝对压强绝对压强 ppa pa 绝对压强绝对压强 相对压强相对压强 表压表压 真空压强真空压强 0 p 0 绝 p aa pppp 绝真 根据帕斯卡定律 大气压根据帕斯卡定律 大气压 pa 将在液体内部等值传递 将在液体内部等值传递 因此 除特别因此 除特别 声明 通常在声明 通常在计算时直接以表压计计算时直接以表压计 0p 表 图为量测容器中图为量测容器中A A点压强的真空计 已知点压强的真空计 已知h1 1m h2 2mh1 1m h2 2m 试 试 求求A A点的真空压强点的真空压强p pv v 解解 在空气管管段两侧应用液体静力学基本方程得 在空气管管段两侧应用液体静力学基本方程得 12A pghgh 21 1000 9 8 21 9800 vA a ppg hh P 故故A A点的真空压强为点的真空压强为 说明 说明 高差较小的空气压强变化一般可忽略不计 高差较小的空气压强变化一般可忽略不计 水 A 水 空气 h2 h1 第二章第二章 流体静力学流体静力学 A A 说明 说明 压强的度量单位 压强的度量单位 应力表示形式 应力表示形式 N m2 Pa 大气压表示形式 大气压表示形式 atm 标准大气压 标准大气压 at 工程大气压 工程大气压 液柱高度表示形式 液柱高度表示形式 mH2o mHg 换算公式 换算公式 omHmmHgPaatm 2 5 336 1076010013 11 omHmmHgPaat 2 4 10735108 91 第二章第二章 流体静力学流体静力学 根据适用范围 适用条件的不同 测压计通常有液式测压计和金属根据适用范围 适用条件的不同 测压计通常有液式测压计和金属 测压计 测压计 金属测压计金属测压计 原理 弹性元件在压力作用下弹性变形 原理 弹性元件在压力作用下弹性变形 分类 弹簧管式压力表 薄膜式压力表 分类 弹簧管式压力表 薄膜式压力表 液式测压计液式测压计 工作原理 工作原理 静力学基本方程 静力学基本方程 及及 等压面 同种相连通的绝对静止流体的水平面为等压面 等压面 同种相连通的绝对静止流体的水平面为等压面 p zC 0 pph 四 测压计四 测压计 静力学基本方程应用二静力学基本方程应用二 重点掌握重点掌握 图图2 6 弹簧管式测压计弹簧管式测压计 第二章第二章 流体静力学流体静力学 测压管 测压管 同种液体引出液柱高度以测量压力 一端与测压点相同种液体引出液柱高度以测量压力 一端与测压点相 连 一端通大气 连 一端通大气 i i 求求A A点的压强点的压强 工作原理 工作原理 1 选取等压面 选取等压面 2 在等压面上应用水静力 在等压面上应用水静力 学基本方程 应满足 学基本方程 应满足 0AA pphh 00 z A h hA p0 等压面等压面 测压管测压管 第二章第二章 流体静力学流体静力学 U U形管测压计 形管测压计 U U形管中 以水银 空气等作为工作液 一端接形管中 以水银 空气等作为工作液 一端接 测压点 一端通大气 测压点 一端通大气 i i 求求A A点的压强点的压强 U形水银测压计形水银测压计 h1 h2 等压面等压面 A 水银水银 工作原理 工作原理 1 选取等压面 选取等压面 2 在等压面上应用水静力 在等压面上应用水静力 学基本方程 应满足 学基本方程 应满足 A12Hg phh 第二章第二章 流体静力学流体静力学 水银差压计水银差压计 等压面等压面2 h1 A B h2 p1 p2 等压面等压面1 h 工作原理 工作原理 1 选取等压面 选取等压面1 2 2 在等压面上应用水静力 在等压面上应用水静力 学基本方程 应满足 学基本方程 应满足 11 22 12 12 A B Hg ABHg php php pph pphhh 差压计 差压计 将测压管两端接在两个不同测压点上 比较其压差 将测压管两端接在两个不同测压点上 比较其压差 用途 测量与大气压接近的压力用途 测量与大气压接近的压力4 4 微压计 微压计 测量原理 读数放大倍数测量原理 读数放大倍数 sin l h 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 5液体的相对静止液体的相对静止 几种质量力作用下的流体相对平衡几种质量力作用下的流体相对平衡 掌握掌握 第二章第二章 流体静力学流体静力学 研究对象 研究对象 装在容器中的流体随容器相对于地球在运动 但流体各部装在容器中的流体随容器相对于地球在运动 但流体各部 分之间以及流体与容器之间没有相对运动 即分之间以及流体与容器之间没有相对运动 即相对静止流体相对静止流体 研究内容 研究内容 相对静止流体的相对静止流体的压强分布规律 等压面方程及其特性压强分布规律 等压面方程及其特性 研究方法 研究方法 坐标建立在运动着的容器上 此时容器中的流体为相对平坐标建立在运动着的容器上 此时容器中的流体为相对平 衡状态 根据衡状态 根据达朗伯原理达朗伯原理 给流体施加以与加速度方向相反 大小为 给流体施加以与加速度方向相反 大小为 的惯性力 可的惯性力 可将流体运动学问题转化为静力学问题将流体运动学问题转化为静力学问题求解 求解 研究依据 研究依据 流体平衡微分方程流体平衡微分方程 xyz dpf dxf dyf dz Fma 第二章第二章 流体静力学流体静力学 一 等加速水平运动容器中流体的相对平衡一 等加速水平运动容器中流体的相对平衡 掌握掌握 如图如图 盛有液体的容器沿水平面以盛有液体的容器沿水平面以 加速度加速度a作匀速直线前进作匀速直线前进 容器中的容器中的 流体也处于匀加速直线运动之中流体也处于匀加速直线运动之中 坐标固定在坐标固定在容器上容器上 坐标原点坐标原点o 在在 自由液面的中心自由液面的中心 z 轴竖直向上轴竖直向上 其中 其中 zs为自由液面上点的为自由液面上点的z坐标坐标 h为液体中任意一点为液体中任意一点m离自由液面的离自由液面的 垂直深度垂直深度 图图2 7 等加速直线运动容器等加速直线运动容器 a x z p0 H o zs h m 第二章第二章 流体静力学流体静力学 流体平衡微分方程 流体平衡微分方程 作用在相对静止作用在相对静止 流体中任一质点流体中任一质点m上的上的质量力包括重质量力包括重 力力 mg 及惯性力及惯性力ma 合力 合力R与与z 轴成轴成 角 角 容器内流体在两种质量力容器内流体在两种质量力 作用下处于对运动坐标系作用下处于对运动坐标系xoz的相对的相对 平衡状态 平衡状态 各方向各方向上上的单位质量力的单位质量力为为 fx a fy 0 fz g 则 则 图图2 7 等加速直线运动容器等加速直线运动容器 a x z p0 H o zs h m mg ma R xyz dpf dxf dyf dz dpadxgdz 第二章第二章 流体静力学流体静力学 等压面方程 等压面方程 对于不可压缩流体对于不可压缩流体 Const 令令dp 0 积分平衡微分 积分平衡微分 方程得 方程得 结论 结论 a 等压面是一簇平行斜面 等压面是一簇平行斜面 b 等压面与等压面与x轴夹角轴夹角 质量力与质量力与z轴夹角轴夹角 c 等压面与质量力 重力和惯性力的合力 等压面与质量力 重力和惯性力的合力 R 相正交 相正交 tan a arc g a axgzCzxC g dpadxgdz s aa zxCzx gg 自由液面方程 自由液面方程 在自由液面上 在自由液面上 x 0时时z 0 则 则C 0 因此有 因此有 第二章第二章 流体静力学流体静力学 符合静力学基本方程符合静力学基本方程 压强分布特性 压强分布特性 对于不可压缩流体对于不可压缩流体 Const 积分平衡微分方程 积分平衡微分方程 0 0 0 0 s ppaxgz a ppgxz g ppzz pph paxgzC dpadxgdz 代入边界条件代入边界条件x 0 z 0时 时 p p0 得 得C p0 因此有 因此有 第二章第二章 流体静力学流体静力学 二 匀角速旋转容器中流体的相对平衡二 匀角速旋转容器中流体的相对平衡 掌握掌握 液体与容器一起旋液体与容器一起旋转转 相对于作等相对于作等 角速运动的角速运动的容器容器而言而言 流体处于相流体处于相 对平衡状态对平衡状态 坐标固定在坐标固定在容器上容器上 坐标坐标原点原点o在旋在旋 转轴与自由液面的交点转轴与自由液面的交点 z轴竖直向轴竖直向 上上 其中 其中 zs为自由液面上点的为自由液面上点的z坐坐 标标 h为液体中为液体中m点离自由液面的垂点离自由液面的垂 直深度直深度 图图2 8 匀角速旋转容器匀角速旋转容器 如图如图 容器以容器以 的角速度绕轴旋转的角速度绕轴旋转 由于流体的粘性作用由于流体的粘性作用 近壁处流近壁处流 体首先被带动旋转体首先被带动旋转 平衡后平衡后 各流体质点具有相同的角速度各流体质点具有相同的角速度 此时此时 y z p0 H o zs z m h 第二章第二章 流体静力学流体静力学 图图2 8 匀角速旋转容器匀角速旋转容器 流体平衡微分方程 流体平衡微分方程 作用在相对静止流体作用在相对静止流体 中任一质点中任一质点m上的质量力包括重力上的质量力包括重力 mg及及 离心惯性力离心惯性力F mr 2 各方向各方向上上的单位质的单位质 量力量力为为 单位惯性力为单位惯性力为 y z p0 H o zs z m h x y o y x r 2 y 2 x 2 r xrfX x 22 cos yrfY y 22 sin gZ 2 F fr m 22 dp dpxdxydygdz 则 则 第二章第二章 流体静力学流体静力学 等压面方程 等压面方程 对于不可压缩流体对于不可压缩流体 Const 令 令dp 0 积分平衡微分 积分平衡微分 方程得 方程得 结论 结论 a 等压面是一簇绕等压面是一簇绕 z 轴旋转的抛物面 轴旋转的抛物面 b 等压面与质量力相正交 随着等压面与质量力相正交 随着 r 增加 径向质量力 即惯性增加 径向质量力 即惯性 力 增加 质量力合力由原先的垂直方向逐渐倾斜并趋于水平 因此 力 增加 质量力合力由原先的垂直方向逐渐倾斜并趋于水平 因此 等压面由原先的水平方向逐渐倾斜并趋于垂直 等压面由原先的水平方向逐渐倾斜并趋于垂直 自由液面方程 自由液面方程 自由液面上 自由液面上 r 0时时z 0 因此有 因此有 2222 22 1 2 2 zxyC g r zC g 22 2 s r z g 22 dpxdxydygdz 第二章第二章 流体静力学流体静力学 压强分布特性 压强分布特性 对于不可压缩流体对于不可压缩流体 Const 积分平衡微分方程 积分平衡微分方程 代入边界条件代入边界条件x 0 y 0 z 0时 时 p p0 得 得C p0 因此有 因此有 2222 0 22 0 0 0 22 2 s xy ppgz r ppgz g ppzz pph 符合静力学基本方程符合静力学基本方程 2222 22 22 xy dpxdxydygdzpgzC y z p0 H o zs z m h 第二章第二章 流体静力学流体静力学 例例1 为了提高铸件为了提高铸件 车轮的质量 常采用离心铸造机进行车轮的质量 常采用离心铸造机进行 铸造 如图示 已知铁水密度铸造 如图示 已知铁水密度 7138kg m3 车轮尺寸 直 车轮尺寸 直 径径d 800mm 厚 厚h 250mm 试求铸造机以转速 试求铸造机以转速n 400npm旋旋 转时 车轮边缘 点处的相对压强转时 车轮边缘 点处的相对压强pA 解解 建立建立roz运动坐标系运动坐标系 2 2 2 pgrz g 据据得铸件得铸件 内任一点的相对压强分布 内任一点的相对压强分布 2 2 2 pgrz g h d pa o r y A 第二章第二章 流体静力学流体静力学 对对A点 点 hz d rpp A 2 又 又 3060 2nn 代入数据得 代入数据得 1018 44kPa A p h d pa o r y A 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 6 静止流体作用在平面上的总压力静止流体作用在平面上的总压力 平面总压力的计算平面总压力的计算 重点重点 掌握掌握 第二章第二章 流体静力学流体静力学 平面上的压力都垂直于作用平面 组成平行力系 可根据平面上的压力都垂直于作用平面 组成平行力系 可根据平行平行 力系的合成力系的合成以及力矩原理求解流体总压力的大小和作用点 以及力矩原理求解流体总压力的大小和作用点 流体静压强流体静压强p 的分布规律的分布规律总压力总压力P的大小 方向 作用点的大小 方向 作用点 中心内容中心内容 第二章第二章 流体静力学流体静力学 预备知识 预备知识 压强分布规律 压强分布规律 面积矩 面积矩 面积面积A对轴对轴x的面积矩的面积矩 惯性矩 惯性矩 面积面积A对轴对轴x的惯性矩的惯性矩 平行移轴定理 平行移轴定理 面积面积A对任意轴对任意轴x的惯性矩的惯性矩 可以转换为对其形心轴可以转换为对其形心轴c的惯性矩与的惯性矩与的和 的和 ph A PdPpdAhdA C A ydAy A 2 x A Iy dA 2 xCC IIy A 2 C yA 重点掌握重点掌握 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 坐标系建立坐标系建立 原点原点o 取在自由液面上取在自由液面上 注 注 某些情况需通过等效液面换算确定某些情况需通过等效液面换算确定 自由液面位置自由液面位置 x轴轴 平面或其延伸面与自由液平面或其延伸面与自由液 面的交线面的交线 y轴轴 垂直于垂直于ox轴沿平面向下轴沿平面向下 3 总压力的方向 总压力的方向 根据静压力的基本特性 总压力垂根据静压力的基本特性 总压力垂 直且指向作用平面 直且指向作用平面 1 1 问题描述 问题描述 静止液体中任意形状平面静止液体中任意形状平面 与水平面夹角为与水平面夹角为 面积为面积为A C为形心为形心 D为压力中心为压力中心 即压力作用点即压力作用点 图图2 16 作用在平面上的总压力作用在平面上的总压力 y p0 yC yD C D A P x hC o 第二章第二章 流体静力学流体静力学 图图2 10 作用在平面上的总压力作用在平面上的总压力 y p0 yC yD C D A P x hC o 在面积在面积A上积分 上积分 面积面积A对对ox轴面积矩轴面积矩 所以 所以 结论 结论 平面总压力 形心压强平面总压力 形心压强 平面面积平面面积 4 总压力的大小 总压力的大小 在在A上取微元面积上取微元面积dA 坐标为 坐标为y 其上所受总压力为 其上所受总压力为dP dA对应的水下对应的水下 深度为深度为h 则 则 dAyhdAdApdP sin AyydA c A y dA dP h sin AA PdPydA sin CC Py Ah A 第二章第二章 流体静力学流体静力学 5 总压力的作用点 压力中心 总压力的作用点 压力中心D 据平行力系力矩原理 每一微小面积上所受的压力据平行力系力矩原理 每一微小面积上所受的压力dP 对对ox 轴的静力轴的静力 矩之和 等于作用在面积矩之和 等于作用在面积A上的总上的总 压力压力P 对对ox轴的静力矩 即 轴的静力矩 即 因为 因为 所以 所以 压力中心压力中心D 的坐标为 的坐标为 图图2 10 作用在平面上的总压力作用在平面上的总压力 y p0 yC yD C D A P x hC o y dA dP h dPyyP D dAydP sin 2 sinsin CD yAyydA sin CC Ph AyA 2 x D CC y dA I y y Ay A 第二章第二章 流体静力学流体静力学 是面积是面积A 对对 ox 轴的惯性矩 为计算方便 利用平行移轴轴的惯性矩 为计算方便 利用平行移轴 定理 可将其换算成对通过面积形心定理 可将其换算成对通过面积形心 C 且平行于且平行于ox 轴的轴线的惯性轴的轴线的惯性 矩矩 IC 的关系式 有 的关系式 有 所以 所以 记记为偏心距 有 为偏心距 有 由于 由于e 0 压力中心 压力中心D 点永远在平面形心点永远在平面形心C 的下方 距离为偏心距的下方 距离为偏心距 e dAyJ x 2 2 xCC D CC IIy A y y Ay A 2 xCC IIy A C C I eCD y A C DC C I yy y A DC yye Ix 如图为矩形挡水闸 长如图为矩形挡水闸 长l 2 5m 宽 宽b 1 5mb 1 5m A A点到水面点到水面 高度高度h 3mh 3m 求水闸关闭时 在 求水闸关闭时 在B B点处必须施加的作用力点处必须施加的作用力F F 解 因为水闸的内外均受大气压力作用 故大气压的影响可略去 作用解 因为水闸的内外均受大气压力作用 故大气压的影响可略去 作用 在闸门上的总压力为在闸门上的总压力为 例例2 2 6 6 sin30 2 2 51 1000 9 8 3 1 5 2 5 22 133218 75 pc l Fgh Ag hbl N y 12 3 bl I Ay I OCOD Ay I yy cx c cx c cx cD myD 32 7 对对A点列合力点列合力 矩方程 得矩方程 得 0 30sin 0 Fl h yFFlOAODF Dpp NFp 5 70339 o p F D C c y D y 第二章第二章 流体静力学流体静力学 第二章第二章 流体静力学流体静力学 2 6 静止流体作用在曲面上的总压力静止流体作用在曲面上的总压力 曲面总压力的计算曲面总压力的计算 重点重点 掌握掌握 第二章第二章 流体静力学流体静力学 作用在曲面上各点的流体静压力都垂直于器壁 形成复杂作用在曲面上各点的流体静压力都垂直于器壁 形成复杂空间空间 力系力系 求曲面上总压力的问题实际为求曲面上总压力的问题实际为空间力系的合成空间力系的合成问题 问题 流体静压强流体静压强p 的分布规律的分布规律总压力总压力P的大小 方向 作用点的大小 方向 作用点 中心内容中心内容 第二章第二章 流体静力学流体静力学 工程上遇到最多的是工程上遇到最多的是二向曲面 柱面 二向曲面 柱面 此处 以二向柱形曲面为例 此处 以二向柱形曲面为例 分析静水总压力 其结论对于三向曲面 球面 同样适用 分析静水总压力 其结论对于三向曲面 球面 同样适用 设有一承受液体压力的二向柱形设有一承受液体压力的二向柱形 曲面曲面ab 面积为 面积为A 原点原点o 取在自由液面上取在自由液面上 x 轴轴 平行于自由液面平行于自由液面 y 轴轴 平行于二向曲面的母线平行于二向曲面的母线 z 轴轴 垂直于自由液面向下垂直于自由液面向下 图图2 11 作用在曲面上的总压力作用在曲面上的总压力 z x y o a b A 重点掌握重点掌握 2 坐标系建立坐标系建立 1 1 问题描述 问题描述 第二章第二章 流体静力学流体静力学 3 3 总压力的大小和方向 总压力的大小和方向 取取xoz坐标平面进行分析 在曲面坐标平面进行分析 在曲面ab上任取一微元面积上任取一微元面积dA 沉没深度 沉没深度 为为h 则流体作用在微元上的总压力 则流体作用在微元上的总压力 图图2 11 作用在曲面上的总压力作用在曲面上的总压力 z x o a b A dA Ax hc h Az dP dA dPdPz dPx dAx dAz 总压力总压力dP可可分解分解为沿为沿ox轴轴 的水平分力的水平分力dPx和沿和沿oz轴轴 的垂直分力的垂直分力dPz 可将曲面不平行空间力系可将曲面不平行空间力系 化为各自平行的水平力系化为各自平行的水平力系 和垂直力系 和垂直力系 分别积分分别积分 dPx dPz得到得到Px和和Pz 通 通 过平行力系过平行力系合成合成 得到静 得到静 水总压力水总压力 22 xz PPP dPhdA 第二章第二章 流体静力学流体静力学 a 水平分力水平分力Px 积分 积分 式中 式中 为面积为面积A在在yoz平面上的平面上的投投 影对影对oy轴的面积矩轴的面积矩 因此 因此 cos x x dPhdA hdA xx PhdA xcxcx ApAhP x