中国名牌大学自主招生考前训练题04答案.pdf

中国名牌大学自主招生考前训练题 华中师大一附中 孟昭奎 练习四 方程的根的问题 练习四 方程的根的问题 练习时间 2010 12 05练习时间 2010 12 05 1 D 由 5 5 fxfxyf x 的图象关于直线5x 对称 2 A 首先 22 4 2 4 35 0 4 3 aaaa 解得 2222222 121212 2 2 2 35 106 5 19xxxxx xaaaaaa 当 4a 时有最大值 18 3 A 原方程可化为 2 3 2 3 20 3 2 3 0 xaxaxxa 即由 3 x 205x 或 1 故方程 3 0 xa 或无实根或实根是 1 5 故02 aa 或 4 B 由原方程可得 2 2 31 815 31 0 2 2 2 30 815 2 x xx x x x x x xx x 或或 为偶数 解得54x 或 5 C 6 C 令 222 tan cos 4 tan1 tan1 4220uxuuaua 则原问题在 tan1 tan1 内有且仅有有限个解 情形 I 2 1 64 2 2 0 2 t a n 1 t a n 1 aaa 且 如图 a 情形 II 令 2 422 tan1 0 f uuaua f u 的图象过点 且对称轴在点 tan1 0 的左侧 图 b 情形 III t a n 1 0 f u 的图象过点 且对称轴在点 tan1 0 的右侧 图 c 情形 I 解得 1 2 a 情形 II 解得a 情形 III 解得 2 tan 12 2 2tan1 1 a 7 2 个 数形结合 原方程即 22 1 2 1 1 2 xx axaayayxa 时 分别画出和 的图象 注意到抛物线 2 1 2 1 2 1 yxaaa 的顶点在的上方 故此时交点的个数是 2 中国名牌大学自主招生考前训练题 华中师大一附中 孟昭奎 如图 a 01a 时 同理也是两个交点 如图 b 8 3 4 5 5 x 注 意 到 53 54 5354 7xxxx 等 号 成 立 当 且 仅 当 34 53 54 0 55 xxx 即 9 2 个或 3 个或 4 个 如图 22 yax 表示圆心在原点 半径为 ax 的半圆 y 2表 示两条射线 关于 y 轴对称 当1a 时这两条射线与半圆 22 yax 均相切 当12a 时 两条射线与半圆相交 故有 4 个交点 当2a 时恰有 3 个交点 10 1 依题意可令 2 2 0 3 2 1 1 f xa xxb affb 由 11 2 aa或 对原方程两边同时取以 a 为底的对数 有 2 log 3log2 log12 aaa xxx 或 解得 2 xaa 或 12 3 4 2 1 令 22 7 13 2f xxkxkk 由零值定理知 0 0 1 0ff 2 0 3421 fkk 解得或 13 3 1 2 2 原方程两边同时除以 4 42 3 3 23 23 2 xy 有由于 2 31 313131 222222 xy 故 14 1 3 2 2 先分离变量 2 2 3 426 3 426 xx xx aaa 原问题等价于求函数的值 域 ax看成的函数 其中 0 2 2 1 4 x xt 令 中国名牌大学自主招生考前训练题 华中师大一附中 孟昭奎 222 42646 2 2 2 6 xx ttt 从而 1 3 2 2 a 15 1 有解时 1 2 2 aa 的范围 2 2a 时仅有一解 原方程等价于 2 22 222 loglog 2 log 1 210 1 2 02 1 1 02 1 2 xaxa xaxa aaxa x xxxa aa 且 且 而 22 12 210 1 1 0 1 1 xaxaxaxaxaxa 故 对 2 1 012 1 1xaaaa 显然且均满足 故有解的 2 2 2 aa 的范围是 若仅有一解 则 1 1012 11xaaaa 必不是其解 而成立 故只能令 从而 2a 16 1 这 是 一 个 难 度 很 大 的 问 题 首 先 定 义 两 个 集 合 M N的 差 集 MNx xMxN MN 且有时也可记为 M N 令 1 11 2 3 A n 令 1 0 2 1 1 3 11 4 5 2 0 1 x x f x xn nn x xA 2 令 1 sin 0 1 g xx x 易验证 g x的值域为 0 1 且对任意 0 1 a g xa 有无穷多个解 17 法一 依题意 2 4 b caac bc ab 2222 2 4 b cacaac abbacbc 2222222222 24444b cab ca ba bcab ca cabc 222222222 2 4244 2 0 b ca ba cab ca bcabc abbcac 所以 1121 1 1 2 abbcac acba b c 即成等差数列 法二 注意到 0 1a bcb cac abx 故是原方程的根 由题意知它是重根 中国名牌大学自主招生考前训练题 华中师大一附中 孟昭奎 由韦达定理知 112 2 c ab xabbcac a bcacb 整理得即 18 换一个角度 整理成一个关于k的二次方程 223 29 27 0 xkxkx 22322 29 4 27 3610881 69 xx xxxx 所以 2 29 69 2 xx k x 即 22 29 69 29 69 22 xxxx kk xx 或 化简得 2 3 903 xkxkx 或 解得 3 9 3 9 3 2 kkk xkxk 或 19 重新整理成关于 a 的一次函数 42322 89 56 3 3 1 2 3 xxaxxxxxxax xx 故当3 3 0 xaf 时 对任意实数 总有 当3 3 90 xaf 时 对任意实数 总有 20 先证3xx 用反证法 若3 2 323 22 323 xxxxxxxxxxxxxx 则故 222 323 222 3xxxxxxxxxxxxx 这与矛 盾 同理 3xx 也会产生矛盾 故3 03 xxxx 可得或 经检验 0 x 或 3 均是原方程的解 21 设这三个实根为 由韦达定理知 1 pq 显然中必有一个小于 0 其余两个同正 负 不妨设0 若 0 由均值不等式 3 3 3p 222 3 3 3 9qpq 所以 若 0 0 p 则 中国名牌大学自主招生考前训练题 华中师大一附中 孟昭奎 又 2 0 0