多元函数微分学(数学竞赛辅导讲座4).pdf

多元函数微分学多元函数微分学 考试要求考试要求考试要求考试要求 1 1 1 1 理解多元函数的概念理解多元函数的概念理解多元函数的概念理解多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的几何意义 二元函数的几何意义 二元函数的几何意义 2 2 2 2 了解二元函数的极限与连续的概念了解二元函数的极限与连续的概念了解二元函数的极限与连续的概念了解二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域有界闭区域有界闭区域有界闭区域 上多元连续函数的性质 上多元连续函数的性质 上多元连续函数的性质 上多元连续函数的性质 3 3 3 3 理解多元函数偏导数和全微分的概念 理解多元函数偏导数和全微分的概念 理解多元函数偏导数和全微分的概念 理解多元函数偏导数和全微分的概念 会求偏导会求偏导会求偏导会求偏导 数和全微分 数和全微分 数和全微分 数和全微分 了解全微分存在的必要条件和充了解全微分存在的必要条件和充了解全微分存在的必要条件和充了解全微分存在的必要条件和充 分条件 了解全微分形式的不变性 分条件 了解全微分形式的不变性 分条件 了解全微分形式的不变性 分条件 了解全微分形式的不变性 4 4 4 4 理解方向导数和梯度的概念 并理解方向导数和梯度的概念 并理解方向导数和梯度的概念 并理解方向导数和梯度的概念 并掌握其计算方法 掌握其计算方法 掌握其计算方法 掌握其计算方法 5 5 5 5 掌握多元复合函数一阶 二阶偏导数的求法 掌握多元复合函数一阶 二阶偏导数的求法 掌握多元复合函数一阶 二阶偏导数的求法 掌握多元复合函数一阶 二阶偏导数的求法 6 6 6 6 了解隐函数存在定理 了解隐函数存在定理 了解隐函数存在定理 了解隐函数存在定理 会求多元隐函数的偏导数会求多元隐函数的偏导数会求多元隐函数的偏导数会求多元隐函数的偏导数 包括二阶偏导数 包括二阶偏导数 包括二阶偏导数 包括二阶偏导数 考试要求考试要求考试要求考试要求 7 7 7 7 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平 面和法线的概念 面和法线的概念 面和法线的概念 面和法线的概念 会求它们的方程 会求它们的方程 会求它们的方程 会求它们的方程 8 8 8 8 了解二元函数的二阶泰勒公式 了解二元函数的二阶泰勒公式 了解二元函数的二阶泰勒公式 了解二元函数的二阶泰勒公式 9 9 9 9 理解多元函数的极值和条件极值的概念 理解多元函数的极值和条件极值的概念 理解多元函数的极值和条件极值的概念 理解多元函数的极值和条件极值的概念 掌握多元函数极值存在的必要条件 掌握多元函数极值存在的必要条件 掌握多元函数极值存在的必要条件 掌握多元函数极值存在的必要条件 了解二元函数极值存在的充分条件 了解二元函数极值存在的充分条件 了解二元函数极值存在的充分条件 了解二元函数极值存在的充分条件 会求二元函数的极值 会求二元函数的极值 会求二元函数的极值 会求二元函数的极值 会用拉格朗日乘数法求条件极值 会用拉格朗日乘数法求条件极值 会用拉格朗日乘数法求条件极值 会用拉格朗日乘数法求条件极值 会求简单多元函数的最大值和最小值 并会会求简单多元函数的最大值和最小值 并会会求简单多元函数的最大值和最小值 并会会求简单多元函数的最大值和最小值 并会 解决一些简单的应用问题 解决一些简单的应用问题 解决一些简单的应用问题 解决一些简单的应用问题 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 limlimlimlim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x f f f fx x x xf f f f f f f f x x x x x x x x 解析解析解析解析 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 5 5 5 53 3 3 32 2 2 24 4 4 4 4 4 4 4 y y y yx x x x y y y yy y y yx x x xy y y yx x x x y y y yx x x xf f f f x x x x 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 limlimlimlim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y y f f f fy y y yf f f f f f f f x x x xx x x x y y y y xyxyxyxy 例例例例 1 1 1 1 设设设设 求求求求 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 y y y yx x x x y y y yx x x x y y y yx x x x y y y yx x x xxyxyxyxy y y y yx x x xf f f f 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 sinsinsinsin limlimlimlim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 limlimlimlim 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 00 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x f f f fx x x xf f f f f f f f x x x xx x x x x x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o o o oy y y yf f f fx x x xf f f fz z z z y y y yx x x x 解析解析解析解析 0 0 0 0 1 1 1 1 sinsinsinsin limlimlimlim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 limlimlimlim 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y yx x x x y y y yx x x x y y y yx x x x y y y yf f f fx x x xf f f fz z z z x x x x y y y yx x x x y y y y x x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 limlimlimlim 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x xx x x x y y y y x x x x f f f fy y y yx x x xf f f f 0 0 0 0 0 0 0 0 limlimlimlim 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y yy y y y y y y y x x x x f f f fy y y yx x x xf f f f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y y f f f f x x x x x x x x y y y yx x x xy y y y x x x x y y y y x x x x z z z z1 1 1 1 ln ln ln ln 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 解析解析解析解析 2 2 2 24 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 x x x x y y y y x x x x y y y y x x x x y y y y x x x x z z z z x x x xx x x x x x x x y y y y y y y y z z z z ln ln ln ln 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 x x x x y y y y y y y y z z z z y y y yx x x x 1 1 1 1 3 3 3 32 2 2 2 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 r r r r x x x x r r r r f f f f r r r r x x x x r r r rr r r r f f f f x x x x g g g g 解析解析解析解析 5 5 5 5 2 2 2 22 2 2 2 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 31 1 1 11 1 1 1 r r r r x x x xr r r r r r r r f f f f r r r r x x x x r r r r f f f f x x x x g g g g 5 5 5 5 2 2 2 22 2 2 2 6 6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 31 1 1 11 1 1 1 r r r r y y y yr r r r r r r r f f f f r r r r y y y y r r r r f f f f y y y y g g g g 同理得同理得同理得同理得 可得可得可得可得 3 3 3 34 4 4 42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 r r r rr r r r f f f f r r r rr r r r f f f f y y y y g g g g x x x x g g g g 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 x x x x y y y y x x x x y y y y g g g gf f f fxzxzxzxzf f f f x x x x u u u u yzyzyzyzf f f ff f f fyzyzyzyzf f f ff f f fxzxzxzxz y y y yx x x x u u u u 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 22222222212121211212121211111111 2 2 2 2 x x x x y y y y g g g g x x x xx x x x y y y y x x x x y y y y g g g g 2 2 2 23 3 3 3 1 1 1 1 解析解析解析解析 y y y yx x x xf f f f x x x x z z z z y y y yy y y yx x x xf f f f y y y y z z z z 解析解析解析解析 代入得代入得代入得代入得 0 0 0 0 y y y yf f f ff f f fy y y y 又 又又又 0 0 0 0 f f f f 因此因此因此因此 0 0 0 0 y y y yy y y y 即有即有即有即有 y y y y CeCeCeCey y y y 解析解析解析解析 yzyzyzyzxyzxyzxyzxyzf f f f x x x x u u u u z z z zxyzxyzxyzxyzf f f fxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzf f f f y y y yx x x x u u u u 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 3 3 3 3 xyzxyzxyzxyzf f f fxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzf f f fz z z zy y y yx x x xxyzxyzxyzxyzf f f f z z z zy y y yx x x x u u u u 由已知得由已知得由已知得由已知得0 0 0 0 3 3 3 3 xyzxyzxyzxyzf f f fxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzf f f f 令令令令 xyzxyzxyzxyzt t t t 得微分方程得微分方程得微分方程得微分方程0 0 0 0 3 3 3 3 t t t tf f f ft t t tf f f ft t t t 可解得可解得可解得可解得 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzf f f fu u u u y y y yx x x xy y y yx x x xy y y yx x x xy y y yx x x x x x x x u u u u 解析解析解析解析 2 2 2 2 2 2 2 2 y y y yx x x xy y y yx x x xy y y yx x x xy y y yx x x x x x x x u u u u 同理求出同理求出同理求出同理求出 y y y yx x x x u u u u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y y y u u u u 比较可知比较可知比较可知比较可知 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y y y u u u u x x x x u u u u 选选选选B B B B x x x xx x x xx x x xu u u u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x xx x x xx x x xu u u ux x x x 由由由由两边对两边对两边对两边对x x x x求导得求导得求导得求导得 1 1 1 12 2 2 2 y y y yx x x x u u u uu u u u 两边再对两边再对两边再对两边再对x x x x求导求导求导求导 0 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 yyyyyyyyyxyxyxyxxyxyxyxyxxxxxxxx u u u uu u u uu u u uu u u u 由已知由已知由已知由已知 yyyyyyyyxxxxxxxx u u u uu u u u 又又又又 yxyxyxyxxyxyxyxy u u u uu u u u 可得可得可得可得 1 1 1 1 0 0 0 0 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 5 5 5 5 x x x xx x x xu u u ux x x xx x x xu u u u xyxyxyxyxxxxxxxx 由由由由两边再对两边再对两边再对两边再对x x x x求导得求导得求导得求导得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x xx x x xx x x xu u u ux x x xx x x xu u u u xyxyxyxyxxxxxxxx 由由由由 1 2 1 2 1 2 1 2 可解得可解得可解得可解得 3 3 3 3 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x xx x x xx x x xu u u ux x x xx x x xu u u u yyyyyyyyxxxxxxxx x x x xx x x xx x x xu u u uxy xyxyxy 3 3 3 3 5 5 5 5 2 2 2 2 解析解析解析解析 t t t tt t t tf f f ft t t tt t t tf f f ft t t tt t t tf f f ft t t tf f f ft t t tt t t tf f f ft t t tf f f ft t t t y y y yx x x xy y y yx x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y yx x x xy y y yx x x x f f f ff f f ff f f ff f f f 2 2 2 2 n n n nmnmnmnmnm m m m 解析解析解析解析 v v v v u u u uy y y y x x x x y y y y x x x x x x x x z z z zy y y y x x x x x x x x y y y yx x x x 求出求出求出求出解出解出解出解出 u u u u 解析解析解析解析 u u u u y y y y x x x x y y y y x x x x 解析解析解析解析 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x u u u u y y y yx x x x u u u u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y y y u u u u 求出求出求出求出 可得可得可得可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 34 4 4 41 1 1 1 3 3 3 34 4 4 4 u u u u a a a aa a a a y y y y u u u u y y y yx x x x u u u u x x x x u u u u 0 0 0 0 3 3 3 34 4 4 41 1 1 1 6 6 6 6 4 4 4 42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 u u u u b b b bb b b b u u u u ababababb b b ba a a a 0 0 0 06 6 6 6 4 4 4 42 2 2 20 0 0 03 3 3 34 4 4 41 1 1 10 0 0 03 3 3 34 4 4 41 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 ababababb b b ba a a ab b b bb b b ba a a aa a a a 可知可知可知可知 解得解得解得解得 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 b b b ba a a ab b b ba a a a或或 u u u u z z z z y y y y x x x x 解析解析解析解析 coscoscoscos sinsinsinsinsinsinsinsin coscoscoscossinsinsinsin z z z z y y y y x x x x u u u uu u u u 求出求出 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 z z z zy y y yx x x xu u u uu u u u 的微分方程 的微分方程 代入已知方程可得代入已知方程可得 u u u u 解析解析解析解析 x x x xz z z zx x x xy y y y f f f fz z z zy y y yx x x xF F F F 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 设设 x x x xz z z zx x x xy y y y f f f f 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 已知已知 y y y yx x x x z z z zz z z z 求求 隐函数求隐函数求 导问题导问题 z z z z y y y y y y y y z z z z x x x x x x x x F F F F F F F F z z z z F F F F F F F F z z z z 解析解析解析解析 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 z z z zy y y yx x x x设切点为设切点为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 z z z zy y y yx x x xn n n n 法向量法向量 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 z z z zz z z zz z z zy y y yy y y yy y y yx x x xx x x xx x x x切平面为切平面为 t t t tz z z z t t t ty y y y t t t tx x x x z z z zy y y yx x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 1 2 2 2 2 参数方程参数方程直线直线 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 直线上两点直线上两点切平面过已知直线则过切平面过已知直线则过 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 和和点点代入切平面方程可得切代入切平面方程可得切 0 0 0 02 2 2 20 0 0 02 2 2 2 y y y yx x x xz z z zy y y y和和从而可得切平面方程从而可得切平面方程 z z z zy y y y x x x x F F F Fy y y y x x x x z z z z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解析解析解析解析 0 0 0 0 MMMM z z z zy y y yx x x x F F F FF F F FF F F Fn n n n 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 z z z zy y y yx x x xMMMM设切点为设切点为 0 0 0 02 2 2 20 0 0 02 2 2 2 y y y yx x x xz z z zy y y y和和从而可得切平面方程从而可得切平面方程 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 可得切点可得切点平行于平行于 n n n n 解析解析解析解析 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2j j j ji i i il l l l y y y yx x x xz z z zy y y yx x x x l l l l f f f f 2 2 2 22 2 2 20 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 在约束条件在约束条件本问题即求本问题即求y y y yx x x xu u u u2 2 2 22 2 2 2 下的最大值下的最大值1 1 1 12 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 z z z zy y y yx x x x 用拉格朗日乘数法求用拉格朗日乘数法求 1 1 1 12 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 z z z zy y y yx x x xy y y yx x x xL L L L 设设 向导数最大向导数最大函数沿着梯度方向的方函数沿着梯度方向的方 解析解析解析解析 度的模度的模方向导数的最大值为梯方向导数的最大值为梯 gradgradgradgrad z z z zy y y yx x x x f f f ff f f ff f f ff f f f 梯度梯度 2 2 2 22 2 2 2 4 4 4 4 3 3 3 34 4 4 4 gradgradgradgrad 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 c c c cb b b bb b b ba a a ac c c ca a a af f f f 0 0 0 02 2 2 22 2 2 2 0 0 0 04 4 4 4 0 0 0 03 3 3 34 4 4 4 c c c cb b b b b b b ba a a a c c c ca a a a 即有即有64 6464642 2 2 22 2 2 2gradgradgradgrad 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 c c c cb b b bf f f f 解析解析解析解析 gradgradgradgrad y y y yx x x x f f f ff f f ff f f f 梯度梯度 gradgradgradgrad y y y yx x x x g g g gg g g gg g g g y y y yx x x xg g g gy y y yx x x xf f f fF F F F 设设 0 0 0 00 0 0 0 m m m mMMMM和最小值和最小值有最大值有最大值在有界闭区域上连续必在有界闭区域上连续必 结论显然成立 结论显然成立 即得即得若若 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 1 y y y yx x x x F F F FF F F FF F F Fm m m mMMMM m m m mMMMM 若若 2 2 2 2 必有一个不为必有一个不为的边界上的边界上因在因在0 0 0 0 0 0 0 0m m m mMMMMF F F FD D D D 为极值点 为极值点 处取得 处取得 内某点内某点必在必在或或即即 0 0 0 00 0 0 0 P P P PP P P PD D D Dm m m mMMMM 故有故有从而从而 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 P P P PF F F FP P P PF F F F y y y yx x x x gradgradgradgrad gradgradgradgrad 0 0 0 00 0 0 0 P P P Pg g g gP P P Pf f f f 解析解析解析解析件判断是否取得极值 件判断是否取得极值 求出驻点 利用充分条求出驻点 利用充分条 C C C C选选 故不是最小值 故不是最小值 因因 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 4 8 8 8 8 2 2 2 2 A A A AB B B BACACACAC 上 上 无极值 故只能在边界无极值 故只能在边界内内在在 0 0 0 0 2 2 2 2 f f f f y y y yx x x xf f f fD D D D x x x xf f f fD D D D y y y yx x x x 内内在在 内内在在 内内在在 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 02 2 2 2 minminminmin 4 4 4 4 3 3 3 3 f f f f x x x xy y y yf f f fD D D D x x x xf f f fD D D D y y y yx x x x 内内在在 内内在在 内内在在 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 03 3 3 3 minminminmin 6 6 6 6 5 5 5 5 f f f f y y y yx x x xf f f fD D D D x x x xf f f fD D D D y y y yx x x x 内内在在 内内在在 内内在在 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 04 4 4 4 minminminmin 8 8 8 8 7 7 7 7 f f f f y y y yx x x xf