水文概率P-Ⅲ型分布无偏绘点位置的数值计算方法.pdf

年月 水利学报 第卷第期 收稿日期 基金项目 水利部项目水利部重大科研项目 水库设计运用专题研究项目 作者简介 刘九夫男 广东饶平人 教授级高级工程师 硕士 主要从事工程水文及水资源方面的应用研究 文章编号 水文概率型分布无偏绘点位置的数值计算方法 刘九夫张建云 南京水利科学研究院 水文水资源与水利工程科学国家重点实验室 江苏 南京 水利部 水文局 北京 摘要 本文在型 皮尔逊型 分布次序统计量期望值数值积分计算成果的基础上 利用次序统计量不同样本 长度期望值之间的关系 探讨了计算任意样本长度任意偏态系数的型分布次序统 计量期望值及其频率俗称无偏绘点位置 的快速高精度计算框架数值计算表明该计算框架是 可行的 也改变了国内外此前一直通过拟合经验公式来近似型分布函数次序统计量期望值的频率 的做法 关键词 水文概率 次序统计量 期望值 无偏绘点位置 皮尔逊型分布 中图分类号文献标识码 研究背景 早在年 水文学家就开始使用概率纸来分析水文资料年以后开始有文献记载适线法的 有关研究成果适线法研究的重点之一是绘点位置 从年提出的的绘点公 式 到年提出的次序统计量频率域的期望值公式俗称期望值公式 和年 提出的次序统计量数学期望值的频率作为绘点位置 再到年提出的 无偏绘点位置概念和年朱元 教授提出的 公式可以休矣绘点位置始终是适线法研 究的重要内容 同时也逐步认识到用次序统计量数学期望值的频率作为绘点位置估计的设 计值具有无偏 最小方差的属性 因此也俗称为无偏绘点位置 它与分布函数及其参数 次序 统计量样本长度和排序有关 使用无偏绘点位置适线法估计分布参数和设计值的难点是无偏绘点位置的计算 即次 序统计量数学期望值的数值计算此前一般通过次序统计量数学期望值的有限计算值来 拟合经验公式 然后用此类经验公式来近似无偏绘点位置例如年提出用 绘点公式来近似正态分布的无偏绘点位置年提出用绘点 公式来近似极值分布和指数分布的无偏绘点位置年等根据概率权重矩法 概化次序统计量期望值的积分公式并拟合数值计算结果提出用绘点公式 来近似型分布偏态系数小于的无偏绘点位置该途径的优点是应用直观 方便 缺 点是拟合误差比较大 不能满足生产实践和科学研究的要求 另一途径就是提供次序统计量数学期望值的查算数表年给出了个偏态系数 范 围从样本长度一般小于的查算数表年谢自银等给出了个偏态系数 范围 从样本长度为的次序统计量期望值数值积分计算结果由于无偏绘点位置与分布函 数及其参数 次序统计量样本长度和排序有关 故这些次序统计量数学期望值查算数表还不能满足直接 使用无偏绘点位置适线法进行分布参数和设计值估计的要求 本文将针对目前国内外仍未解决的型分布无偏绘点位置的计算问题 结合我国洪水频率分析 的实际 在型分布次序统计量期望值高精度数值积分计算成果的基础上 利用次序统计量不同样 本长度期望值之间的确切关系 探讨样本容量小于和型分布偏态系数小于的次序统计量 期望值的快速高精度计算问题 旨在实现无偏绘点位置适线法应用于生产实践和科研的目标 计算方案设计 次序统计量原点矩的关系年推导了次序统计量原点矩之间的关系 即 式表明样本长度为的第个次序统计量原点矩与样本长度为的第个次序统 计量原点矩之间存在确切的关系 式中时表示不同样本之间次序统计量数学期望值之间的确 切关系指出当样本长度为的次序统计量期望值已知时 样本长度小于的所有次序统计量数 学期望值可以通过式推算得到下称前推计算反过来 也可根据不同样本长度系列第个次序统 计量的期望值来推求不同样本长度系列其他排位次序统计量的期 望值 下称后推计算但后推计算 数值计算 容易损失有效数字 金光炎教授指出了前推计算 后推计算的条件及注意事项次序统计量 数学期望值的表达式为 从式可知 当时 积分式只有项 所以比较容易计算出 来 如果后推计算能满足要求 那么型分布次序统计量的期望值计算就会容易得多前推计算的 前提是样本长度为的个次序统计量期望值已知 利用前推计算将大大减小次序统计量期望值的计 算量 下面用实例来考察式进行后推计算和前推计算 数值计算 的误差传播特性以型分布偏 态系数时的次序统计量期望值 有解析值作为考察数据 根据样本长度小于的个括号内的数字表示括号前后数值之间的间隔 下同 来后推计算样本长度小于的其余次序统计量期望值 并与真值双精度计算 进行误差分析 计算每个样本长度后推计算所得次序统计量期望值误差的最大值 最小值和平均值另外根据 的真值和个来后推计算样本长度到之间的次序统计量期望值 并进行 同样的误差分析 分析结果见表由表可见 后推计算的误差是发散的 误差增加速度呈非线性特 性 并与原始误差 样本长度和后推计算次数有关样本长度越长 后推计算产生的误差越大 如从 推算产生的误差要比从推算产生的误差大原始误差越大 后推计算产生的误 差也越大 根据时的个次序统计量期望值利用式来推求小于的次序统计 量期望值 并与真值 双精度计算 进行对比 发现前推计算值与真值误差为说明前推计算的误差是 收敛的前推计算误差收敛的特性完全改变了以往次序统计量期望值的计算方案 只要计算出某个样 本长度为的个次序统计量期望值 那么样本长度小于的所有次序统计量期望值个 就 可以利用前推计算得到 这将大大减少计算次序统计量期望值的计算量 如那么减少的计算量 为如减少的计算量为如减少的计算量达也使直接使用无偏绘 点位置适线法估计分布参数和设计值成为可能 表后推计算 数值计算 误差分析 样本长度 从开始后推计算的误差从开始后推计算的误差 最大值最小值平均值最大值最小值平均值 图直接计算 数值积分 次序统计量 期望值的偏态系数分布 计算精度控制方案型分布无偏绘点位置数值计算包括任意样本长度和任意偏 态系数次序统计量期望值的数值计算 其计算精度控制方案为任意样本长度 次序统计量期望值的数值计算精度 由样本长度的次序统计量期望值数值积分计算成果的精度 来控制 由于利用次序统计量原点矩关系进行前推计算不损失次序统计量期望值数值积分计算成果的 精度 故任意样本长度次序统计量期望值的数值计算精度能保持在样本长度的次序统 计量期望值数值积分计算成果的精度水平上任意偏态系数次序统计量期望值的数值计 算精度依靠加密直接数值积分计算次序统计量期望值的偏态系数来控制 插值计算任意偏态系数 如两个直接数值积分计算次序统计量期望值的偏态系数的平均值 的次序 统计量期望值 然后用关系式 评估次序统计量期望值数值计算的精度 当满足计算精度要求时 则停止该区间直接数值积分计算次序统计量期望值的偏态系数的加密计算 当 不满足计算精度要求时 则继续用数值积分方法计算该偏态系数次序统计量的期望值 然后再用插值法 进行插值精度的评价 直到所有两个直接数值积分计算次序统计量期望值的偏态系数的平均偏态系数 其插值计算次序统计量期望值的精度满足要求为止插值计算使用数学函数库的三次样条插值 函数 计算方案考虑到生产实践和科研工作对适线法的需要 本文选定计算方案的目标为在型分 布常用的偏态系数范围内 样本长度在以内的任意偏态系 数任意样本长度的次序统计量期望值 其能在较短的时间内 秒 级 完成高精度计算 从而实现无偏绘点位置的快速高精度数值 计算 本文最后确定的计算方案为 样本长度为偏态系数 其直接数值积分计算次序统计量期望值的偏态系数 间隔缺省值为其它偏态系数的次序统计量期望值通过插值 计算如果插值计算次序统计量期望值的精度不满足要求 相对 误差小于那么用数值积分方法计算中间偏态系数的次序 统计量期望值 直到插值计算次序统计量期望值的精度满足要求最后用数值积分方法计算次序统计 量期望值的偏态系数总数达个 具体分布情况见图由图可见 偏态系数在范围内 数 值积分方法计算次序统计量期望值的偏态系数数量随偏态系数的变化而变化 数值积分方法计算次序 统计量期望值的偏态系数最密的区间在间隔为区间次之 间隔为区间 和区间再次之 间隔为区间为缺省的间隔 计算结果及分析 计算结果精度根据样本长度个偏态系数的次序统计量期望值的数值积分计算成果 约个在范围内均匀插值计算个偏态系数的次序统计量期望值 通过前推计算评价 每个偏态系数次序统计量期望值的相对误差的真值为 和对应频率的 相对误差 图为和相对误差的分布 由图可见 次序统计量期望值及其频率值的精度 相对误差 均达到 图偏态系数个 次序统计量期望值及其频率数值计算相对误差分布 计算时间在次序统计量期望值数值积分计算成果 约个计算值 的基础上 任意样本长度 和任意偏态系数次序统计量期望值的计算时间主要包括读取次序统计量期望值数值 积分计算成果的时间 插值计算任意偏态系数次序统计量期望值 样本长度的时间 前推计算任 意样本长度次序统计量期望值的时间表为计算几个偏态系数 不同样本长度次序统计量期望值及 其频率所需的时间由表可见 最大时间小于 表典型偏态系数和样本长度次序统计量期望值计算所需时间 偏态系数 注 偏态系数的计算时间包含全部的计算时间 其它偏态系数只包含读取数据和前推计算的时间计算平台为 与已有成果的对比由于此前国内外没有系统 完整的关于型分布无偏绘点位置的高精度成 果 只有少数分布函数的近似无偏绘点经验公式和少量次序统计量期望值的查算数表本文对型 分布样本长度分别为和偏态系数分别为和的次序统计量期望值及其频率 与查算数表以及个近似的无偏绘点位置经验公式的计算值进行对比分析选用的 个公式如下 年提出的近似正态分布无偏绘点位置的经验绘点公式 年提出的近似极值分布和指数分布无偏绘点位置的 经验绘点公式 年提出的近似型分布偏态系数小于的无偏绘点 位置的经验绘点公式 年提出的近似任意分布的无偏绘点位置的经验绘点 公式 表表为本文计算的次序统计量期望值及其频率与查算数表和个绘点 位置公式的对比分析结果由于查算数表的精度只到小数点后位 本文计算结果的精度可达 小数点后位 但为了便于比较 只取小数点后位由于查算数表是迄今为止国内外公认的 查算数表 所以本文选定查算数表的数值作为比较的真值 表不同方法计算次序统计量期望值和频率的对比分析 序号 文献本文结果本文结果 公式公式公式 相对误差 总和 注栏代表公式计算值与本文结果的相对误差 由表可见 本文计算的次序统计量期望值 小数点后位 与年查算数表基本一致 次 序统计量期望值的总和基本相同 偏态系数时查算数表的次序统计量期望值总和与真 值存在的误差 而本文的结果与真值相等由此可见查算数表具有一定精度 不过由于 查算数表只有有限偏态系数个 和小样本容量 一般小于故该查算数表并不能满足生产 实践的要求 由表可见个经验公式近似无偏绘点位置的误差主要发生在次序统计量排位的前几位由于无偏 绘点位置与分布函数及其参数 次序统计量样本长度和排位有关 从对比分析结果可知 通过无偏绘点 位置经验公式来高精度地近似型分布次序统计量期望值对应的频率是有难度的 结语 在型分布次序统计量期望值数值积分计算值的基础上 本文利用次序统计量不同样本长 度期望值之间的关系提出了计算任意样本长度任意偏态系数次序统计量 表不同方法计算次序统计量期望值和频率的对比分析 序号 文献本文结果本文结果 公式公式公式 相对误差 总和 注栏代表公式计算值与本文结果的相对误差 表不同方法计算次序统计量期望值和频率的对比分析 序号 文献本文结果本文结果 公式公式公式 相对误差 总和 注栏意义同表 表不同方法计算次序统计量期望值和频率的对比分析 序号 文献本文结果本文结果 公式公式公式 相对误差 总和 注栏意义同表 期望值及其频率的快速高精度计算框架分析计算表明型分布次序统计量期望 值及其频率的计算精度可达计算时间在以内 说明本文提出的计算方案是 可行的 且具有精度高 计算速度快的特点本文提出的计算方案具有重要的实践价值 实现了 型分布次序统计量期望值的频率的高精度快速数值计算 解决了现行规范条文 解释指出的 洪水次序统计量数学期望的频率计算难题 使适线法 以洪水次序统计量 数学期望的频率作为经验频率 成为现实 从根本上改变了国内外一直通