几何应用微分方程答案.pdf

九 定积分在几何上的应用 1 求下列平面图形的面积 1 曲与线2yx 2 3yx 所围成的图形 解 1 2 3 32 3 3 Axxdx 线sinyx 与sin2yx 在 0 2 曲上所围成的图形 解 sinsin2xx 得 1 sin0 cos 2 xx 当 0 x 时 由得sin0 x 0 x 由 1 2 得cosx 3 x 故 3 0 3 sin2sinsinsinAxx dxxx 3 曲 5 2 2 x d 线sin3a 所围成的图形 解 32 6 0 11 6sin 3 24 Aad a 1 cos a 4 心形线 所围成的图形 解 由对称性有 0a 2 22 00 13 21 cos 22 2 Ar dada 线 3 22 a y ax 5 曲与所围成的图形 解 0y 3 33 2222 0 11 2lim2limarctan b bb a Adxadxab axaxa 2 a 2 求由参数方程 sinxa tt 1 cos yat 02 t 及0y 所表示曲线围成的图 形面积 解 a 2 2 0 sin 1 cos 3Aa ttat dt 3 求曲线 2 2yxx 与所围成的图形分别绕0y x轴和y轴旋转所得旋转体的体积 解 22 2 0 16 2 15 x Vxxdx 2 2 0 8 22 3 y Vxxxdx 4 求曲线 33 sin cos 02 xat ybtt 所围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积 解 262279 22 00 2cos3 sincos6coscos x Vbtatt dtabtdttdt 2 0 22 6 8 32 6 7 9 105 abab 5 设有一截椎体 其高为 上下底均为椭圆 椭圆的轴长分别为和h2 2ab2 2AB 求这 截椎体的体积 三 一元函数积分学习题 解 2 6 AxB dxhabABa h 2 6 AxB dxhabABa h 0 1 h aAaB VxBbA h 1 h aAaB VxBbA h 6 求底面积为 高为的旋转抛物体的体积 如图所示 Sh 解 设抛物线方程为2 2 ypx 则 0 2 2 h Sh Vpxdx x y O 第 6 题 7 求下列曲线的弧长 1 3 13 3 x yxx 解 2 0 1tanlntan 42 a a sxdx 2 图 a 02 2 22222 解 0 1 14ln 214 2 saa da 四 微分方程 一 微分方程的基本概念 1 指出下列方程的阶数 并说明是否是线性微分方程 3 阶 是 1 1y 3 2 994yyx 2 1 阶 是 0 2222 dyyxdxyx 3 阶 否 3 yxy sin 3 4 2 1 yy 2 阶 否 2 验证其中为任意实数 是微分方程 xx eCey 32 C06 5 yyy的解 解 将 3 3 xx eCey 32 232 2 xxx CeeCee x232 4 3 9 xxx CeeCee x 代入方程有 0 故为方程 06 5 yyy 232323 495 23 6 xxxxxx CeeCeeCee xx eCey 32 06 5 yyy的一个解 3 曲线上任意一点 yf x x y处的切线斜率等于该点纵 横坐标之和 试建立所满足 的微分方程 解 曲线 y yf x 在其上任意点 x y的斜率为 dy dx 由题意知对应方程为 dy xy dx 4 某种放射性物质衰变的速度与物质的现存质量M成正比 设有最初质量为的该物质 试建立质量 0 M MM t 所满足的微分方程 解 依题意有 dM k dt 这里为常数 k 0 0 t M tM 二 变量可分离方程 1 求下列微分方程的通解 1 2 0 xdxdy y 四 微分方程 49 2 xdxdy y 解 变形得 2 xdxdy y 得 2 1 2ln 2 x两边同时积分Cy 整理得 2 1 4x yCe 为任意常数 2 C 0 1 sec xydxxdy 解 变形得 1 cos 1 1 ydydx x 1 两边同时积分cos 1 1 ydydx 得sinln1yxxC x 得sin ln1 yarcxxC C为任意常数 整理 3 22 1yxyx y 解 2 1 1 整理有 y xy 分离变量 2 1 1 dy x 2 1 d y x解得arctan 2 yxxC 整理得 2 1 tan 2 yxxC 为任意常数 C 4 s 2 tan 1 ec0 xx eydxeydy 解 整理得 2 tan 1 sec xx eydxeydy 2 csc2分离变量 1dx y 解得 x x e xd e 11 sin2 ln1 x ln 21 sin2 y eC y 即 2 1 sin2 1 1 sin2 x y C e y C为任意常数 2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 1 0 cos sinsin cos0 4 x xydyxydxy 解 分离变量tantanydyxdx 解得ln cosln cosxxC 整理有coscosyC x 所以 为任意常数 arccos cos yC xC 2 又 0 4 x y 所以 2 C 故 2 arccos cos 2 yx 50 高等数学作业题集 第一册 2 2 sinln x yxyy ye csc ln dy xdx yy 解 分离变量有 ln lnln tan 2 x yC C为任意常数 lntan 2 x yC 有 2 x ye 所以1C tan 2 x ye 3 求微分方程tan x 的通解 dyy xyx dx 解 设 y t x 有 dydt tx dxdx 方程变为tan dt xt dx cot dx tdt x 分离变量有 解得ln sinlntx C化简得 将 arcsin Ctx y t x 代入得arcsin C yxx 4 求微分方程 C为任意常数 lnln xdyyyx dx 的通解 解 设 y t x 有 dydt tx dxdx 方程变为ln dt xttt dx 分离变量 ln1 dtdx ttx 解得ln ln1lntx C 将 y t x 代入得ln ln1ln y xC x 化简有ln1Cx y x 即 1Cx yxe 5 求微分方程0 C为任意常数 22 2 xxy dyy dx 满足初始条件 1 2 x y 的特解 解 设 y t x 有 dydt tx dxdx 四 微分方程 51 方程变为 2 12 dttt x dxt 分离变量有 2 12td x dt ttx 解得 2 lnlnttxC 将 y t x 代入得 2 ln ln yy xC xx 2 1 yy C xxx 任意数 又 故为 5 C为常 1 2 x y C 2 1 5 yy xxx 6 曲线 yf x 上任一点 x y的切线斜率为 yx yx 求该曲线方程 解 依题意有 dyyx dxyx y 设t x 有 dydt tx dxdx 方程变为 1 1 dtt tx dxt 2 1 1 td 分离变量有 x dt tx 解得 2 1 arctanln 1 ln 2 ttxC 将 y t x 代入得 2 1 arctanln 1 ln 2 yy xC xx 为任意常数 三 一阶线性微分方程 程的通解 1 C 1 求下列微分方 x yye 解 方程为一阶线性方程使用公式得 P x dxP x dx yeCQ x e dx dxdx x yeCe edx 故 x yeCx 为任意常数 C 2 2 costanyxyx 52 高等数学作业题集 第一册 程为一阶线性程使用公式得 22 secsec 2 tan sec xdxxdx yeCxxe dx 解 方方 故 tan2tan tan sec xx yeCxxedx 解得 tan tan1 x yCex C为任意常数 3 sin 0 yx y x 解 方程为一阶线性方程使用公式得 11 sin dxdx xx x yeCed x x 解得 1 cos yCx x 为任意常数 4 C 2 arctan 1 yx dyydx 解 方程为一阶线性方程使用公式得 22 11 11 2 arctan 1 dydy yy y xeCe y dy 解得 arctan arctan1 y xCey 1 2 解下列初值问题 4 1 1 2 6 x xyxy 解 整理有 3 2 yx x 得 42 1 ln 4 yxx C 又 1 1 6 x y 故为C 1 12 4