4.5齐次线性方程组有非零解的条件及结构.pdf

2010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 4 5 齐次方程组有非零解 第四章 向量与线性方程组 的条件及解的结构 2 22010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组有非零解的充要条件 关于齐次线性方程组 一般形式关于齐次线性方程组 一般形式 或其矩阵形式 其中或其矩阵形式 其中 我们有如下结论 我们有如下结论 或其向量形式其中或其向量形式其中 3 32010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 定理定理 以下命题等价 即互为充要条件 以下命题等价 即互为充要条件 齐次线性方程组有非零解 齐次线性方程组有非零解 向量组线性相关 向量组线性相关 推论推论 方程组仅有零解方程组仅有零解 齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组有非零解的充要条件 4 42010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 解向量的数乘仍是解解向量的数乘仍是解 解向量的和差仍是解解向量的和差仍是解 解向量的线性组合仍是解解向量的线性组合仍是解 若 为的解 为任意数 则若 为的解 为任意数 则 也为的解也为的解 如果为的解 则仍如果为的解 则仍 为的解为的解 如果为的解 为任意两如果为的解 为任意两 数 则也为的解数 则也为的解 的解的解 解向量的线性组合仍是解解向量的线性组合仍是解 均为任意数 则也为均为任意数 则也为 若为的解 若为的解 齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质 5 52010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 解答解答 故原齐次线性方程组的一般解为故原齐次线性方程组的一般解为 例题例题解齐次线性方程组解齐次线性方程组 令则令则 其中为任意常数其中为任意常数 6 62010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 易见是两个线性无关的解 易见是两个线性无关的解 且原方程组的任意解都可由线性表出 在此 且原方程组的任意解都可由线性表出 在此 称为原齐次线性方程组的一个基础解系称为原齐次线性方程组的一个基础解系 定义定义 称向量组为齐次线性方程组称向量组为齐次线性方程组 的一个基础解系 如果的一个基础解系 如果 向量组线性无关 向量组线性无关 向量组中的每个向量均为的解 向量组中的每个向量均为的解 方程组每个解均可由线性表出方程组每个解均可由线性表出 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系 7 72010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 若是的一个基础解系 则若是的一个基础解系 则 的任意线性组合都是的解 的任意线性组合都是的解 的任意解均可表为基础解系的线性组合的任意解均可表为基础解系的线性组合 这表明的全部解即解集为这表明的全部解即解集为 即的通解即的通解 求出的基础解系 即可得求出的基础解系 即可得的全部解的全部解 实际上 的基础解系就是它的解向量组的极大实际上 的基础解系就是它的解向量组的极大 无关组 所以 的基础解系不唯一无关组 所以 的基础解系不唯一 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系 8 82010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 定理定理 设若则齐次线性方程设若则齐次线性方程 组存在含有个向量的基础解系组存在含有个向量的基础解系 证明证明 设经一系列初等行变换化为阶梯型矩阵 则设经一系列初等行变换化为阶梯型矩阵 则 且的前 行不为零且的前 行不为零 不失一般性 设不失一般性 设 第 行的非零首元为 从而有第 行的非零首元为 从而有 将自由未知量一组值将自由未知量一组值 齐次线性方程组的基础解系的存在及求法齐次线性方程组的基础解系的存在及求法 9 92010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 代入并去去掉的等式 移项可得代入并去去掉的等式 移项可得 显然其系数行列式不为零 由显然其系数行列式不为零 由 Cramer 法则知有法则知有 唯一解 唯一解 从而为的一个解从而为的一个解 10102010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 同理 将分别取代入得齐次同理 将分别取代入得齐次 线性方程组的相应解分别为线性方程组的相应解分别为 11112010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 说明如下三点 说明如下三点 显然成立 现说明显然成立 现说明 下面说明为的基础解系 则需下面说明为的基础解系 则需 均为的解 均为的解 是线性无关的 是线性无关的 的任意解可由线性表示的任意解可由线性表示 事实上 设是的任意解 则事实上 设是的任意解 则 12122010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 也是或的解 代入得也是或的解 代入得 因系数行列式不为零 则必全为零 从而因系数行列式不为零 则必全为零 从而 13132010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 这表明的任意解可由线性表示 这表明的任意解可由线性表示 于是 于是 均得以说明 所以 为方均得以说明 所以 为方 程组的基础解系 且所含向量个数为程组的基础解系 且所含向量个数为 14142010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 推论推论 设齐次线性方程组的系数矩阵为矩阵 设齐次线性方程组的系数矩阵为矩阵 若 则若 则 的每个基础解系都含有个解向量 的每个基础解系都含有个解向量 的任意个解向量线性相关 的任意个解向量线性相关 的任意个的任意个线性无关线性无关的解向量构成的解向量构成 的向量组均是齐次线性组的基础解系的向量组均是齐次线性组的基础解系 证明证明 设是的一个基础解系设是的一个基础解系 设是的另一基础解系 设是的另一基础解系 则向量组与等价且都线性无关 故它们则向量组与等价且都线性无关 故它们 所含的向量个数必相等 因此所含的向量个数必相等 因此 15152010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 的一个基础解系的一个基础解系 由 知向量组由 知向量组 因的任意个解向量均可由含因的任意个解向量均可由含 个向量的向量组线性表示 故线性相关 个向量的向量组线性表示 故线性相关 若都是的解且线性无若都是的解且线性无 关关 设 是的任意一解 设 是的任意一解 线性相关 故可由向量组线性相关 故可由向量组 线性表示 即也是齐次线性方程组线性表示 即也是齐次线性方程组 16162010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 例题例题 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 的一个基础解系的一个基础解系 解答解答 对系数矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵得对系数矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵得 显 然显 然 17172010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 解同解方程组解同解方程组 令 解得原方程组的一解为 令 解得原方程组的一解为 18182010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 令解得原方程组的一解为令解得原方程组的一解为 则为齐次方程组的一个基础解系 故通解为则为齐次方程组的一个基础解系 故通解为 为任意常数为任意常数 19192010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 这样做可避免分数分量的出现 此时 通解为这样做可避免分数分量的出现 此时 通解为 提醒提醒 上例中求时处也可取则得上例中求时处也可取则得 其中为任意常数其中为任意常数 20202010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 例题例题 求求 的一个基础解系及通解的一个基础解系及通解 解答解答 对系数矩阵作初等行变换化简可得对系数矩阵作初等行变换化简可得 则故基础解系中含则故基础解系中含 个向量 分别取代入得个向量 分别取代入得 21212010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 方程组的一个基础解系为方程组的一个基础解系为 从而 原方程组的通解为从而 原方程组的通解为 有重要意义 且还可用来解决一些关于矩阵秩的问题有重要意义 且还可用来解决一些关于矩阵秩的问题 为任意常数为任意常数 以上定理揭示了矩阵的秩与的基础解系所含以上定理揭示了矩阵的秩与的基础解系所含 向量个数之间的关系 这种关系不仅对的求解向量个数之间的关系 这种关系不仅对的求解 22222010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 解系所含向量的个数解系所含向量的个数 从而问题可转为讨论齐从而问题可转为讨论齐 例题例题 设矩阵满足设矩阵满足 证明 证明 的列向量是的解向量 的列向量是的解向量 若 则 若 则 若 则的列向量组线性相关若 则的列向量组线性相关 分析分析 因是齐次线性方程组的基础因是齐次线性方程组的基础 次线性方程组的解的相关问题次线性方程组的解的相关问题 证明证明则则 将列分块 得将列分块 得 23232010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 从而从而 分两种情况说明分两种情况说明 是的解是的解 即 的列向量均为的解 得证 即 的列向量均为的解 得证 若 则仅有零解 由若 则仅有零解 由 知知 a 当时 由当时 由 知 从而有知 从而有 24242010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 b 当时 则有非零解 从而当时 则有非零解 从而 存在基础解系存在基础解系因因 都是的解 故可由向都是的解 故可由向 量组线性表示 故量组线性表示 故 综合以上两种情况 总有综合以上两种情况 总有 若 则 由若 则 由 有有 00 ii A 即列向量组的秩小于向量个数 故线性相关即列向量组的秩小于向量个数 故线性相关 25252010年秋季四川大学邓传现2010年秋季四川大学邓传现 1 1 齐次方程组仅有零解的充要条件是 齐次方程组仅有零解的充要条件是 B 系数矩阵的列向量组线性无关系数矩阵的列向量组线性无关 A 系数矩阵的行向量组线性无关系数矩阵的行向量组线性无关 C 系数矩阵的列向量组线性相关系数矩阵的列向量组线性相关 D 系数矩阵的列向量组线性相关系数矩阵的列向量组线性相关 2 2 齐次方程组有非零解的充要条件是 齐次方程组有非零解的充要条件是 A 系数矩阵的任意两个