第一节 二阶与三阶行列式.pdf

线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 张 奎张 奎 中国劳动关系学院中国劳动关系学院 Email zhangkui6 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 第一章第一章 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 第一节二阶与三阶行列式第一节二阶与三阶行列式 一 二阶行列式的引入一 二阶行列式的引入 二 三阶行列式二 三阶行列式 三 小结思考题三 小结思考题 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 1 2 1 22 a 2212221212211 abxaaxaa 2 12 a 1222221212112 abxaaxaa 得两式相减消去 得两式相减消去 2 x 一 二阶行列式的引入一 二阶行列式的引入一 二阶行列式的引入一 二阶行列式的引入 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 212221121122211 baabxaaaa 得类似地 消去 得类似地 消去 1 x 211211221122211 abbaxaaaa 时 当时 当0 21122211 aaaa方程组的解为方程组的解为 21122211 212221 1 aaaa baab x 3 21122211 211211 2 aaaa abba x 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 由四个数排成二行二列 横排称行 竖排 称列 的数表 由四个数排成二行二列 横排称行 竖排 称列 的数表 4 2221 1211 aa aa 定义定义定义定义 5 4 2221 1211 21122211 aa aa aaaa 行列式 并记作 所确定的二阶称为数表 表达式 行列式 并记作 所确定的二阶称为数表 表达式 即即 21122211 2221 1211 aaaa aa aa D 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 11 a 12 a 22 a 12 a 主对角线主对角线 副对角线副对角线 对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则 2211a a 2112a a 二阶行列式的计算二阶行列式的计算 若记若记 2221 1211 aa aa D 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 对于二元线性方程组对于二元线性方程组 系数行列式系数行列式 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 2221 1211 aa aa D 222 121 1 ab ab D 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 2221 1211 aa aa D 221 111 2 ba ba D 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为 2221 1211 222 121 1 1 aa aa ab ab D D x 注意注意分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式 2221 1211 221 111 2 2 aa aa ba ba D D x 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 例例例例1 1 1 1 12 1223 21 21 xx xx 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 解解解解 12 23 D 4 3 07 11 212 1 D 14 12 123 2 D 21 D D x 1 1 2 7 14 D D x 2 2 3 7 21 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 二 三阶行列式二 三阶行列式二 三阶行列式二 三阶行列式 定义定义定义定义 333231 232221 131211 5 339 aaa aaa aaa 列的数表行个数排成设有列的数表行个数排成设有 记记记记 312213332112322311 322113312312332211 6 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 6 式称为数表 5 所确定的 6 式称为数表 5 所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 3231 2221 1211 aa aa aa 312213332112322311 aaaaaaaaa 1 1 1 1 沙沙沙沙路法路法路法路法 三阶行列式的计算三阶行列式的计算 322113312312332211 aaaaaaaaa D 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 列标列标 行标行标 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 332211 aaa 312312 aaa 322311 aaa 2 2 2 2 对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三 元素的乘积冠以负号 红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三 元素的乘积冠以负号 说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 322113 aaa 312213 aaa 332112 aaa 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 如果三元线性方程组 如果三元线性方程组 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 的系数行列式的系数行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 说明2说明2三阶行列式包括3 项 每一项都是位于 不同行 不同列的三个元素的乘积 其中三项为 正 三项为负 三阶行列式包括3 项 每一项都是位于 不同行 不同列的三个元素的乘积 其中三项为 正 三项为负 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 33323 23222 13121 1 aab aab aab D 若记若记 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 或或 1 2 1 b b b 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 33323 23222 13121 1 aab aab aab D 记记 33323 23222 13121 1 aab aab aab D 即即 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 33331 23221 13111 2 aba aba aba D 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 33231 22221 11211 3 baa baa baa D 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 33331 23221 13111 2 aba aba aba D 33231 22221 11211 3 baa baa baa D 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为 1 1 D D x 2 2 D D x 3 3 D D x 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 33323 23222 13121 1 aab aab aab D 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 2 43 122 4 21 D 计算三阶行列式 计算三阶行列式例 例 例 例 解解解解按对角线法则 有按对角线法则 有 D4 2 4 3 12 2 21 3 2 4 2 2 2411 24843264 14 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 0 94 32 111 2 x x求解方程求解方程例例例例3 3 3 3 解解解解方程左端方程左端 12291843 22 xxxxD 65 2 xx 解得由解得由05 2 xx 3 2 xx或或 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 例例例例4 4 4解线性方程组4解线性方程组 0 132 22 321 321 321 xxx xxx xxx 由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式解解解解 111 312 121 D 111 132 121 111 122 131 5 0 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 同理可得同理可得 110 311 122 1 D 5 101 312 121 2 D 10 011 112 221 3 D 5 故方程组的解为故方程组的解为 1 1 1 D D x 2 2 2 D D x 1 3 3 D D x 线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的