第二讲 计数问题.doc

第2讲 计数问题知识要点：近年来各类试题中频繁出现计数问题，尤其是几何图形的计数问题，图形计数顾名思义就是数某种图形的个数。数图形的过程中为了避免重复或者漏数，一般先对图形进行分类，分类一是要“全”，不遗漏；二是“不重复”，然后按方位顺序分类进行计数，边数边做记号。常用的计数方法和原理有：枚举法、加法原理、抽屉原理和容斥原理。1、 枚举法枚举法就是将计数的对象一一列举出来。有一些需要计算总数或种类的题。因其数量关系比较隐蔽，很难找到“正统”的方式解答。此时，我们可以初步估计其数目的大小。若数目不是太大，可按照一定的顺序一一列举出所以的可能情况。要做到不重复、不遗漏。为此，我们的思考就要遵循某种规律，或者说采取某种有序的规则。枚举法，可用文字表述，也可用树形图表示，所得的结果完整、直观，一目了然。但是当题目中的数据较大时，枚举法的优越性就没有了。2、 加法原理 完成一件事，有n类做法，且第1类方法中有m1种方法，第2类方法中有m2种方法，第n类方法中有mn种方法，则完成这件事的方法共有 N=m1m2mn 3、乘法原理 完成一件事，需要n个步骤，第1步有m1种方法，第2步有m2种方法，第3步有m3种方法，第n步有mn种方法，则完成这件事的方法共有 N=m1m2mn运用范围：这件事的n个步骤彼此独立，互不影响，而且n个步骤缺一不可。 4、抽屉原理桌上有10个苹果，要把这10个苹果放到9个抽屉中，无论怎么放，至少会有一个抽屉里放了2个苹果。这一现象被称为“抽屉原理”。抽屉原理：如果把多于n个元素，任意分到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放入了两个或更多的元素。抽屉原理：如果把多于mn个元素，任意分到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放进了m1个或多于m1个元素5、 容斥原理在计数时，不须不重复，不遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出了一种新方法，其基本思想是：在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有的对象的数目先计算出来，然后再把重复计数的数目去掉，使得计算结果既无重复也无遗漏，这种计数方法称为容斥原理。二、典型例题例1、下图中有几条线段？分析： 以A为左端点的线段有AB,AC,AD,AE,AF; 以B为左端点的线段有BC,BD,BE,BF; 以C为左端点的线段有CD,CE,CF; 以D为左端点的线段有DE,DF; 以E为左端点的线段有EF. 所以共有5+4+3+2+1=15(条)例2、小林有2件上衣，4条裤子，3双鞋子，她能有 种穿戴形式。分析：这道题是典型的乘法原理题。小林穿衣可分为3个步骤：第1步穿上衣，因为有2件上衣，所以有2种方法；第2步穿裤子，有4种方法；第3步穿鞋，有3种方法。这3个步骤彼此独立，互不影响，所以由乘法原理知小林不同的穿戴形式有43224种例3、从5幅楷体，3幅隶体，2幅草体书法作品中选取不同类型的2幅临摹，共有 种不同的选法。分析：选1幅楷体和1幅隶体，有53种不同的选法；选1幅隶体和1幅草体有32种选法；选1幅楷体和1幅草体有52种选法。例4、把25个苹果最多分给 个小朋友，才能保证至少有一个小朋友分到7个苹果。分析：要使其中至少一个小朋友分得7个苹果，那么苹果的个数至少应比小朋友的人数的（71）倍多1。例5、四年级一班第2小组共12人，其中5人会打乒乓球，8人会下象棋，3人既会打乒乓球又会下象棋，那么这个小组中既不会打乒乓球又不会下象棋的有_人。分析：画图求解例6、布袋中有38个同样大小的小球，其中白、黄、红三种颜色的球各有10个，另外还有3个蓝球、3个绿球和2个紫球，问：至少取出多少个球，才能使取出的球中至少有4个球同色？分析：最不利的情况是首先取出3个白色球、3个黄色球、3个红色球、3个蓝色球、3个绿色球、2个紫色球，接下来任取一个球即可满足要求。例7、 右图中有 条对称轴？分析：如果沿着某条直线对折，对折的两部分是完全重合，那么就称这样的图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。例8、下图中，不含“A”的正方形有_个。分析：先数出图中正方形的总个数（30个），再数出含A的正方形的个数（10个）。例9、图中共有 个正方形， 个三角形？分析：对三角形进行分类，再计数。三角形总个数820124650个。正方形总个数7个。例10、学校教学楼前有5级台阶。如果规定一步只能走一级或两级台阶，那么走完这5级台阶共有 种不同的走法。